2023-2024学年湖南省郴州市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省郴州市八年级第一学期期末数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如果x＜y，那么下列不等式正确的是（）A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y2．下列各组线段的长，能组成三角形的是（）A．2，5，8 B．2，3，4 C．2，3，5 D．3，3，63．下列命题中，为真命题的是（）A．内错角相等 B．同位角相等 C．若a2＝b2，则a＝﹣b D．若a＝b，则﹣2a＝﹣2b4．下列运算正确的是（）A．（a﹣3）2＝a﹣5 B． C． D．（2﹣π）0＝15．将关于x的分式方程去分母可得（）A．3x+（x﹣2）＝0 B．3x﹣（x﹣2）＝0 C．3（x﹣2）+x＝0 D．3（x﹣2）﹣x＝06．下列实数：，0，，3.14159，0.1010010001…（每两个1之间多一个0），其中无理数的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．57．如果等腰三角形一个内角为80°，那么它的另两个内角是（）A．50°，50° B．80°，20° C．50°，50°或80°，20° D．无法确定8．如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AC于点P，则△PBC的周长为（）A．22 B．13 C．11 D．169．从A地出发去B地，既有高速动车组列车也有普通动车组列车，高速动车组列车比普通动车组列车时速高100千米/小时，乘坐高速动车组列车行驶875千米所用的时间比乘坐普通动车组列车少用1小时，若普通动车组列车的速度是x千米/小时，下列所列方程正确的是（）A． B． C． D．10．规定min{m，n}表示m，n中较小的数（m，n均为实数，且m≠n），若min{，2}＝2，则x的取值范围是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x＜5 D．x＞5二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为．12．国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片，已知1纳米＝0.000000001米，将7纳米用科学记数法表示为米．13．81的算术平方根是．14．不等式﹣2x≤10的解集是．15．若关于x的方程产生增根，则m＝．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝6cm，延长BC到点E，使CE＝2cm，连接DE．动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，则当t＝秒时，以A，B，P为顶点的三角形与△DCE全等．三、解答题（本大题共9个小题，第17-19题每小题6分，第20-23题每小题6分，17．计算：．18．先化简，再求值：，其中．19．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．20．如图，点A，B，C，D在同一直线上，∠F＝∠E且AF∥DE，AC＝DB．求证：BF＝CE．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交AC于点D；（要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明）（2）在（1）作出的图形中，求∠BDC的度数．22．设，．（1）求的值；（2）求b2+2b+1，a2﹣2ab+b2的值．23．湖南省第二届旅发大会期间，某景区准备购进A，B两种纪念品，每个A种纪念品比每个B种纪念品的进价少2元，用70元购买A种纪念品的数量与用90元购买B种纪念品的数量一样，请解答下列问题：（1）A，B两种纪念品每个进价各是多少元？（2）若该景区购进B种纪念品的个数比购进A种纪念品的个数的2倍还多5个，且A种纪念品不少于18个，购进A，B两种纪念品的总费用不超过545元，则该景区有哪几种进货方案？24．我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当a＞0，b＞0时，有+b≥0，∴a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号．（1）当x＞0时，x+的最小值为；当x＜0时，﹣x﹣的最小值为；（2）当x＜0时，求的最大值；（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为8和18，设△BOC的面积为x，求四边形ABCD的最小面积．25．等边△ABC中，点D在边AB上，点E在边BC上．以DE为边，在DE右侧作等边△DEF，连接BF．（1）如图1，当点E与点C重合时，判断线段AD与BF的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当点D是AB的中点时，点E从点C运动到点B的过程中（边BC的中点除外），求∠FBD的度数．

参考答案一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如果x＜y，那么下列不等式正确的是（）A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y【分析】根据不等式的性质进行分析判断．解：A、在不等式x＜y的两边同时减去1，不等号的方向不变，即x﹣1＜y﹣1，不符合题意；B、在不等式x＜y的两边同时加上1，不等号的方向不变，即x+1＜y+1，不符合题意；C、在不等式x＜y的两边同时乘﹣2，不等号法方向改变，即﹣2x＞﹣2y，不符合题意；D、在不等式x＜y的两边同时乘2，不等号的方向不变，即2x＜2y，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了不等式的性质．不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断即可．2．下列各组线段的长，能组成三角形的是（）A．2，5，8 B．2，3，4 C．2，3，5 D．3，3，6【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．解：A、2+5＜8，长度是2、5、8的线段不能组成三角形，故A不符合题意；B、2+3＞4，长度是2、3、4的线段能组成三角形，故B符合题意；C、2+3＝5，长度是2、3、5的线段不能组成三角形，故C不符合题意；D、3+3＝6，长度是3、3、6的线段不能组成三角形，故D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．3．下列命题中，为真命题的是（）A．内错角相等 B．同位角相等 C．若a2＝b2，则a＝﹣b D．若a＝b，则﹣2a＝﹣2b【分析】根据平行线的性质对选项A和B进行判断．根据相等或互为相反数的两个数的平方相等对C进行判断．根据不等式的性质：不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向改变可判断D．解：A、只有两直线平行，内错角才相等，所以选项A是假命题，不符合题意；B、只有两直线平行，同位角才相等，所以选项B是假命题，不符合题意；C、当a＝﹣b＝2时，a2＝b2，所以选项C为假命题，不符合题意；D、根据等式性质3，给等式a＝b两边同乘以﹣2，则选项D正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是理解命题的定义，属于中考常考题型．4．下列运算正确的是（）A．（a﹣3）2＝a﹣5 B． C． D．（2﹣π）0＝1【分析】利用幂的乘方的法则，负整数指数幂的法则，零指数幂对各项进行运算即可．解：A、（a﹣3）2＝a﹣6，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C不符合题意；D、（2﹣π）0＝1，故D符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查幂的乘方，零指数幂，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．5．将关于x的分式方程去分母可得（）A．3x+（x﹣2）＝0 B．3x﹣（x﹣2）＝0 C．3（x﹣2）+x＝0 D．3（x﹣2）﹣x＝0【分析】原方程两边同乘x（x﹣2）即可求得答案．解：原方程两边同乘x（x﹣2）得：3x﹣（x﹣2）＝0，故选：B．【点评】本题考查解分式方程﹣去分母，找到正确的最简公分母是解题的关键．6．下列实数：，0，，3.14159，0.1010010001…（每两个1之间多一个0），其中无理数的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．解：3π，﹣，0.1010010001…（每两个1之间多一个0）都是无限不循环小数，它们均为无理数，共3个，故选：B．【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．7．如果等腰三角形一个内角为80°，那么它的另两个内角是（）A．50°，50° B．80°，20° C．50°，50°或80°，20° D．无法确定【分析】80°的角可作底角，也可作顶角，故分两种情况进行计算即可．解：①当80°的角是顶角，则两个底角是50°、50°；②当80°的角是底角，则顶角是20°．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是注意分情况进行讨论．8．如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AC于点P，则△PBC的周长为（）A．22 B．13 C．11 D．16【分析】由线段垂直平分线的性质得出AP＝BP，求得BP+CP＝AC，求出△PBC的周长是BC+AC即可．解：∵AB的垂直平分线交AC于点P，∴AP＝BP，∴BP+CP＝AC，∵AC＝10，BC＝6，∴△PBC的周长为BC+BP+CP＝BC+AC＝6+10＝16．故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线的性质求出BP+CP＝AC是解答此题的关键．9．从A地出发去B地，既有高速动车组列车也有普通动车组列车，高速动车组列车比普通动车组列车时速高100千米/小时，乘坐高速动车组列车行驶875千米所用的时间比乘坐普通动车组列车少用1小时，若普通动车组列车的速度是x千米/小时，下列所列方程正确的是（）A． B． C． D．【分析】等量关系为：乘坐普通动车组列车所用的时间﹣乘坐高速动车组列车行驶875千米所用的时间＝1，根据等量关系列式．解：乘坐高速动车组列车行驶875千米所用的时间为，乘坐普通动车组列车所用的时间为：，所以可列方程为：，故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是分别求出乘坐普通动车组列车和乘坐高速动车组列车，找出等量关系，列方程．10．规定min{m，n}表示m，n中较小的数（m，n均为实数，且m≠n），若min{，2}＝2，则x的取值范围是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x＜5 D．x＞5【分析】根据题意可得：＞2，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．解：∵min{，2}＝2，∴＞2，2x﹣4＞6，2x＞6+4，2x＞10，x＞5，故选：D．【点评】本题考查了解一元一次不等式，实数大小比较，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为x≥﹣2．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴x+2≥0，解得x≥﹣2．故答案为：x≥﹣2．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．12．国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片，已知1纳米＝0.000000001米，将7纳米用科学记数法表示为7×10﹣9米．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：7纳米＝0.000000007米＝7×10﹣9米．故答案为：7×10﹣9．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．13．81的算术平方根是9．【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．解：81的算术平方根是：＝9．故答案为：9．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，正确把握算术平方根的定义是解题关键．14．不等式﹣2x≤10的解集是x≥﹣5．【分析】根据解一元一次不等式的方法可以求得该不等式的解集．解：﹣2x≤10，系数化为1，得：x≥﹣5，故答案为：x≥﹣5．【点评】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．15．若关于x的方程产生增根，则m＝﹣5．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，将x＝﹣5代入整式方程即可求出m的值．解：去分母得：x＝2x﹣m，将x＝﹣5代入得：﹣5＝﹣10﹣m，解得：m＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝6cm，延长BC到点E，使CE＝2cm，连接DE．动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，则当t＝1或7秒时，以A，B，P为顶点的三角形与△DCE全等．【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP＝2t＝2和AP＝16﹣2t＝2即可求得．解：因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP＝2t＝2，所以t＝1，因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP＝16﹣2t＝2，解得t＝7．所以，当时t＝1或7，△ABP和△DCE全等．故答案为：1或7．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共9个小题，第17-19题每小题6分，第20-23题每小题6分，17．计算：．【分析】根据平方差公式、立方根、二次根式的性质分别计算即可．解：＝3﹣2+4+3＝8．【点评】本题考查了平方差公式、立方根、二次根式的性质与化简，熟记平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题的关键．18．先化简，再求值：，其中．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．解：原式＝•＝，当时，．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．19．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集．解：，解不等式①得，x≥2，解不等式②得，x＜4，∴不等式组的解集为2≤x＜4，不等式组的解集在数轴上表示为：．【点评】本题考查了解一元一次方程组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练的掌握解不等式（组）的方法与步骤是解答本题的关键．20．如图，点A，B，C，D在同一直线上，∠F＝∠E且AF∥DE，AC＝DB．求证：BF＝CE．【分析】先根据平行线的性质求出∠A＝∠D，再利用“AAS”证明三角形全等即可证得．【解答】证明：AC＝DB，∴AC﹣BC＝DB﹣BC，即AB＝DC，又∵AF∥DE，∴∠A＝∠D，在△ABF和△DCE中，∵∠F＝∠E，∴△ABF≌△DCE（AAS），∴BF＝CE．【点评】本题考查的是三角形全等的判定，掌握全等三角形的各个判定定理是关键．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交AC于点D；（要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明）（2）在（1）作出的图形中，求∠BDC的度数．【分析】（1）根据要求作出图形；（2）分别求出∠ABC＝72°，再求出∠ABD＝36°，根据三角形的外角即可求解．解：（1）如图，直线MN即为所求．（2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝36°，∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝36°+36°＝72°．【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质得出AD＝BD解答．22．设，．（1）求的值；（2）求b2+2b+1，a2﹣2ab+b2的值．【分析】（1）把a，b的值代入计算即可；（2）先把所求式子变形，再代入计算即可．解：（1）∵，b＝﹣1﹣∴a+b＝﹣1++（﹣1﹣）＝﹣2；＝＝＝＝﹣；（2）b2+2b+1＝（b+1）2＝（﹣1﹣+1）2＝（﹣）2＝5；a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝（﹣1++1+）2＝（2）2＝20．【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．23．湖南省第二届旅发大会期间，某景区准备购进A，B两种纪念品，每个A种纪念品比每个B种纪念品的进价少2元，用70元购买A种纪念品的数量与用90元购买B种纪念品的数量一样，请解答下列问题：（1）A，B两种纪念品每个进价各是多少元？（2）若该景区购进B种纪念品的个数比购进A种纪念品的个数的2倍还多5个，且A种纪念品不少于18个，购进A，B两种纪念品的总费用不超过545元，则该景区有哪几种进货方案？【分析】（1）设A种纪念品每个的进价是x元，则每个B种纪念品的进价为（x+2）元，依据用70元购买A种纪念品的数量与用90元购买B种纪念品的数量一样，列方程解答即可；（2）设购进A种纪念品m个，则购进B种纪念品（2m+5）个，利用总价＝单价×数量，结合“购进A种纪念品的数量不少于18个，且购进A，B两种纪念品的总费用不超过545元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解得m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各进货方案．解：（1）设每个A种纪念品的进价为x元，每个B种纪念品的进价为（x+2）元，依题意得：，解得x＝7，经检验得x＝7为原方程的解且符合题意，则x+2＝9，答：每个A种纪念品的进价为7元，每个B种纪念品的进价为9元；（2）设购进A种纪念品m个，则购进B种纪念品（2m+5）个，依题意得：，解得：18≤m≤20，又∵m为正整数，∴m可以取18，19，20，∴该景区共有3种进货方案，方案1：购进A种纪念品18个，B种纪念品41个；方案2：购进A种纪念品19个，B种纪念品43个；方案3：购进A种纪念品20个，B种纪念品45个．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程组或一元一次不等式组．24．我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当a＞0，b＞0时，有+b≥0，∴a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号．（1）当x＞0时，x+的最小值为2；当x＜0时，﹣x﹣的最小值为2；（2）当x＜0时，求的最大值；（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为8和18，设△BOC的面积为x，求四边形ABCD的最小面积．【分析】（1）由x＞0，可得x+≥2＝2，故x+的最小值为2；由x＜0，知﹣x＞0，﹣＞0，故﹣x﹣≥2＝2，即得﹣x﹣的最小值为2；（2）把变形为x+2+＝﹣[（﹣x）+（﹣）]+2，由x＜0，可知（﹣x）+（﹣）≥2＝2，即得（﹣x）+（﹣）的最小值为2，﹣[（﹣x）+（﹣）]的最大值为﹣2，故的最大值为﹣2+2；（3）根据等高三角形的面积等于底边的比可得＝＝，即，故S△AOD＝，从而S四边形ABCD＝18+8+x+≥26+2＝50，可得四边形ABCD面积的最小值为50．解：（1）∵x＞0，∴x+≥2＝2，∴x+的最小值为2；∵x＜0，∴﹣x＞0，﹣＞0，∴﹣x﹣≥2＝2，∴﹣x﹣的最小值为2，故答案为：2，；（2）＝x+2+＝﹣[（﹣x）+（﹣）]+2，∵x＜0，∴﹣x＞0，﹣＞0，∴（﹣x）+（﹣）≥2＝2，∴（﹣x）+（﹣）的最小值为2，∴﹣[（﹣x）+（﹣）]的最大值为﹣2，∴的最大值为﹣2+2；（3）∵＝＝（等高三角形的面积等于底边的比），且S△BOC＝x，S△AOB＝8，S△COD＝18，∴，∴S△AOD＝，∴S四边形ABCD＝18+8+x+≥26+2＝50，∴四边形ABCD面积的最小值为50．【点评】本题考查四边形综合应用，涉及完全平方公式的应用，解题的关键是掌握平方的非负性．