第三章 静力平衡问题(7学时)

第三章静力平衡问题3.1平面力系的平衡问题3.2含摩擦的平衡问题3.3平面桁架3.4空间力系的平衡问题3.1平面力系的平衡问题一、静定与静不定问题的概念我们学过：平面汇交力系 两个独立方程，只能求两个独立未知数。 一个独立方程，只能求一个独立未知数。 力偶系平面任意力系三个独立方程，只能求三个独立未知数。1)静定问题完全约束住的n个物体组成的物体系统在平面一般力系作用下，每一物体都处于平衡，共可写出3n个平衡方程。若反力未知量是3n个，则是静定的。由平衡方程即可确定的静力平衡问题

--未知量数=独立平衡方程数ABCF30如例1

系统

二根杆

六个平衡方程；约束

三处铰链

六个反力，静定。若将BC视为二力杆，则平衡方程减少二个，但B、C处约束力未知量也减少了二个。本题作用于小车的是平行于Y轴的平行力系，系统

三个物体

8个平衡方程；约束

固定端3；中间铰2；活动铰、车轮接触处各1

共8个反力，是静定问题。如例3系统

三个物体

9个方程，反力只有8个。小车可能发生水平运动。未被完全约束住的物体及系统

约束力未知量数少于独立的平衡方程数，有运动的可能。CABWP2）静不定问题或超静定问题

完全约束的物体或系统，若约束力数>独立平衡方程数，问题的解答不能仅由平衡方程获得，称静不定问题。3n=3;m=4一次静不定3n=3;m=6三次静不定3n=3;m=4一次静不定约束反力数m系统中物体数n<3n未完全约束

m=3n静定问题

>3n静不定问题静不定的次数为：

k=m-3nＣMAB讨论：试判断下列问题的静定性。约束力数m=8

物体数n=3m<3n

未完全约束

m=6n=2m=3n静定结构

n=3m=1+2+2+4=9m=3n静定结构60

ABCDF1F2ABCFD静力学[例]外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。二、物体系统的平衡问题静力学物系平衡的特点：

①物系静止

②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中有n个物体）解物系问题的一般方法：

由整体局部（常用），由局部整体（用较少）[例3.1]

已知如图P、Q，求平衡时=？地面的反力ND=？解：研究球受力如图，选投影轴列方程为由②得由①得①②[例3.2]在CD上作用有一力偶，力偶矩的大小m=40N

m，求平衡时，A、B、C、D和E处的约束反力ABCDEm24032032026014030

解（1）受力分析ABCDEmRARBCDRCRDm（2）列平衡方程：对整体：求得：对CD杆：静力学[例3.3]

已知：OA=R,AB=l,当OA水平时，冲压力为P时，求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？

④冲头给导轨的侧压力？

解：研究B静力学[负号表示力的方向与图中所设方向相反]再研究轮静力学解：选整体研究受力如图选坐标、取矩点、Bxy,B点列方程为:

解方程得

①②③④

[例3.4]

已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N，AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。求AC杆内力？B点的反力？静力学

受力如图取E为矩心，列方程解方程求未知数①②③④再研究CD杆静力学[例3.5]

已知:P=100N.AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m且AB水平,ED铅垂,BD垂直于斜面；

求?和A支座反力？(只用3个独立方程)解：研究整体画受力图选坐标列方程

静力学再研究AB杆，受力如图与SAB相关的D、B点和ED、AB杆静力学解题步骤及解题技巧1、解物系问题的一般方法：

由整体局部（常用），由局部整体（用较少）2、由整体，把能求的力，当作已知力（不一定要求出具体值），以便进一步分析局部时，列出其他所需的方程。3、找二力杆，作突破口；4、正确画出约束力（固定端-3个；铰支-2个；滑槽/辊轴-1个）。

解题步骤：选研究对象------画受力图（受力分析）------选坐标、取矩点、列平衡方程------解方程求出未知数解题技巧静力学5、受平面任意力系作用的静止（平衡）系统，能且只能列3个独立方程，能且只能求解3个未知量。平面力偶系只有1个独立方程。平面汇交或平行力系只有2个独立方程。一个刚体（平面任意力系），提供3个方程，n个刚体提供3n个方程，能求解3n个未知量。对于题目要求的未知量，若方程不够，可能是有些方程未找到。若多了，可能列出了不独立方程或新增加了一些未要求的未知量，此时，尽量不要引入新的未知量，以简化计算。不要出现局部1+局部2=3的问题。

静力学6、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。力系中各力在每个坐标轴上投影的代数和分别等于零.两坐标轴不一定要垂直。只要不平行即可。力矩中心常选在未知力多或题目不要求的未知力的作用点处，以减少每个平衡方程中的未知量的数目。列矩方程注意矩心的限制条件。若方程数目等于未知量数目，但有些未知量解不出来，则可能是列出的方程可能与其他方程线性相关。7、平面汇交和力偶的题也可以用任意力系做，只是方程个数增加。问题1：不计杆重，求连杆机构在图示平衡位置时F1、F2之关系。问题2:三铰拱受力偶M作用，不计拱的重量，求A、

B处的约束力。bＣMABac4560

ABCDF1F2问题3：试求图示双跨梁A端的约束力。ABCFq2aaa45

问题1.

不计杆重，求连杆机构在图示平衡位置时

F1、F2之关系。4560

ABCDF1

F2FDFC

ME(F)=F2

AE-F1sin60

BE=0注意：BE=AB；AE=

AB可解得：

F2=......F12E

静力学前面我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下都存在有摩擦。[例]平衡必计摩擦

3.2含摩擦的平衡问题22静力学1、定义：相接触物体，产生相对滑动（趋势）时，其接触面产生阻止物体运动的力叫滑动摩擦力。（就是接触面对物体作用的切向约束反力）

2、状态：①静止：

②临界：（将滑未滑）

③滑动：一、静滑动摩擦力所以增大摩擦力的途径为：①加大正压力N,②加大摩擦系数f

（f—静滑动摩擦系数）（f'—动摩擦系数）23静力学三、摩擦角：

①定义：当摩擦力达到最大值 时其全反力

与法线的夹角叫做摩擦角。 ②计算：24静力学四、自锁

①定义：当物体依靠接触面间的相互作用的摩擦力与正压力（即全反力），自己把自己卡紧，不会松开（无论外力多大），这种现象称为自锁。

当 时，永远平衡（即自锁）②自锁条件：25静力学摩擦系数的测定：OA绕O轴转动使物块刚开始下滑时测出a角，f=tga,(该两种材料间静摩擦系数)③自锁应用举例26

2.夹紧装置如图。夹紧后OA水平，欲在力F0除去后工件不松，求偏心距e.OAeF0B工件D直径

3.破碎机轧辊D=500mm，匀速转动破碎球形物料。f=0.3,求能破碎的最大物料直径d。（物重不计）

1.木楔打入墙内，摩擦角为

，试问a为多大时木楔打入后才不致退出？aa利用自锁条件，研究下述问题：1.木楔打入墙内，摩擦角为

，试问a为多大时木楔打入后才不致退出？aa不计重力，木楔受全反力FR1、FR2二力作用而处于平衡，则FR1、FR2必共线且沿铅垂方向(对称性)。临界状态有：

a=r;自锁条件为：a

rFR1F1maxF2maxrFR2FN1问题：

2.夹紧装置如图。夹紧后OA水平，欲在P力除去后工件不松，求偏心距e.自锁条件：

a

tga=e/(d/2)

tg=f得:e

fd/2aFROAFA

3.破碎机轧辊D=500mm，匀速转动破碎球形物料。f=0.3,求能破碎的最大物料直径d。（物重不计）

二力平衡必共线。临界状态:tga=f(D+d)cosa/2=256

解得：d34mmfa1Cosa=(1+f)2-1/2OAeF0B工件D直径aFRa

考虑摩擦时的平衡问题，一般是对临界状态求解，这时可列出 的补充方程。其它解法与平面任意力系相同。只是平衡场是一个范围（从例子说明）。[例3.7]

已知：a=30º，G=100N，f=0.2求：①物体静止时，水平力Q的平衡范围。②当水平力Q=60N时，物体能否平衡？五考虑滑动摩擦时的平衡问题30静力学解：①先求使物体不致于上滑的图(1)31静力学同理：

②再求使物体不致下滑的图(2)解得：平衡范围应是32静力学[例3.12]

已知：B块重Q=2000N，与斜面的摩擦角j=15∘，A块与水平面的摩擦系数f=0.4，不计杆自重。求：使B块不下滑，物块A最小重量。解：①研究B块，若使B块不下滑33静力学②再研究A块34摩擦小结：

1、列平衡方程时要将摩擦力考虑在内；

2、解题方法：①解析法②几何法

3、除平衡方程外，增加补充方程(一般在临界平衡

4、解题步骤同前。 状态计算）静力学三、解题中注意的问题：

1、摩擦力的方向不能假设，要根据物体运动趋势来判断。（只有在摩擦力是待求未知数时，可以假设其方向）

2、由于摩擦情况下，常常有一个平衡范围，所以解也常常是力、尺寸或角度的一个平衡范围。（原因是 和）35静力学由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统——桁架

§3-3平面静定桁架静力学工程中的桁架结构静力学工程中的桁架结构静力学工程中的桁架结构静力学工程中的桁架结构静力学1.各杆件都用光滑铰链相连接2.各杆件轴线都是直线，并通过铰链中心3.所有外力(荷载及支座反力)都作用在节点上一、桁架简化计算的假设工程上把几根直杆连接的地方称为节点故：力系是平面力系；杆都是在二端节点处受力的二力杆。杆内力是沿杆的拉/压力。静力学桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接；

③外力作用在节点上。

力学中的桁架模型(基本三角形)

三角形有稳定性(a)(b)(c)无余杆桁架：除掉任一根杆便不能保持其形状的桁架。n个节点均为汇交力系，有2n个平衡方程；未知量有m根杆的内力和三个约束，m+3=2n，是静定问题。基本三角形有三根杆和三个节点，其余(n-3)个节点各对应二根杆，故无余杆桁架中杆数m和节点数n应当满足：m=3+2(n-3),即m=2n-3显然，无余杆桁架是静定桁架。有余杆桁架（m>2n-3）则是静不定的。AB123C45D67保证桁架形状的必要条件：以基本三角形框架为基础，每增加一个节点就增加二根杆件。F讨论下列桁架及问题的静定性杆数m=7节点数n=5m=2n-3静定桁架约束力3

静定问题

静定桁架，反力4一次静不定问题

杆数m=6节点数n=4m-(2n-3)=1静不定桁架约束力3

一次静不定

m-(2n-3)=2静不定桁架，约束力4

三次静不定问题

F静力学取各节点为考察对象二、平面桁架平衡时各杆的内力计算1、节点法

节点法就是假想将某节点周围的杆件割断，取该节点为考察对象，建立其平衡方程，以求解杆件内力的一种方法。静力学1)约定各杆内力为拉力30°30°30°30°aFPFPFPIGDBAHECaaaFIyFACFPFNCAFNCBFNCDFNCExy2)各节点上的力系都是平面汇交力系静力学解：①研究整体，求支座反力已知：如图

P=10kN，求各杆内力？[例3.13]②依次取A、C、D节点研究，计算各杆内力。静力学节点D的另一个方程可用来校核计算结果恰与相等,计算准确无误。静力学2、截面法用适当的截面将桁架截开，取其中一部分为研究对象，建立平衡方程，求解被切断杆件内力的一种方法。截取的部分上的力系是平面一般力系解：研究整体求支反力①[例3.14]已知：如图，h,a,P.

求:4,5,6杆的内力。②选截面I-I，取左半部研究IIA'静力学FP123AKBCDEOGHIJa4×ah

[例3.15]：试求平面桁架中1、2、3杆的内力。静力学FP123AKBCDEOGHIJmma4×ahKOHIJFK123KOGHIJFKFN1FN2FN3截面法中所用的截面可以是曲面.静力学三杆节点无载荷、其中两杆在一条直线上，另一杆必为零杆四杆节点无载荷、其中两两在一条直线上，同一直线上两杆内力等值、同性。两杆节点无载荷、且两杆不在一条直线上时，该两杆是零杆。三、特殊杆件的内力判断①②③静力学一、力在空间轴上的投影与分解：

1.力在空间的表示：

力的三要素：大小、方向、作用点(线)

大小： 作用点：在物体的哪点就是哪点 方向：由、、g三个方向角确定 由仰角

与俯角

来确定。bgqFxyO3.4空间力系的平衡问题静力学2、一次投影法（直接投影法）由图可知：3、二次投影法（间接投影法）

当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将F投影到xy面上，然后再投影到x、y轴上，即静力学4、力沿坐标轴分解：若以 表示力沿直角坐标轴的正交分量，则：

而：所以：FxFyFz静力学3、合力投影定理：

空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。在平面中：力对点的矩是代数量。在空间中：力对点的矩是矢量。

1、力对点的矩的矢量表示如果r表示A点的矢径，则：四，空间力对点的矩和力对轴的矩静力学即：力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。两矢量夹角为O静力学定义： 它是代数量，方向规定+–2、力对轴的矩结论：力对//它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。[证]静力学力对//它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。

定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。

3、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系又由于把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。

设作用在刚体上有空间一般力系向O点简化（O点任选）1，空间力系向一点的简化五，空间力系的合成与平衡静力学①根据力线平移定理，将各力平行搬到O点得到一空间汇交力系：和附加力偶系

[注意] 分别是各力对O点的矩。②由于空间力偶是自由矢量，总可汇交于O点。静力学③合成 得主矢即 （主矢过简化中心O，

且与O点的选择无关）合成 得主矩即： （主矩与简化中心O有关）静力学若取简化中心O点为坐标原点，则：

主矢大小

主矢方向主矩大小为：

主矩方向： 静力学主矢：作用在简化中心，大小和方向却与中心的位置无关；主矩：作用在该刚体上，大小和方向一般与中心的位置有关。思考：主矢,主矩与简化中心的位置有无关系?静力学固定端约束平面：

空间：

静力学若简化中心为O1点，如何?12.简化结果分析静力学若简化中心为O1点，如何?2静力学OO’合力3如果一个力与一个力系等效，称该力是这个力系的合力！力螺旋力螺旋45静力学空间力系简化结果分析平衡

合力偶合力合力力螺旋力螺旋主矢(O)主矩(O)简化结果静力学3、空间任意力系的平衡充要条件是：所以空间任意力系的平衡方程为：

还有四矩式，五矩式和六矩式， 同时各有一定限制条件。静力学空间汇交力系的平衡方程为： 因为各力线都汇交于一点，各轴都通过 该点，故各力矩方程都成为了恒等式。空间平行力系的平衡方程，设各力线都//z轴。

因为 均成为了恒等式。静力学[例3.16]已知:P=2000N,C点在Oxy平面内求：力P对三个坐标轴的矩解：①选研究对象；②画受力图；③选坐标列方程。静力学静力学此题训练：①力偶不出现在投影式中②力偶在力矩方程中出现是把力偶当成矢量后，类似力在投影式中投影③力争一个方程求一个支反力④了解空间支座反力[例3.18]曲杆ABCD,∠ABC=∠BCD=900,AB=a,BC=b,CD=c,m2,m3

求：支座反力及m1=?静力学解：静力学[例3.20]已知:RC=100mm,RD=50mm,Px=466N,Py=352N,Pz=1400N