备战2024年高考模拟数学试卷04(新高考Ⅱ数学试卷专用)(解析版)

PAGEPAGE1备战2024年高考数学模拟卷04（新高考Ⅱ卷专用）第I卷（选择题）一、单项选择题1．设集合,,若集合，则集合P的真子集的个数为（

）．A．63个 B．64个 C．31个 D．32个〖答案〗C〖解析〗，，所以,因为集合中有5个元素，所以真子集的个数为个.故选：C.2．已知a，b，，则“”的必要不充分条件可以是下列的选项（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗A选项：取，满足，但，所以不是的必要条件，A错误；B选项：若，，则，所以不是的必要条件，B错误；C选项：若，，则，若，则，则有，所以，是的必要条件；取，显然满足，但，所以不是的充分条件.综上，是的必要不充分条件，C正确；D选项：取，显然满足，但，所以不是的充分条件，D错误.故选：C3．已知边长为2的菱形中，，点E是BC上一点，满足，则（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，则，因为，所以，解得，故，则.故选：B4．五岳是中国汉文化中五大名山的总称，分别为东岳泰山、西岳华山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.某旅游博主为领略五岳之美，决定用两个月的时间游览完五岳，且每个月只游览五岳中的两大名山或三大名山（五岳只游览一次），则恰好在同一个月游览华山和恒山的概率为（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗由题意，确定一个月的游览方案，则另一个月游览其余名山即可.该旅游博主游览五岳可分两类方法：第一类，第一个月游览两大名山，从五大名山中任选两大名山，有种方法；第二类，第一个月游览三大名山，从五大名山中任选三大名山，有种方法；由分类计数原理可得，共有种方法.设“该旅游博主恰好在同一个月游览华山和恒山”，可分两步完成这件事：第一步，从两个月中选一个月游览华山和恒山，有种方法；第二步，确定游览华山和恒山的这个月的游览方案，分为两类：若该月只游览两大名山，则只有种方法；若该月浏览三大名山，则再从其余三大山中任取一大山游览，有种方法，则第二步共有种方法；由分步计数原理，则完成事件共有种方法.由古典概型概率公式得.故选：C.5．已知，且，则（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗因为，可得，解得或，又因为，则，可得.对于选项A：，故A错误；对于选项B：，故B错误；对于选项C：，故C错误；对于选项D：，故D正确；故选：D.6．函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，若关于实数的不等式恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗因为函数是定义在上的奇函数，即，当时，又有意义，所以是定义域上的偶函数，又因为在区间上单调递增，所以，所以，即，所以，则或，解得或，所以的取值范围是．故选：D．7．已知抛物线的焦点为F，准线为l，A，B为C上两点，且均在第一象限，过A，B作l的垂线，垂足分别为D，E.若，，则的外接圆面积为（

）.A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗如图所示，

由抛物线的定义可知，，所以，，所以，故，易知为锐角，且由可知，所以.设的外接圆半径为R，由正弦定理可知，又，所以，所以的外接圆面积为.故选：A.8．已知函数，若，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．〖答案〗C〖解析〗由，得，即.因为，则，当时，，所以在上单调递增，所以，则.令，则，所以在上单调递增，在上单调递减.故选：C.二、多项选择题9．设函数，若在有且仅有5个极值点，则（

）A．在有且仅有3个极大值点 B．在有且仅有4个零点C．的取值范围是 D．在上单调递增〖答案〗AD〖解析〗作出的草图如下：的极值点满足，即，因为在有且仅有5个极值点，所以，则需，且，解得，故C错误；因为，则由图可知时，是在上的第一个极大值点，根据正弦型三角函数的图像规律可知，极大值点与极小值点总是交替出现的，时是的两个极大值点，另外两个为极小值点，故A正确；如图可知，在点之前已有4个零点，也可能落在点的右侧，从而使在上有5个零点，故B错误；当时，的周期最小，此时第一个极大值点为，而在上单调递增，故在上单调递增，故D正确.故选：AD10．已知一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（

）A．不等式解集的充要条件为B．若，则关于的不等式的解集也为C．若，则关于的不等式的解集是，或D．若，且，则的最小值为8〖答案〗AD〖解析〗选项A：不等式解集，等价于一元二次函数的图象没有在轴上方的部分，故等价于，所以选项A正确；选项B：取值，，此时能满足，而的解集为，或，的解集为，故B选项错误；选项C：因为一元二次不等式的解集为，所以得到与是的根且，故有，解得，所以不等式即为，等价于不等式的解集，所以选项C错误；选项D：因为，所以，即，令，所以，当且仅当即取“=”，选项D正确.故选：AD.11．如图,在正方体中,,为线段上的动点,则下列说法正确的是（

）A．B．平面C．三棱锥的体积为定值D．的最小值为〖答案〗ABD〖解析〗对于A,连接,如图:

平面,平面,,又平面,平面,平面,平面,,连接,同理可得,平面,平面,平面,平面,,故A正确;对于B,连接,如图:

,四边形为平行四边形,,平面,平面,平面,同理四边形为平行四边形,,平面,平面,平面,,平面,平面,平面平面,平面,平面,故B正确;对于C,如图:

由B知,平面,平面,平面,点到平面的距离等于点到平面的距离,,故C错误;对于D,将平面和平面沿直线展开为一个平面,如图:

,,,,,即的最小值为,故D正确.故选:ABD.12．已知定义在上的函数满足且，则（

）A． B．C．为偶函数 D．为周期函数〖答案〗ACD〖解析〗依题意，，，取，得，又，则，A正确；取，得，则，B错误；取，得，而，即，于是，有，则为偶函数，C正确；即，得，即，有，于是，即有，因此，所以为周期函数，D正确.故选：ACD第II卷（非选择题）三、填空题13．已知是复数的共轭复数，则，则〖答案〗〖解析〗设，则，，则.故〖答案〗为：.14．已知圆的圆心位于第三象限且在直线上，若圆与两个坐标轴都相切，则圆的标准方程是．〖答案〗〖解析〗由题意，在圆中，圆心位于第三象限且在直线上，设圆心为，半径为，∵圆与两个坐标轴都相切，∴圆心到两坐标轴的距离相等，，解得：，∴，∴圆的标准方程为.故〖答案〗为：.15．设函数，若为奇函数，则曲线过点的切线方程为．〖答案〗和〖解析〗因为为奇函数，，得，，，设切点，则切线方程为，又切线过点，代入得解得或．当时，切点为，切线方程为；当时，切点为，切线方程为．故〖答案〗为：和16．已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为、，且到渐近线的距离为3，过的直线与双曲线C的右支交于、两点，和的内心分别为、，则的最小值为.〖答案〗〖解析〗由题意，，已知焦点到渐近线的距离为3，由对称性，不妨设焦点为，渐近线，即，则焦点到渐近线的距离为，又离心率为2，∴，解得，∴，∴双曲线的方程为.记的内切圆在边，，上的切点分别为，则，横坐标相等，且，，，由，即，得，即，由双曲线定义知点双曲线右支上，且在轴上，则，即内心的横坐标为.同理内心的横坐标也为，故轴.设直线的倾斜角为，则，（为坐标原点），在中，，由于直线与双曲线的右支交于两点，且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为，∴，即，∴的范围是，当时，即直线垂直于轴时，取到最小值.故〖答案〗为：.

四、解答题17．已知数列为等差数列，且，．(1)求的通项公式；(2)数列满足，数列的前项和为，求证：．(1)解：设等差数列的公差为，则，解得：，.(2)证明：由(1)得：，，，.18．已知正四棱柱中，，，为线段的中点，为线段的中点．

(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)证明：直线平面并且求出直线到平面的距离．(1)解：以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，，，即直线与平面所成角的正弦值为.(2)证明：由(1)知：，，，，，，又平面，平面，直线到平面的距离即为点到平面的距离，设该距离为，则，即直线到平面的距离为.19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．(1)求角A的大小；(2)若D为BC上一点，，，求的最小值．解：(1)因为，由正弦定理得，即，，所以，又，所以；(2)由，得，因为，所以，即，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．20．某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是，若上一次失败则下一次成功的概率是．记消费者甲第次获胜的概率为，数列的前项和，且的实际意义为前次游戏中平均获胜的次数．(1)求消费者甲第2次获胜的概率；(2)证明：为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖．(1)解：(2)证明：,,,为等比数列,且公比为；.,因为单调递增，当n为奇数时，，所以得获奖至少要玩9轮.当n为偶数时，，得奖至少要玩10轮，所以平均至少要玩9轮才可能获奖.21．已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，且过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解：(1)设椭圆的标准方程为，由题意知，故椭圆的标准方程又为，即，又椭圆过点，，椭圆的标准方程为；(2)由题意可知直线的斜率存在且不过点，设直线的方程为，，由，消去整理得，需满足，则，，直线的倾斜角互补，，，，将，代入得，整理得，而，，所以直线的斜率为定值，其定值为2.22．已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)当，若不等式恒成立，求的取值范围．解：(1)当时，，则，，又，在处的切线方程为：，即.(2)方法一：令，则恒成立，的定义域为，且；令，则，在上单调递增，即在上单调递增，又，，，使得，且当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，由得：，，，，，即，令，则在上单调递减，又，，，设，则，在上单调递增，，，又，的取值范围为.方法二：由得：，，当时，在，时恒成立，；当时，设，则，，在上单调递增，，即，，令，则，当时，；当时，；在上单