备战2024年高考模拟数学试卷05(新高考II数学试卷专用)(解析版)

PAGEPAGE1备战2024年高考数学模拟卷05（新高考II卷专用）第I卷（选择题）一、单项选择题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗，又，则.故选：B.2．（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗.故选：A3．斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距约为4m，拉索下端相邻两个锚的间距均为18m.最短拉索的锚，满足，，以所在直线为轴，所在直线为轴，则最长拉索所在直线的斜率为（

）

A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由题意知，分别是公差为4和18的等差数列，所以，，所以，，即最长拉索所在直线的斜率为.故选：B.4．已知平面向量，，，若，则（

）A． B．5 C．2 D．〖答案〗D〖解析〗，，因为，所以，所以，解得.故选：D5．2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（

）A．1120 B．7200 C．8640 D．14400〖答案〗B〖解析〗甲与乙相邻有种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的5人排好，有种不同的排法，再将丙排入隔开的不在两端的5个空中，有种不同的排法，所以共有种不同的排法．故选：B.6．已知角，且，，则（

）A． B． C． D．2〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以，则，又，则，则，所以.故选：C.7．已知正三棱锥的外接球的表面积为，若平面PBC，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗设外接球半径为，则，所以.设，因为平面PBC，所以，所以，又因为△ABC为正三角形，，即PA，PB，PC两两垂直.将三棱锥补成以PA，PB，PC为邻边的正方体，则，得，所以三棱锥的体积为.故选：A.8．函数和的定义域均为，已知为偶函数，为奇函数，对于，均有，则（

）A．66 B．70 C．124 D．144〖答案〗B〖解析〗为偶函数，即，的图像关于对称，为奇函数，即，的图像关于点对称，对于，均有，，的图像关于对称，，的图像关于点对称，又解得，.故选：B.二、多项选择题9．对于函数，有以下四种说法正确的是:（）A．函数的最小值是B．图象的对称轴是直线C．图象的振幅为2，初相为D．函数在区间上单调递增〖答案〗AD〖解析〗因为函数，则有：对于选项A：当，即时，函数取得最小值为，故A正确；对于选项B：令，解得，函数的图象的对称轴是直线，故B错误；对于选项C：因为，所以图象的振幅为2，令，解得，所以不为初相，故C错误；对于选项D：令，解得，即函数的递增区间为，当时，的递增区间为，故D正确.故选：AD.10．（多选题）“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．〖答案〗ACD〖解析〗设长方体的长宽高分别为，，则，，，故，，，，则B错误，ACD正确；故选：ACD.11．已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（

）A．抛物线的准线方程为 B．直线与抛物线相切C．为定值 D．〖答案〗ABD〖解析〗对于A：因为点在抛物线：上，则，解得，所以抛物线：，其准线为，故A正确；对于B：令，则，可得，即抛物线在A点处切线斜率与直线AB斜率相同，所以直线AB与抛物线C相切，故B正确；对于C：由题意可知，直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，联立方程，消去y得：，可得，得，且，因为，故C错误；对于D：由题意可知，因为，则，所以，故D正确.故选：ABD．

12．若实数x，y满足，则（

）A． B．C． D．〖答案〗AD〖解析〗对于AB，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，所以A正确，B错误，对于C，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以C错误，对于D，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以D正确，故选：AD第II卷（非选择题）三、填空题13．已知随机变量服从正态分布，且，则.〖答案〗〖解析〗随机变量服从正态分布，且，所以，所以，故〖答案〗为：14．已知函数，过原点作曲线的切线，则切线的斜率为．〖答案〗〖解析〗由题意得，，设切点为，则切线方程为，因为切线过原点，所以，解得，所以．故〖答案〗为：15．已知圆C：，直线，若在l上总存在点M，使得过M点作的圆C的两条切线互相垂直，则实数m的取值范围是．〖答案〗〖解析〗根据题意，圆C：即，其圆心为，半径，如图，设切点分别为A，连接AC，BC，MC，由，又由，则四边形MACB为正方形且，若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心到直线l的距离，即，解可得：，即m的取值范围为；故〖答案〗为：16．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，、分别交轴于、两点，的周长为4.过作外角平分线的垂线与直线交于点，则.〖答案〗〖解析〗因为，所以，因为的周长为4，所以的周长，所以，所以椭圆方程为，，所以，直线垂直轴，设，代入，求得，所以，，因为外角平分线的垂线与直线交于点，所以，可得，则，所以.故〖答案〗为：.四、解答题17．已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且．(1)证明：；(2)若集合，求集合中的元素个数．(1)证明：设数列的公差为，则，即，解得，所以原命题得证.(2)解：由(1)知，所以，因为，所以，解得,由，，故，即，所以满足等式的解．故集合中的元素个数为6.18．在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：设的内角，，的对边分别为，，，且，，______.(1)求；(2)求的周长.注：若选择条件①、条件②分别解答，则按第一个解答计分.解：(1)在中，，，，，则，化简得.在中，，.又，.(2)由余弦定理，得，即.若选①，，即，且，，，此时的周长为.若选②，，，即，又，，此时的周长为．19．据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准（单位：吨），月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求和的值；(2)若该市政府希望使的居民月用水量不超过标准吨，试估计的值；(3)在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过吨时，按3元吨计算，超出吨的部分，按5元吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？解：(1)，用水量在的频率为，（户）(2)，，（吨）（3）设该市居民月用水量最多为吨，因为，所以，则，解得，答：该市居民月用水量最多为20.64吨．20．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，E，F分别是PC，AD中点．(1)求证：平面；(2)若，PB与平面ABCD所成角为45°，求平面PFB与平面EFD夹角的余弦值．(1)证明：设为中点，连接，又分别是中点，所以，，又底面是正方形，所以，，故四边形为平行四边形，则，由平面，平面，则平面.(2)解：因为PB与平面ABCD所成角为45°，所以，以为原点，构建空间直角坐标系，由于，则，所以，所以，令为平面的一个法向量，则，令，即，令为平面的一个法向量，则，令，即，所以，即平面与平面夹角的余弦值．21．已知双曲线：经过点，且浙近线方程为．(1)求的方程；(2)过点作轴的垂线，交直线：于点，交轴于点．不过点的直线交双曲线于A、B两点，直线，的斜率分别为，，若，求．解：(1)由，即，将代入双曲线方程得；(2)当直线的斜率存在时，不妨设直线，，联立双曲线方程，其中，，易知，化简得所以或，当时，直线过P，不符题意舍去，故，则此时直线，过定点.如图所示，易知，则；当直线的斜率不存在时，可设，与双曲线方程联立，则，可令，此时，此时重合，不符题意舍去.综上可知.22．已知函数.(1)当时，求的极值；(2)若，求的值；(3)求证：.(1)解：当时，，，则，当时，，单调递减，