广东省揭阳市揭西县2023-2024学年高一上学期期末数学试题（解析版）

PAGEPAGE1广东省揭阳市揭西县2023-2024学年高一上学期期末数学试题一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集，，则为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，.故选：A.2.克糖水中含克糖，若再加入克糖，则糖水变甜了．请根据此事实提炼一个不等式（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗克糖水中含克糖，糖水中糖的浓度为，再加入克糖后，糖水中糖的浓度为，加糖后，糖水变甜了，说明糖水中糖的浓度变大了，则有.故选：B.3.某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常（正常体温为37℃），但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面能大致反映出小鹏这一天（0时至24时）体温变化情况的图像是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗选项A反映，体温逐渐降低，不符合题意；选项B不能反映下午体温又开始上升的过程；选项D不能反映下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫这一过程.故选：C.4.设f（x）＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，则有（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗∵f（x）在R上是减函数，2a－1<0，即.故选：D.5.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由，得，则，故“”是“”的充分不必要条件．故选：A.6.中国数学家华罗庚倡导的“优选法”在各领域都应用广泛，就是黄金分割比的近似值，古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选：D.7.若，则下列不等式一定成立的是（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，则为上增函数，又，则，则.故选：B.8.设函数，若函数恰有5个零点，，，，，，，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由函数恰有5个零点，知有5个根，由五点法作图，02πx0100如图，可知过点，，，，又，则，，，，.故选：D.二、多项选择题（共4小题，满分20分，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）9.已知函数，若，则（）A.1 B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗当时，，解得，满足要求，当时，，解得，满足要求.故选：BC.10.若，且，则下列不等式中，恒成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗对于A，，不等式成立，A正确；对于B，由于，且，当时，，而，不等式不成立，B错误；对于C，由于，且，当时，，而，不等式不成立，C错误；对于D，由，且，得，则，当且仅当时取等号，D正确.故选：AD.11.已知函数，如果函数满足对任意，都存在，使得，称实数为函数的包容数，下列数中可以为函数的包容数的是（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗记的值域为，的值域为，由题意可知：；对于A，当时，；；则，，满足，A正确；对于B，当时，，；则，，满足，B正确；对于C，当时，，；则，，满足，C正确；对于D，当时，；；则，，不满足，D错误.故选：ABC.12.关于函数有以下四个选项，正确的是（）A.对任意的都不是偶函数B.存在使是奇函数C.存在使D.若的图像关于对称，则〖答案〗AD〖解析〗因为，其中，，对于A，要使为偶函数，则，且，则无解，即对任意的a，都不是偶函数，故正确；对于B，要使为奇函数，则，且，又，所以不存在a，使是奇函数，故错误；对于C，因为，故错误；对于D，若的图像关于对称，则，，解得，且，所以，即，故正确.故选：AD.三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分.）13.写出一个在上单调递增的奇函数____________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗令，则，故为奇函数，且函数在定义域上单调递增.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.14.若函数，则______.〖答案〗〖解析〗，，所以.故〖答案〗为：.15.已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是_______________.〖答案〗或〖解析〗，令，则由可得，则，要使其既有最小值又有最大值，若最大值为，则，解得，若最大值，则，解得，综上所述：或.故〖答案〗为：或.16.已知，，则的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，因为，令，所以，又因为在上单调递增，所以，所以，所以的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题（共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.化简下列式子并求值：（1）；（2）.解：（1）原式为.（2）原式为.18.如图，已知单位圆与轴正半轴交于点，点在单位圆上，其中点在第一象限，且，记．（1）若，求点的坐标；（2）若点的坐标为，求的值．解：（1）因为，所以，所以点坐标为，因为，所以，所以点坐标为；所以两点坐标分别为.（2）由点在单位圆上，得，又点位于第一象限，则，所以点的坐标为，即，所以，所以．19.已知函数.（1）若函数在区间上是单调递增函数，求实数k的取值范围；（2）若对一切实数都成立，求实数k的取值范围．解：（1）因为函数在区间上是单调递增函数，且的对称轴为，所以，解得.（2）若对一切实数都成立，则，解得.20.设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求不等式的解集.解：（1）的最小正周期.（2）不等式，即，所以，求得，故不等式的解集为，.21.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，已知用1个单位量的水清洗一次可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为．（1）试确定的值，并解释其实际意义；（2）设．方案1：用3个单位量的水，清洗一次；方案2：每次用1.5个单位量的水，清洗两次；方案3：每次用1个单位量的水，清洗三次．试问用哪个方案清洗后蔬菜上残留的农药量最少，说明理由．解：（1）由题意可得，实际意义：表示未用清水冲洗蔬菜时蔬菜上残留的农药量保持原样.（2）设清洗前残留的农药量为，用第套方案清洗后残留的农药量为，则；；，易知，所以，即用方案2清洗后蔬菜上残留的农药量最少.22.已知定义在上的奇函数，且对定义域内的任意x都有，当时，．（1）用单调性的定义证明在上单调递减；（2）若，对任意的，存在，使得成立，求a的取值范围．解：（1）取，且，由；因为，所以，即，可得；所以在上单调递减.（2）由奇函数可知