福建省福州市2023-2024学年高一上学期1月月考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1福建省福州市2023-2024学年高一上学期1月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，集合，则集合（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意知，当时，，当时，，当时，，当时，，所以.故选：D.2.“”是“”的（）A.充分必要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗由，可得或，所以是的充分不必要条件.故选：C.3.已知正数满足，则当取得最小值时()A. B. C.5 D.〖答案〗B〖解析〗，当且仅当时等号成立.故选：B.4.下列命题中的真命题是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗B〖解析〗选项A：若，则不成立，即A错误；选项B：由不等式性质可知：若，则有，即B正确；选项C：当时，由，可得，即C错误；选项D：当时，有成立，但此时，，由可知，不成立，即D错误故选：B.5.下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根据函数定义，在定义域内，对于任意，只能有唯一确定的与其对应，ABC满足要求；D选项，在定义域内对于，有两个确定的与其对应，D错误.故选：D.6.已知定义在R上的函数满足，当时，.若，，则t的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知：当时，，可知在上单调递减，在上单调递增，且的最小值为；当时，，；当时，，；当时，，；当时，，，令，解得或，因为，，所以.故选：D.7.已知，且，函数，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗（1）时，①，无实数根；②，有一个实数根；故与题意矛盾，不成立；（2）时，①若，有一个实数根，则，解得：，若，无实数根，则；②，在上必有一个实数根；若，即，或，则在上有一个实数根，若，即，则在上无实数根；综上，的取值范围是.故选：D.8.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，设扇形的面积为，其圆心角为，此扇形所在圆面中剩余部分面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”.某扇环玉雕为“美观扇面”的一部分，其所在扇面半径，尺寸（单位：）如图所示，则该玉雕的扇环面积为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知，，解得，所以该玉雕的扇环面积为.故选：A．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）9.下列结论错误的是（）A.若函数对应的方程没有根，则不等式的解集为RB.不等式在上恒成立的条件是且C.若关于x的不等式的解集为，则D.不等式的解为〖答案〗AD〖解析〗A：函数不存在零点，若则不等式解集为，若则不等式解集为解集为空集，A错误；B：由条件有不等式对应的二次函数图象开口向下，所以，且函数图象至多与x轴有一个交点，故，B正确；C：当时不等式解集为，显然不符合题意，当时由二次函数的性质知：，解得，C正确；D：化不等式为分式不等式，解得，D错误.故选：AD.10.己知幂函数，则下列说法正确的是（）A.B.当的图象经过点时，为奇函数C.若幂函数的图象经过点，函数在为减函数D.函数的图象都不经过第四象限〖答案〗BCD〖解析〗因为是幂函数，所以，解得：，则，对于选项A：，故选项A错误；对于选项B：当的图象经过点时，有，解得：，则，此时函数为奇函数，故选项B正确；对于选项C：若幂函数的图象经过点，则，解得：，则，此时函数在为减函数，故选项C正确；对于选项D：因为，当时，由不等式性质可得：，所以函数的图象都不经过第四象限，故选项D正确.故选：BCD.11.已知函数图象经过点，则下列结论正确的有（）A.在上为增函数B.为偶函数C.若，则D.若则〖答案〗ACD〖解析〗因为经过点，所以，故，由对数函数的图象和性质得：AC是正确的，B是错误的；对D：，根据基本（均值）不等式得：，由题知等号取不到，所以，即，故D正确.故选：ACD.12.已知函数，，则下列说法不正确的有（）A.若，则B.若，则C.函数的单调递增区间为D.若方程有三个不同的解，则或〖答案〗AC〖解析〗由，可得，由，得，即可得，解得或，故A不正确，B正确；在坐标系中画出函数的图象，如图所示：由函数图象可知函数的单调递增区间为和，故C不正确；由方程有三个不同的解，可知或，故D正确．故选：AC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设命题，，若是假命题，则实数的取值范围是________.〖答案〗〖解析〗是假命题，是真命题，，，，，当时，，当且仅当时，即时，等号成立，，可取到，，.故〖答案〗为：.14.已知函数，若关于x的不等式恰有1个整数解，则实数a的最大值是______．〖答案〗8〖解析〗函数的图象，如图所示：关于的不等式，当时，，由于关于的不等式恰有1个整数解，因此其整数解为3，又，所以，则，所以实数的最大值为8.故〖答案〗为：8.15.已知函数，则___________.〖答案〗〖解析〗由题意得，，所以.故〖答案〗为：.16.点在角终边上，则______．〖答案〗〖解析〗，由题设，并根据三角函数定义得，则.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合，，．（1）求；；（2）若，求实数a的取值范围．解：（1）由题意知，，故，或，故.（2）因为，故，若，则；若，则，综合可得实数a的取值范围为.18.甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100（km/h），若货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度的平方的倍，固定成本为元.（1）将全程运输成本（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶?解：（1）由题意得可变成本为元，固定成本为a元，所用时间为，则，定义域为．（2）由（1）得，当且仅当，即时取等号，易知函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以当时，货车以km/h的速度行驶，全程运输成本最小；当时，货车以100km/h的速度行驶，全程运输成本最小．19.已知幂函数满足.（1）求〖解析〗式；（2）若，求实数取值范围.解：（1）由是幂函数，可得，解得或；当时，在上单调递减，不满足；当时，在上单调递增，满足，故.（2）由（1）知，则函数的定义域为，且函数在上单调递增，又，所以解得，所以实数的取值范围是.20.已知函数．（1）若是偶函数，求的值；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．解：（1）因为是偶函数，所以，即，故．（2）由题意知在上恒成立，则，又因为，所以，则，令，则，可得，又因为，当且仅当时，等号成立，所以，即a的取值范围是．21.生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量进行监测.第一次监测时的总量为（单位：吨），此时开始计时，时间用（单位：月）表示.甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据：月吨为了研究该生物总量与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达与的变化关系：①；②且.（1）请根据表中提供的前列数据确定第一个函数模型的〖解析〗式；（2）根据第列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量由翻一番时经过了个月，根据你选择的函数模型，若总量再翻一番时还需要经过多少个月？（参考数据：，）解：（1）将前列数据代入第一个函数模型得：，解得：，第一个函数模型的〖解析〗式为：.（2）将前列数据代入第二个函数模型得：，解得：，第二个函数模型的〖解析〗式为：；将代入第一个函数模型得：；代入第二个函数模型得：；将代入第一个函数模型得：；代入第二个函数模型得：；根据第列数据，第二个模型与监测数据差距较小；总量翻一番时，，此时；若总量再翻一番，则，由得：，，，总量再翻一番时还需要经过个月.22.已知函数的最小正周期为，其图象关于点对称.（1）令，判断函数的奇偶性；（2）是否