广东省广州市番禺区2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测数学试题（解析版）

PAGEPAGE1广东省广州市番禺区2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得：.故选：B.2.设则（）A.1 B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗由题设，.故选：C3.在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，中，，A不是；对于B，中，，B不是；对于C，化为，，C不是；对于D，中，，D是.故选：D4.已知直线经过点，且它的一个方向向量为，则直线的方程为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗直线的一个方向向量为，则直线的斜率为2，而直线过点，所以直线的方程为，即.故选：C5.番禺图书馆新馆是一个集知识、信息、文化为一体的综合性阅读场所.有段时间内，若甲同学前往图书馆新馆的概率为0.5，乙前往图书馆新馆的概率0.8，且甲、乙两人各自行动，则在此段时间内，甲、乙两人至少有一人前往番禺图书馆新馆的概率是（）A.0.9 B.0.8 C.0.5 D.0.4〖答案〗A〖解析〗依题意，甲、乙两人都没前往番禺图书馆新馆的概率，所以甲、乙两人至少有一人前往番禺图书馆新馆的概率是.故选：A6.设点为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于两点（均异于点）．若，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗如下图所示：连接、，设，由对称性可知，为的中点，，因为，则线段是以为直径的圆的一条直径，则为圆心，故为的中点，又因为，且、互相垂直且平分，所以，四边形为正方形，则，所以，，所以，该双曲线的离心率为.故选：A.7.如图，在棱长为1的正方体中，点在上，点在上，则的最小值为（）A.1 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则可设，其中，，其中，根据图中可知直线和直线为异面直线，若能取到两异面直线间的距离，则此时距离最小，根据异面直线公垂线的定义知，，，，，，则，则，，解得，满足范围，则此时，则.故选：C.8.蜜蜂是母系社会生物，蜂后产的卵若能受精则孵化为雌蜂，若不能受精则孵化为雄蜂，即雄蜂是“有母无父”，雌蜂是“有父有母”的，下图是某只雄峰的家系图，规定：其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推.记表示该雄蜂上溯第代祖辈数量，例如.那么，下列结论中正确的是（）A. B.C D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，当时，，A选项，，A错误；B选项，，B正确；C选项，，C错误；D选项，，故，D错误.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在等差数列中，已知，，是其前项和，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗在等差数列中，由，，得公差，A正确；，B正确；，C错误；由，得，因此，D正确.故选：ABD10.已知函数（），则下列说法正确的是（）A.函数的图象关于轴对称B.函数的最小正周期为C.点为函数图象的一个对称中心D.函数的最大值为1〖答案〗BD〖解析〗由题意可得：，对于选项A：因为不为最值，所以函数的图象不关于轴对称，故A错误；对于选项B：函数的最小正周期为，故B正确；对于选项C：因为，所以点不为函数图象的一个对称中心，故C错误；对于选项D：当，即时，函数取到最大值为1，故D正确；故选：BD.11.已知为坐标原点，点，动点满足，是直线上的点，下列结论正确的是（

）A.点的轨迹是圆 B.的最大值为 C.的最小值为 D.〖答案〗ACD〖解析〗设，则，即，所以点轨迹是圆，此圆圆心为，半径为．是圆的一条直径．点到直线的距离为，直线与圆相离，无最大值，最小值为，由于已知直线与以为直径的圆相离，，因此ACD正确．故选：ACD12.过拋物线：的焦点作直线交抛物线于A，两点，则（）A.以线段为直径的圆与轴相切 B.的最小值为4C.当时，直线的斜率为 D.〖答案〗BC〖解析〗由题意可知：拋物线：的焦点，准线为，且直线的斜率可以不存在，但不为0，设直线，，联立方程，消去x可得，则，可得，可得，，对于选项A：因为线段的中点为，即，则到准线的距离，所以以线段为直径的圆与准线相切，故A错误；对于选项B：因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4，故B正确；对于选项C：因为，且，则，即，联立，解得，代入可得，解得，所以直线的斜率为，故C正确；对于选项D：因为，所以，故D错误；故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小顾5分，共20分.13.等比数列中，，，则___________〖答案〗16〖解析〗由题意，等比数列中，若，，根据等差数列的性质，可得，即，解得.故〖答案〗为：14.已知圆：，过点作圆的切线，切点为，则______.〖答案〗〖解析〗点到圆心的距离为，则切线长为.故〖答案〗为：.15.在棱长为2的正四面体中，是的中点，则______.〖答案〗2〖解析〗在棱长为2的正四面体中，，所以.故〖答案〗为：216.用一个平面将圆柱切割成如图的两部分.然后将下半部分几何体的侧面展开.若该平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为，，则该平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是______.〖答案〗〖解析〗由在一个周期上图象如图，其最大值与最小值相差，即截面的最高处与最低处的高度差为，底面周长为，即底面半径为1，故直径为2，所以平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角的对边分别为，已知，.（1）若，求的值；（2）若，求的面积.解：（1）在中，由及正弦定理，得，而，则，显然，即，于是，所以.（2）在中，，，，由余弦定理，得，所以的面积.18.某大型连锁超市为了解客户去年在该超市消费情况，随机抽取了100位客户进行调查.经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.（1）求该频率分布直方图中的值，并估计这100位客户去年到该超市消费金额的平均数；（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作为代表）（2）为了解顾客需求，该超市从消费金额在区间和内的客户中，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，再从访谈的5人中随机抽取2人作为“幸运客户”，求“幸运客户”中恰有1人来自区间的概率.解：（1）由题可知，即，所以.由频率分布直方图可得，因此，这100位客户去年到该超市消费金额的平均数为万元.（2）记“幸运客户中恰有1人来自区间”为事件.因为区间与频率之比为，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，故从分组区间中抽取2人，分别记为，从分组区间中抽取3人，分别记为，从这5个人中随机选择2人作为“幸运客户”，样本点表示“选出”（余类推），则样本空间为.所以.答：幸运客户中恰有1人来自区间的概率为.19.已知数列是一个首项为3，公比为（）的等比数列，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和，求数列的前项和.解：（1）因，，成等差数列，则，即，可得，解得或，又因为，则，所以数列的通项公式为.（2）若数列的前项和，则有：当时，可得；当时，可得；且满足，所以.结合（1）可得，则，所以.20.如图，在直三棱柱中，是上的一点，且平面.（1）求证：；（2）若，，为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.解：（1）在直三棱柱中，平面，平面，则，由平面，且平面，得，又平面，，于是平面，又平面，所以.（2）由（1）知平面，平面，则，显然直线两两垂直，以B为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，由，，得，则，，设平面的一个法向量，则，令，得，显然平面，则平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，因此，所以平面与平面的夹角的余弦值为.21.已知两个定点，，动点满足直线与直线的斜率之积为定值（）.（1）求动点的轨迹方程，并说明随变化时，方程所表示的曲线的形状；（2）若，设不经过原点的直线与曲线相交于，两点，直线，，的斜率分别为，，（其中），若，，恰好构成等比数列，求的值．解：（1）设动点，依题意有，整理，得，∴动点M的轨迹方程为：,时，轨迹是焦点在x轴上的双曲线，时，轨迹是焦点在x轴上的椭圆，时，轨迹是圆，时，轨迹是焦点在y轴上的椭圆，且点不在曲线上．（2）由题意可知，斜率一定存在且不为零，设直线方程为，，联立，得，，，因为，，恰好构成等比数列，所以，即代入韦达定理，化简可得，因为，所以.22.已知函数，.（1）当时，求函数的定义域；（2）当时，判断函数的奇偶性并证明；（3