2024步步高考二轮数学新教材讲义专题六　培优点8　圆锥曲线中非对称韦达定理的应用含答案

2024步步高考二轮数学新教材讲义培优点8圆锥曲线中非对称韦达定理的应用1．已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点，焦点为F，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)若eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，求直线AB的斜率．2．已知椭圆E的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．点M在E上，MF2⊥F1F2，△MF1F2的周长为6＋4eq\r(2)，面积为eq\f(1,3)c.(1)求E的方程；(2)设E的左、右顶点分别为A，B，过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))的直线l与E交于C，D两点，记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，则________．(从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答)①求直线AC和BD交点的轨迹方程；②是否存在实常数λ，使得k1＝λk2恒成立；③过点C作关于x轴的对称点C′，连接C′D微重点10离心率的范围问题1．若椭圆上存在点P，使得P到椭圆两个焦点的距离之比为2∶1，则该椭圆的离心率e的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))2．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上存在点A，使得∠F1AF2＝eq\f(π,3)，则椭圆离心率的范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))3．已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若E上点A满足|AF1|＝2|AF2|，且向量eq\o(AF1,\s\up6(→))，eq\o(AF2,\s\up6(→))夹角的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))，则E的离心率取值范围是()A．[eq\r(3)，eq\r(5)] B．[eq\r(7)，3]C．[3,5] D．[7,9]4．(2023·嘉定模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为e，点B的坐标为(0，b)，若C上的任意一点P都满足|PB|≥b，则()A．1<e≤eq\f(1＋\r(3),2) B．e≥eq\f(1＋\r(3),2)C．1<e≤eq\f(1＋\r(5),2) D．e≥eq\f(1＋\r(5),2)5．(2023·衡阳模拟)设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，椭圆C上的两点A，B关于原点对称，且满足eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(5),3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))6．(2023·泉州模拟)已知双曲线C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的上、下焦点分别为F1，F2，点M在C的下支上，过点M作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，若|MD|>|F1F2|－|MF1|恒成立，则C的离心率的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，2))C．(1,2) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，＋∞))7．(多选)已知点O为坐标原点，F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P为椭圆上一点，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝2c2，下列说法正确的是()A．|OP|＝eq\r(3)cB．离心率范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),3)))C．当点P为短轴端点时，△PF1F2为等腰直角三角形D．若＝eq\r(2)c2，则tan∠F1PF2＝eq\r(2)8．(多选)(2023·温州模拟)已知F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)是椭圆C1：eq\f(x2,a\o\al(2,1))＋eq\f(y2,b\o\al(2,1))＝1(a1>b1>0)与双曲线C2：eq\f(x2,a\o\al(2,2))－eq\f(y2,b\o\al(2,2))＝1(a2>0，b2>0)共同的焦点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，点M是它们的一个交点，则以下判断正确的有()A．△F1MF2面积为b1b2B．若∠F1MF2＝θ，则e1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)，1))C．若∠F1MF2＝eq\f(2π,3)，则e1e2的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，＋∞))D．若∠F1MF2＝eq\f(2π,3)，则eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)的取值范围为(2，＋∞)9．(2023·晋中模拟)点A1，A2是双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右顶点．若直线x＝eq\f(c2,a)上存在点P，使得∠A1PA2＝eq\f(π,6)，则该双曲线的离心率取值范围为__________．10．(2023·成都模拟)双曲线H：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)其左、右焦点分别为F1，F2，倾斜角为eq\f(π,3)的直线PF2与双曲线H在第一象限交于点P，设△F1PF2内切圆半径为r，若|PF2|≥2eq\r(3)r，则双曲线H的离心率的取值范围为________．微重点11圆锥曲线中二级结论的应用1．(2023·淄博质检)设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq\r(5).P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a等于()A．1B．2C．4D．82．已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x＝－1，过其焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若直线l的斜率为1，则弦AB的长为()A．4B．6C．7D．83．(2023·齐齐哈尔模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.若椭圆C上存在一点M，使得|F1F2|是|MF1|与|MF2|的等比中项，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),10)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),10)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))4．已知直线l：y＝kx与椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于A，B两点，M是椭圆上异于A，B的一点．若椭圆E的离心率的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))，则直线MA，MB斜率之积的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(1,2)))5．(多选)(2023·齐齐哈尔模拟)伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的π倍，这种方法已具有积分计算的雏形．已知椭圆C的面积为12eq\r(5)π，离心率为eq\f(2,3)，F1，F2是椭圆C在x轴上的两个焦点，A为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是()A．椭圆C的标准方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1B．若∠F1AF2＝eq\f(π,3)，则＝20eq\r(3)C．存在点A，使得∠F1AF2＝eq\f(π,2)D.eq\f(2,|AF1|)＋eq\f(1,|AF2|)的最小值为eq\f(1,4)＋eq\f(\r(2),6)6．(多选)(2023·襄阳模拟)如图，过双曲线C：x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A，B两点，交x轴于点D，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是()A．|AB|min＝2bB．S△OAP＝S△OBPC．S△AOB＝2bD．若存在点P，使cos∠F1PF2＝eq\f(1,4)，且eq\o(F1D,\s\up6(→))＝2eq\o(DF2,\s\up6(→))，则双曲线C的离心率e＝27．已知椭圆E：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1，F2分别作斜率为k1，k2的直线l1，l2，分别交椭圆E于A，B和C，D四点，且|AB|＋|CD|＝6eq\r(2)，则k1k2＝________.8．已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与E交于A，B两点(B在x轴的上方)，且满足eq\o(AF1,\s\up6(→))＝eq\f(1,7)eq\o(F1B,\s\up6(→)).若直线的倾斜角为120°，则双曲线的离心率为________．9．(2023·温州模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，短轴长为2，F为右焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)在x轴上是否存在一点M，使得过F的任意一条直线l与椭圆的两个交点A，B，恒有∠OMA＝∠OMB，若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由．10．设椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点F1，F2分别为E的左、右焦点，椭圆的离心率e＝eq\f(1,2)，点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；(2)M是直线x＝4上任意一点，过M作椭圆E的两条切线MA，MB(A，B为切点)．①求证：MF2⊥AB；②求△MAB面积的最小值．得到直线l1，试探究：直线l1是否恒过定点．培优点8圆锥曲线中非对称韦达定理的应用1．解(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故抛物线的方程是y2＝4x，其准线方程是x＝－1.(2)方法一由(1)可知F(1,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AB的方程可设为x＝ty＋1，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝ty＋1，))整理得y2－4ty－4＝0，所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.又eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，即(1－x1，－y1)＝2(x2－1，y2)，可得－y1＝2y2，即eq\f(y1,y2)＝－2，则eq\f(y1,y2)＋eq\f(y2,y1)＝eq\f(y1＋y22,y1y2)－2＝－eq\f(5,2)，即eq\f(4t2,－4)－2＝－eq\f(5,2)，解得t＝±eq\f(1,2\r(2))，故kAB＝－eq\f(1,t)＝±2eq\r(2).方法二A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(1,0)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(1－x1，－y1)，2eq\o(FB,\s\up6(→))＝(2x2－2,2y2)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x1＝2x2－2，,－y1＝2y2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝3－2x2，①,y1＝－2y2，②))∵A，B在抛物线上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1，③,y\o\al(2,2)＝4x2，④))由①②③④联立可得x2＝eq\f(1,2)，则y2＝±eq\r(2)，由③－④得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，即kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝eq\f(4,－2y2＋y2)＝－eq\f(4,y2)＝±2eq\r(2).2．解(1)依题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋2c＝6＋4\r(2)，,\f(1,2)·2c·\f(b2,a)＝\f(b2,a)·c＝\f(1,3)c，,a2＝b2＋c2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝3＋2\r(2)，,\f(b2,a)＝\f(1,3)，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b2＝1，,c2＝8，))所以E的方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1.(2)选择①.设直线l的方程为x＝ty＋eq\f(3,2)，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,9)＋y2＝1，,x＝ty＋\f(3,2)，))化简整理，得4(t2＋9)y2＋12ty－27＝0，假设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由韦达定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝\f(－3t,t2＋9)，,y1y2＝\f(－27,4t2＋9)，))得ty1y2＝eq\f(9,4)(y1＋y2)，直线AC的方程为y＝eq\f(y1,x1＋3)(x＋3)，直线BD的方程为y＝eq\f(y2,x2－3)(x－3)，联立方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(y1,x1＋3)x＋3，,y＝\f(y2,x2－3)x－3，))两式相除，得eq\f(x＋3,x－3)＝eq\f(y2,x2－3)·eq\f(x1＋3,y1)＝eq\f(x1＋3y2,x2－3y1)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ty1＋\f(9,2)))y2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ty2－\f(3,2)))y1)＝eq\f(2ty1y2＋9y2,2ty1y2－3y1)＝eq\f(2·\f(9,4)y1＋y2＋9y2,2·\f(9,4)y1＋y2－3y1)＝eq\f(3y1＋y2＋6y2,3y1＋y2－2y1)＝eq\f(3y1＋3y2,y1＋3y2)＝3，即eq\f(x＋3,x－3)＝3，解得x＝6，所以直线AC和BD交点的轨迹方程是直线x＝6.选择②.联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,9)＋y2＝1，,x＝ty＋\f(3,2)，))化简整理，得4(t2＋9)y2＋12ty－27＝0，假设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由韦达定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝\f(－3t,t2＋9)，,y1y2＝\f(－27,4t2＋9)，))得ty1y2＝eq\f(9,4)(y1＋y2)，于是eq\f(k1,k2)＝eq\f(y1,x1＋3)·eq\f(x2－3,y2)＝eq\f(x2－3y1,x1＋3y2)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ty2－\f(3,2)))y1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ty1＋\f(9,2)))y2)＝eq\f(2ty1y2－3y1,2ty1y2＋9y2)＝eq\f(2·\f(9,4)y1＋y2－3y1,2·\f(9,4)y1＋y2＋9y2)＝eq\f(\f(3,2)y1＋\f(9,2)y2,\f(9,2)y1＋\f(27,2)y2)＝eq\f(\f(3,2)y1＋3y2,\f(9,2)y1＋3y2)＝eq\f(1,3)，故存在实数λ＝eq\f(1,3)，使得k1＝λk2恒成立．选择③.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，C′(x1，－y1)，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,9)＋y2＝1，,x＝ty＋\f(3,2)，))化简整理，得4(t2＋9)y2＋12ty－27＝0，由韦达定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝\f(－3t,t2＋9)，,y1y2＝\f(－27,4t2＋9)，))设直线C′D与x轴交于点M(m,0)，由对称性可知kCM＋kDM＝0，即eq\f(y1,x1－m)＋eq\f(y2,x2－m)＝0，则y1(x2－m)＋y2(x1－m)＝0，所以y1(x2－m)＋y2(x1－m)＝x1y2＋x2y1－m(y1＋y2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ty1＋\f(3,2)))y2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ty2＋\f(3,2)))y1－m(y1＋y2)＝2ty1y2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－m))(y1＋y2)＝2t·eq\f(－27,4t2＋9)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－m))·eq\f(－3t,t2＋9)＝0，即－9t＋(3－2m)·(－t)＝0，解得m＝6，所以直线C′D恒过定点M(6,0)．微重点10离心率的范围问题1．C2.D3.B4．C[设P(x，y)，因为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，所以x2＝a2＋eq\f(a2,b2)y2，则|PB|2＝x2＋(y－b)2＝a2＋eq\f(a2,b2)y2＋y2－2by＋b2＝eq\f(c2,b2)y2－2by＋c2，所以当y＝eq\f(b3,c2)时，|PB|2取得最小值为eq\f(4·\f(c2,b2)·c2－4b2,4·\f(c2,b2))＝eq\f(c4－b4,c2)，依题意得|PB|2≥b2恒成立，所以eq\f(c4－b4,c2)≥b2，即eq\f(c4－c2－a22,c2)≥c2－a2，化简整理得c4－3a2c2＋a4≤0，即e4－3e2＋1≤0，又e>1，所以1<e2≤eq\f(3＋\r(5),2)，解得1<e≤eq\f(1＋\r(5),2).]5．B[如图所示，设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，BF′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF′为平行四边形，又eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝0，即FA⊥FB，所以四边形AFBF′为矩形，所以|AB|＝|FF′|＝2c，设|AF′|＝n，|AF|＝m，在Rt△ABF中，|BF|＝n，m＋n＝2a，m2＋n2＝4c2，可得mn＝2b2，所以eq\f(m,n)＋eq\f(n,m)＝eq\f(m2＋n2,mn)＝eq\f(2c2,b2)，令eq\f(m,n)＝t，得t＋eq\f(1,t)＝eq\f(2c2,b2).又|FB|≤|FA|≤2|FB|，得eq\f(m,n)＝t∈[1,2]，所以t＋eq\f(1,t)＝eq\f(2c2,b2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))，所以eq\f(c2,b2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4)))，结合c2＝a2－b2，所以eq\f(b2,a2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,9)，\f(1,2)))，所以eq\f(c2,a2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,9)))，所以eq\f(c,a)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(5),3)))，即椭圆C的离心率的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(5),3))).]6．A[如图，过点F2作渐近线的垂线，垂足为E，连接MF2，设|F1F2|＝2c，则点F2到渐近线y＝－eq\f(a,b)x的距离|EF2|＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b.由双曲线的定义可得|MF1|－|MF2|＝2a，故|MF1|＝|MF2|＋2a，所以|MD|＋|MF1|＝|MD|＋|MF2|＋2a≥|EF2|＋2a＝b＋2a，即|MD|＋|MF1|的最小值为2a＋b，因为|MD|>|F1F2|－|MF1|恒成立，所以|MD|＋|MF1|>|F1F2|恒成立，即2a＋b>2c恒成立，所以b>2c－2a，即b2>4c2＋4a2－8ac，即c2－a2>4c2＋4a2－8ac，所以3c2＋5a2－8ac<0，即3e2－8e＋5<0，解得1<e<eq\f(5,3).]7．ABD[∵eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(PO,\s\up6(→))＋\o(OF1,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(PO,\s\up6(→))＋\o(OF2,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(PO,\s\up6(→))＋\o(OF1,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(PO,\s\up6(→))－\o(OF1,\s\up6(→))))＝|PO|2－|OF1|2，∴eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝|PO|2－c2，又eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝2c2，∴2c2＝|PO|2－c2，∴|OP|＝eq\r(3)c，故A正确；∵|OP|＝eq\r(3)c，b≤|OP|≤a，∴b≤eq\r(3)c≤a，即a2－c2≤3c2≤a2，∴eq\f(1,2)≤e≤eq\f(\r(3),3)，故B正确；当点P为短轴端点时，∵|OP|＝eq\r(3)c，|F1F2|＝2c，∴△PF1F2为等边三角形，故C错误；若＝eq\r(2)c2，又＝|OP||OF2|sin∠POF2，∴＝|OP||OF2|sin∠POF2＝eq\r(3)c·csin∠POF2＝eq\r(2)c2，∴sin∠POF2＝eq\f(\r(6),3)，不妨设∠POF2为锐角，则∠POF1为钝角，∴cos∠POF2＝eq\f(\r(3),3)，∴|PF2|2＝|OP|2＋|OF2|2－2|OP||OF2|·cos∠POF2＝2c2，∴|PF2|＝eq\r(2)c，同理可得|PF1|＝eq\r(6)c，∴cos∠F1PF2＝eq\f(2c2＋6c2－4c2,2×\r(2)c×\r(6)c)＝eq\f(\r(3),3)，∴tan∠F1PF2＝eq\r(2)，故D正确．]8．ABD[设|MF1|＝m，|MF2|＝n，∠F1MF2＝θ，不妨设点M是C1，C2在第一象限内的交点，则m>n，m＋n＝2a1，m－n＝2a2，所以m＝a1＋a2，n＝a1－a2，在△F1MF2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cosθ，即4c2＝m2＋n2－2mncosθ，一方面，4c2＝m2＋n2－2mncosθ＝(m＋n)2－2mn(1＋cosθ)＝4aeq\o\al(2,1)－2mn(1＋cosθ)，所以mn＝eq\f(2a\o\al(2,1)－2c2,1＋cosθ)＝eq\f(2b\o\al(2,1),1＋cosθ)，此时△F1MF2面积为S＝eq\f(1,2)mnsinθ＝beq\o\al(2,1)·eq\f(sinθ,1＋cosθ)＝beq\o\al(2,1)·eq\f(2sin

\f(θ,2)cos

\f(θ,2),2cos2\f(θ,2))＝beq\o\al(2,1)tan

eq\f(θ,2)；另一方面，4c2＝m2＋n2－2mncosθ＝(m－n)2＋2mn(1－cosθ)＝4aeq\o\al(2,2)＋2mn(1－cosθ)，所以mn＝eq\f(2c2－2a\o\al(2,2),1－cosθ)＝eq\f(2b\o\al(2,2),1－cosθ)，此时△F1MF2面积为S＝eq\f(1,2)mnsinθ＝beq\o\al(2,2)·eq\f(sinθ,1－cosθ)＝beq\o\al(2,2)·eq\f(2sin

\f(θ,2)cos

\f(θ,2),2sin2\f(θ,2))＝eq\f(b\o\al(2,2),tan

\f(θ,2))，对于A，因为S2＝beq\o\al(2,1)tan

eq\f(θ,2)·eq\f(b\o\al(2,2),tan

\f(θ,2))＝(b1b2)2，所以S＝b1b2，故A正确；对于B，因为m>n且m＋n＝2a1，所以mn＝eq\f(2b\o\al(2,1),1＋cosθ)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)))2＝aeq\o\al(2,1)，所以eq\f(2b\o\al(2,1),a\o\al(2,1))＝eq\f(2a\o\al(2,1)－c2,a\o\al(2,1))＝2－2eeq\o\al(2,1)<1＋cosθ＝2cos2eq\f(θ,2)，所以eeq\o\al(2,1)>1－cos2eq\f(θ,2)＝sin2eq\f(θ,2)，所以e1>sin

eq\f(θ,2)，又e1<1，所以e1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin

\f(θ,2)，1))，故B正确；当∠F1MF2＝θ＝eq\f(2π,3)时，由4c2＝m2＋n2－2mncosθ得4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2＋(a1＋a2)(a1－a2)，即3aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝4c2，所以eq\f(3,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝4，即eq\f(1,e\o\al(2,2))＝4－eq\f(3,e\o\al(2,1))，所以1<eq\f(1,e\o\al(2,1))<eq\f(4,3)，对于C，令1<t＝eq\f(1,e\o\al(2,1))<eq\f(4,3)，则eq\f(1,e\o\al(2,1))·eq\f(1,e\o\al(2,2))＝eq\f(1,e\o\al(2,1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(3,e\o\al(2,1))))＝－3t2＋4t＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(2,3)))2＋eq\f(4,3)∈(0,1)，所以(e1e2)2∈(1，＋∞)，e1e2∈(1，＋∞)，故C错误；对于D，eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝eq\f(1,4)(eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,e\o\al(2,1))＋\f(1,e\o\al(2,2))))＝1＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e\o\al(2,1),e\o\al(2,2))＋\f(3e\o\al(2,2),e\o\al(2,1))))，记s＝eq\f(e\o\al(2,2),e\o\al(2,1))>1，则eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝1＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3s＋\f(1,s)))，函数y＝3s＋eq\f(1,s)是对勾函数，在(1，＋∞)上单调递增，所以eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝1＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3s＋\f(1,s)))>1＋eq\f(1,4)×(3＋1)＝2，即eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)的取值范围为(2，＋∞)，故D正确．]9．(1，eq\r(2)]10.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，2))解析设△F1PF2内切圆C与△F1PF2的边F1F2，PF2，PF1分别相切于点M，N，Q，则|CM|＝|CN|＝|CQ|＝r，且|F1M|＝|F1Q|，|F2M|＝|F2N|，|PQ|＝|PN|，所以Rt△CMF2≌Rt△CNF2，因为直线PF2的倾斜角为eq\f(π,3)，所以∠CF2M＝eq\f(π,3)，所以|MF2|＝|F2N|＝eq\f(r,tan

\f(π,3))＝eq\f(r,\r(3))，因为|F1M|＝2c－eq\f(r,\r(3))＝|F1Q|，|PQ|＝|PN|＝|PF2|－eq\f(r,\r(3))，由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，所以|QF1|－|NF2|＝2a，即2c－eq\f(r,\r(3))－eq\f(r,\r(3))＝2a，所以r＝eq\r(3)(c－a)，过点P作PD⊥x轴于点D，设P(xP，yP)，则xP＝c＋eq\f(1,2)|PF2|，yP＝eq\f(\r(3),2)|PF2|，由双曲线的焦半径公式可得|PF2|＝exP－a＝eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,2)|PF2|))－a，则|PF2|＝eq\f(c2－a2,a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(e,2))))，因为|PF2|≥2eq\r(3)r，所以eq\f(c2－a2,a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(e,2))))≥6(c－a)，则eq\f(e＋1,1－\f(e,2))≥6，即eq\f(e＋1,1－\f(e,2))－6≥0，化简可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4e－5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)－1))≤0，,\f(e,2)－1≠0，))则双曲线H的离心率的取值范围为eq\f(5,4)≤e<2.微重点11圆锥曲线中二级结论的应用1．A2.D3.A4．D[由椭圆中的结论，可得kMA·kMB＝－eq\f(b2,a2)，由椭圆的离心率的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))，即eq\f(\r(3),3)<e<eq\f(\r(2),2)⇔eq\f(\r(3),3)<eq\f(c,a)<eq\f(\r(2),2)⇔eq\f(1,3)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2<eq\f(1,2)，所以eq\f(1,3)<eq\f(a2－b2,a2)<eq\f(1,2)⇒－eq\f(2,3)<－eq\f(b2,a2)<－eq\f(1,2)，即－eq\f(2,3)<kMA·kMB<－eq\f(1,2).]5．AD[对于A，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝12\r(5)，,\f(c,a)＝\f(2,3)，,a2＝b2＋c2，))解得a＝6，b＝2eq\r(5)，c＝4，则椭圆C的标准方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1，故A正确；对于B，令θ＝∠F1AF2，＝b2·tan

eq\f(θ,2)＝eq\f(20\r(3),3)，故B错误；对于C，当点A为短轴的一个顶点时，∠F1AF2最大，此时cos∠F1AF2＝eq\f(62＋62－82,2×62)＝eq\f(1,9)>0，所以∠F1AF2为锐角，则不存在点A，使得∠F1AF2＝eq\f(π,2)，故C错误；对于D，eq\f(2,|AF1|)＋eq\f(1,|AF2|)＝eq\f(1,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,|AF1|)＋\f(1,|AF2|)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|AF1|＋|AF2|))＝eq\f(1,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(2|AF2|,|AF1|)＋1＋\f(|AF1|,|AF2|)))≥eq\f(1,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋2\r(2)))＝eq\f(1,4)＋eq\f(\r(2),6)，当且仅当eq\f(2|AF2|,|AF1|)＝eq\f(|AF1|,|AF2|)，即|AF1|＝eq\r(2)|AF2|时，等号成立，故D正确．]6．ABD[对于A项，在点P(x0，y0)处的切线方程为x0x－eq\f(y0y,b2)＝1，设点P(x0，y0)，A(x1，y1)是切线与渐近线在第一象限的交点，B(x2，y2)是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程为y＝±bx，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0x－\f(y0y,b2)＝1，,y＝bx))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(b,bx0－y0)，,y＝\f(b2,bx0－y0)，))所以点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,bx0－y0)，\f(b2,bx0－y0)))，同理可得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,bx0＋y0)，\f(－b2,bx0＋y0)))，则|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,bx0－y0)－\f(b,bx0＋y0)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,bx0－y0)＋\f(b2,bx0＋y0)))2)＝2eq\r(b2＋1x\o\al(2,0)－1)，又因为x0≥1，所以|AB|≥2eq\r(b2＋1－1)＝2b，即|AB|min＝2b，故A项正确；对于B项，由A项知，eq\f(\f(b,bx0－y0)＋\f(b,bx0＋y0),2)＝x0，eq\f(\f(b2,bx0－y0)＋\f(－b2,bx0＋y0),2)＝y0，所以点P(x0，y0)是A，B的中点，所以S△OAP＝S△OBP，故B项正确；对于C项，因为在点P(x0，y0)处的切线方程为x0x－eq\f(y0y,b2)＝1，令y＝0得x＝eq\f(1,x0)，所以点Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0)，0))，则S△AOB＝S△AOD＋S△BOD＝eq\f(1,2)×|OD|×|y1－y2|＝eq\f(1,2)×eq\f(1,x0)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,bx0－y0)＋\f(b2,bx0＋y0)))＝b，故C项错误；对于D项，因为F1(－c,0)，F2(c,0)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0)，0))，所以eq\o(F1D,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0)＋c，0))，eq\o(DF2,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(1,x0)，0))，又因为eq\o(F1D,\s\up6(→))＝2eq\o(DF2,\s\up6(→))，所以eq\f(1,x0)＋c＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(1,x0)))，解得c＝eq\f(3,x0)，即x0＝eq\f(3,c)，代入xeq\o\al(2,0)－eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1得yeq\o\al(2,0)＝eq\f(9b2,c2)－b2，所以|PF1|2＝(x0＋c)2＋yeq\o\al(2,0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,c)＋c))2＋eq\f(9b2,c2)－b2＝eq\f(9,c2)＋c2＋6＋eq\f(9b2,c2)－b2＝eq\f(9,c2)＋c2＋6＋eq\f(9c2－1,c2)－(c2－1)＝16，|PF2|2＝(x0－c)2＋yeq\o\al(2,0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,c)－c))2＋eq\f(9b2,c2)－b2＝eq\f(9,c2)＋c2－6＋eq\f(9b2,c2)－b2＝eq\f(9,c2)＋c2－6＋eq\f(9c2－1,c2)－(c2－1)＝4，所以2a＝|PF1|－|PF2|＝4－2＝2，解得a＝1，所以cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2×|PF1|×|PF2|)＝eq\f(16＋4－4c2,2×4×2)＝eq\f(5－c2,4)＝eq\f(1,4)，解得c2＝4，所以c＝2，所以离心率e＝eq\f(c,a)＝2，故D项正确．]7．±eq\f(1,2)8.eq\f(3,2)解析方法一设|AF1|＝k，|BF1|＝7k，根据双曲线定义|AF2|＝k＋2a，|BF2|＝7k＋2a，在△AF1F2中，由余弦定理可得(k＋2a)2＝(2c)2＋k2－2·2c·kcos60°，①在△BF1F2中，由余弦定理可得(7k＋2a)2＝(7k)2＋(2c)2－2·2c·7kcos120°，②由①②可得3a＝2c，则e＝eq\f(3,2).方法二由焦点弦定理可知，焦点在x轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F的直线交曲