六章控制系统综合校正现代方法

2024/2/21北科大信息工程学院自动化系1第六章控制系统综合校正的现代方法——状态反馈校正状态反馈与输出反馈；SISO线性定常系统的极点配置；系统的镇定问题；状态观测器；基于观测器的状态反馈系统。控制系统的解耦方法2024/2/21北科大信息工程学院自动化系21、输出反馈∫v比较开环系统和闭环系统（1）两者的状态维数相同；（2）系统矩阵由A变为A-BHC。6.1状态反馈与输出反馈2024/2/21北科大信息工程学院自动化系3比较开环系统和闭环系统（1）两者的状态维数相同；（2）系统矩阵由A变为A-BK。2、状态反馈∫2024/2/21北科大信息工程学院自动化系43、状态反馈与输出反馈的比较（1）K中的参数个数一般多于H，故状态反馈对系统的修正能力优于输出反馈；（2）从实现角度看，输出反馈优于状态反馈。2024/2/21北科大信息工程学院自动化系54、闭环系统的能控性与能观性2024/2/21北科大信息工程学院自动化系6例6.1解2024/2/21北科大信息工程学院自动化系7一、问题的提法系统期望性能指标一组期望极点设计反馈控制系统稳定性,动态和静态指标λ1λ2,…,λn确定K,H使得A-BK或A-BHC的特征根为λ1λ2,…,λn6.2SISO线性定常系统的极点配置2024/2/21北科大信息工程学院自动化系8则闭环的状态空间表达式为：2024/2/21北科大信息工程学院自动化系9其中=所以此系统的特征多项式为：

设为期望特征根，则其特征多项式为：2024/2/21北科大信息工程学院自动化系10

比较系数有：对都可以找到相应的k，须引入状态反馈后使系统必要性：可以任意配置极点能控反证：若系统不能控，则由可控性分解将系统化为：的极点位于2024/2/21北科大信息工程学院自动化系11

引入状态反馈，设增益阵为，则闭环的状态空间表达式为：闭环系统的特征多项式为：不能控部分的特征根无法改变不能任意配置极点，矛盾。

2024/2/21北科大信息工程学院自动化系12step1.

求A阵特征多项式

step2.

求期望的闭环特征多项式step3.

计算

step4.

计算矩阵

，求p-1

step5.求反馈增益阵极点配置步骤与方法一——可控标准型法2024/2/21北科大信息工程学院自动化系13解：1.判断系统的能控性满秩，系统能控，所以极点可以任意配置2.求反馈增益阵step1.

计算开环的特征多项式

系统的状态方程为求状态反馈增益阵k,使闭环极点位于例6.2解2024/2/21北科大信息工程学院自动化系14step4.step3.计算step5.验证：

step2.计算期望特征多项式.2024/2/21北科大信息工程学院自动化系15Step2设反馈增益阵为Step1计算期望特征多项式，得到，求闭环的特征多项式，得Step3求联立方程极点配置步骤与方法二——直接计算的方法2024/2/21北科大信息工程学院自动化系16试求状态反馈增益阵k,使闭环极点位于Step2:

Step1:

=

设K=

det=Step3:解如下线性方程

已知系统的状态空间表达式为例6.3解2024/2/21北科大信息工程学院自动化系17性质1SISO系统状态反馈不会移动系统传递函数的零点。线性定常系统极点配置的性质性质2状态反馈可能导致传递函数出现零极点对消的现象。性质3不完全能控的系统，状态反馈仅能改变能控子系统的特征根，不能改变不能控子系统的特征根。

性质4完全能控的SISO系统，（A,B,C）不能采用输出线性反馈实现闭环系统极点的任意配置。性质5系统(A,b,c)采用从输出到状态的线性反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是(A,c)能观。2024/2/21北科大信息工程学院自动化系1812321u1.按图中所示的

写出系统的状态空间表达式，判断系统的能控性

和能现性，

并求出系统的传递函数。2.求状态反馈增益K，此系统经过此状态反馈传函为

3.经过状态反馈后，系统是否能控？是否能现？为什么？系统的模拟结构图如下图所示：开环：例6.41.1）求系统状态表达式解2024/2/21北科大信息工程学院自动化系19(2)能控性，能观性：

满秩系统能控

满秩

系统能观。(3)

传递函数2.经过状态反馈以后的闭环传递函数：显然闭环有零极点对消，传递函数为：即期望的极点为－1，－2，－3期望的特征多项式为所以K＝2024/2/21北科大信息工程学院自动化系20

如果受控系统能够通过状态反馈，使闭环的极点位于复平面的左半部，则称系统状态反馈能镇定的，类似可以定义输出反馈能镇定的。

结论1：系统（A,B,C）采用状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统为渐进稳定的。结论2：系统（A,B,C）通过输出反馈能镇定的充要条件是结构分解中能控、能观子系统是能输出反馈镇定的，其余子系统是渐进稳定的。6.3系统镇定的问题已知系统的状态方程如下：能否通过状态反馈使系统稳定。例6.52024/2/21北科大信息工程学院自动化系212．判断系统的能控性，不满秩，系统不完全能控。3．将系统按能控性能分解取，则令则有故系统稳定，系统可以通过状态反馈使系统镇定。故系统不稳定。1.求系统的特征根解2024/2/21北科大信息工程学院自动化系22.全维状态观测器1、状态重构6.4状态观测问题2024/2/21北科大信息工程学院自动化系23由于初始状态不清楚，所以可能导致所以只有系统是渐进稳定时，才有此时我们可以用来代替，但系统不稳定时无法表达上面构造时没有使用，按如下方式构造2024/2/21北科大信息工程学院自动化系24

利用原系统的输出量与观测器的输出量的差修正状态的偏差，从而改善观测器的特性，我们称如图所构造的状态观测器为全维状态观测器。2024/2/21北科大信息工程学院自动化系25此时时的行为取决于(A－BC)的特征根。若在(A－BC)的特征根全部有负实部，则必有：在一定的条件下可以求得一个E，使(A－EC)的特征根都有负实部。

全维状态观测器的状态空间表达式2024/2/21北科大信息工程学院自动化系26

通过E配置（A－EC）的特征根配置（A－EC）的特征根，任意配置的充要条件是（A，B）能控（A－EC）的特征根的特征根。能控的特征根可以任意配置。能控能观（对偶原理）结论：线性定常系统（A，B，C）能观，则可以借助全维状态观测器来估计系统的状态，其误差由下式确定E的计算：与极点配置比较2024/2/21北科大信息工程学院自动化系27系统的状态空间表达式为设计一个全维状态观测器，并使观测器的极点位于计算：解例6.62024/2/21北科大信息工程学院自动化系28求变换矩阵计算期望特征多项式2024/2/21北科大信息工程学院自动化系29全维观测器为2024/2/21北科大信息工程学院自动化系30注：1.全维状态观测器的维数为n。若使用其作为系统状态的估计值，则系统成为2n维的。是否能减少？

2.能否有更精确的判别观测器的存在性的方法？二.状态观测器的存在性结论：线性定常系统（A，B，C）状态观测器存在的充要条件是：系统的不能观子系统是渐近稳定的。2024/2/21北科大信息工程学院自动化系31（A.B.C）状态观测器K基本原理状态观测器：开环系统：6.5基于观测器的状态反馈系统2024/2/21北科大信息工程学院自动化系32闭环系统：∫CBAB∫CEAK++++y2024/2/21北科大信息工程学院自动化系33整理后有：2024/2/21北科大信息工程学院自动化系341.2.的特征根集合具有分离性。取则所以闭环系统的特征根为：带观测器的反馈系统的性质：2024/2/21北科大信息工程学院自动化系353.传递函数

结论：状态观测器的引入不影响由状态反馈增益阵所配置的极点。而状态反馈器不影响已经设计好的观测器的极点。结论：带状态观测器的反馈系统的传函与状态反馈系统的传函相同。2024/2/21北科大信息工程学院自动化系366.6控制系统的解耦方法6.6.1解耦问题的描述

解耦问题是MIMO系统综合理论中的重要组成部分。解耦目的：使多变量系统中的每一个输出仅受一个输入的影响。每个输入也仅能控制一个输出。这样的问题称为解耦问题。这样的过程称为解耦。定义：如果线性系统是一个n维输入n维输出系统，当其传递函数满足：是一个对角形有理多项式矩阵，则称该系统是解耦的。2024/2/21北科大信息工程学院自动化系37常见解耦方法1）前馈补偿法

方法：串接一个前馈补偿器。优点：方法简单。缺点：系统的维数增加一倍。2）状态反馈法

方法：状态反馈。优点：不增加系统的维数。缺点：条件苛刻。6.6控制系统的解偶方法回答两个问题：①系统能够解耦的充要条件；②解耦的方法和实现过程。2024/2/21北科大信息工程学院自动化系386.6.2前馈补偿法Gd(S)Go(S)w1w2u1uny1yn解耦条件：待解偶系统满秩！2024/2/21北科大信息工程学院自动化系396.6.3状态反馈解耦待解耦系统其中：FB1/sCAKvmymΣ。urxn

问题是如何设计K和F，使系统从v到y是解耦的。2024/2/21北科大信息工程学院自动化系40

定义：是满足不等式：且介于0到m-1之间的一个最小整数。式中，为系统输出矩阵C中的第i行向量(i=1,2,…m),因此，的下标i表示行数。根据定义下列矩阵：2024/2/21北科大信息工程学院自动化系41已知系统=(A,B,C):解例6.7

试计算（i=1,2），并计算D、E、L阵。（1）先算使的最小的是1，所以，再算使的最小的是1，所以。2024/2/21北科大信息工程学院自动化系42计算D、E、L阵：2024/2/21北科大信息工程学院自动化系43定理(能解耦性判据)：设受控系统,采用状态反馈能解耦的充要条件是维矩阵E为非奇异。即2024/2/21北科大信息工程学院自动化系44是一个积分型解耦系统。其中，状态反馈矩阵为：输入变换矩阵为：闭环系统的传递函数为：定理(积分型解耦系统)：若系统是状态反