福建省福州市四校教学联盟2023-2024学年高一上学期1月期末学业联考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1福建省福州市四校教学联盟2023-2024学年高一上学期1月期末学业联考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的.1.集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为集合，所以.故选：C．2.若，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，由不等式的可加性可得，故A正确；当，，，时，，，，故B错误；当，，，时，，，，故C错误；当，，，时，，，，故D错误.故选：A.3.函数的图象大致是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗恒成立，排除CD；的定义域为，排除A.故选：B.4.命题：是第二象限角或第三象限角，命题：，则是的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗若是第二象限角或第三象限角，则；若，取，，此时不是第二象限角或第三象限角；综上所述：是的充分不必要条件.故选：C.5.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意知，故.故选：D.6.中国的技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率（单位：）取决于信道宽度（单位：）､信道内信号的平均功率（单位：）、信道内部的高斯噪声功率（单位：）的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度变为原来倍，而将信噪比从提升至，则大约增加了（）（附：）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗当时，；当时，信道宽度变为原来倍，，因为.故选：D.7.命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，等价于，恒成立，设，则，所以命题为真命题的充要条件为，所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为．故选：C．8.已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为对任意，，所以，即，构造函数，则，所以函数是上的减函数，当时，函数是上的减函数，符合题意；当时，函数图象的对称轴为直线，当时，函数是上的减函数，符合题意；当时，要使得函数是上的减函数，只需，解得，综上所述，实数的取值范围足.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的.9.下列大小关系正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗A选项：由指数函数为单调递增函数，可得成立，所以选项正确；B选项：由幂函数为单调递增函数，可得成立，所以B选项正确；C选项：由对数函数为单调递增函数，则，所以C选项不正确；D选项：由函数与均为单调递增函数，则，而，所以D选项正确.故选：ABD.10.设正实数，满足，则下列说法正确的是（）A.的最小值为2 B.的最小值为1C.的最大值为4 D.的最小值为2〖答案〗AD〖解析〗对于A，因为，，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为2，故A正确；对于B，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为1，故B错误；对于C，，当且仅当时等号成立，所以，即的最大值为2，故C错误；对于D，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为2，故D正确.故选：AD.11.已知函数，则下列结论正确的有（）A.函数的最小正周期为 B.函数的一个单调增区间为C.函数的一个对称中心是 D.函数的一条对称轴是〖答案〗AD〖解析〗对于A：的最小正周期为，故A正确；对于B：当时，，所以在上单调递减，故B错误；对于C：函数的对称中心纵坐标为，故C错误；对于D：当时，，所以的一条对称轴是，故D正确.故选：AD.12.已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（）A.当，有1个零点 B.当时，有3个零点C.当时，有9个零点 D.当时，有7个零点〖答案〗AD〖解析〗由，得，则函数的零点个数即为解的个数，设，则，二次函数，其图象开口向上，过点，对称轴为，当时，在上单调递减，且，如图：由，得，解得，由，得，解得，因此函数的零点个数是1，A正确，B错误；当时，，作出函数的图象如图：由图象知有3个根，当时，，解得；当时，，解得，当时，，若，则，若，则，此时共有3个解；当时，，此时有1个解，，即有2个解，当时，，此时有1个解，即无解，因此当时，函数的零点个数是7，D正确，C错误.故选：AD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.已知扇形的圆心角是，其周长为，则扇形的面积为______．〖答案〗〖解析〗设扇形的圆心角为，半径为，所以扇形的周长为，，所以扇形的面积.故〖答案〗为：.14.函数y＝的定义域是__________________．〖答案〗〖解析〗由知，，由正弦函数图象特征知，，故定义域为.故〖答案〗为：.15.已知函数是幂函数，且在上递增，则实数___________.〖答案〗〖解析〗由题意得，解得或，当时，在上递减，不符合题意；当时，在上递增，符合题意.故〖答案〗为：.16.已知函数给出下列四个结论：①当时，的最小值为0；②当时，不存在最小值；③零点个数为，则函数的值域为；④当时，对任意，，．其中所有正确结论的序号是______．〖答案〗①②③〖解析〗①当时，，在上的值域为，在上值域为，所以的最小值为0，故①正确；②在上的值域为，当时，在上值域为；当时，在上值域为；要使不存在最小值，则或，解得或，故②正确；③至多一个零点，至多有两个零点，当时，若，则由，可得或，故恒有两个零点；时，若，则存在一个零点；若，不存在零点，所以时，零点个数可能为2或3个；若，则，此时，即上无零点，而，故有一个零点，即；若，则，此时上，无零点，时，也无解，故无零点，即；综上，的值域为，故③正确；④当时，，则，所以，故④错误.故〖答案〗为：①②③.四、解答题：本大题共6小题，满分70分.除第17小题10分以外，每小题12分.17.设，已知集合，.（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.解：（1），解得，，当时，得，所以.（2）若“”是“”的必要不充分条件，所以AB，解方程，得或，当时，，不满足题意；当，即时，，因为AB，所以，解得；当，即时，，显然不满足题意，综上，的取值范围为.18.用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像.解：列表：012001描点，连线，画出在上的大致图像如图：19.已知函数的最小正周期为.（1）求的值及函数单调递增区间；（2）求在区间上的最值.解：（1）的最小正周期为，则，，，；取，解得，故单调递增区间为.（2），则，当，即时，；当，即时，；故的最大值为，最小值为.20.某环保组织自2023年元旦开始监测某水域中水葫芦生长的面积变化情况并测得最初水葫芦的生长面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自2023年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快.最初测得该水域中水葫芦生长的面积为（单位：），二月底测得水葫芦的生长面积为，三月底测得水葫芦的生长面积为，水葫芦生长的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2023年元旦最初测量时间的值为0.（1）请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的〖解析〗式；（2）该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上？（参考数据：）.解：（1）两个函数模型，在上都是增函数，随着的增大，的函数值增加得越来越快，而函数值增加得越来越慢，在该水域中水葫芦生长的速度越来越快，即随着时间增加，该水域中水葫芦生长的面积增加得越来越快，第一个函数模型满足要求，由题意知，，解得，所以.（2）由，解得，又，故，该水域中水葫芦生长的面积在7月份是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上.21.已知函数.（1）当时，求的解集；（2）是否存在实数，使得不等式对满足的所有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解：（1）时，函数，不等式即为，即，解得，∴不等式的解集为.（2）设，，根据题意知，在上恒成立，①当时，解得，若，则在上单调递增，则，不符合题意；若，则上单调递减，则，不符合题意；②当，即时，的图像为开口向下的抛物线，要使在上恒成立，需，即，解得或，又∵，∴此时无解；③当，即或时，的图像为开口向上的抛物线，其对称轴方程为，（i）当，即时，在上单调递增，∴，解得或，∵，，∴此时无解；（ii）当，即或时，在上单调递减，在上单调递增，∴，此时无解；（iii）当，即时，在上单调递减，∴，解得或，∵，，∴此时无解；综上，不存在符合题意的实数.22.已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有成立，则称函数是D上的P级周期函数，周期为T.（1）判断函数是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？（2）已知，是上的P级周期函数，且是上的严格增函数，当时，.求当时，函数的〖解析〗式，并求实数P的取值范围；（3）是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论.解：（1）依题意，函数定义域是R，，即，成立，所以函数是R上的周期为1的2级递减周期函数.（2）因，是上的P级周期函数，则，即，而当时，，当时，，