画法几何与机械制图（第二版）课件：投影变换

投影变换3.1换面法的基本概念3.2点的投影变换

3.5换面法的应用举例退出3.3直线的投影变换3.4平面的投影变换

如果能将一般位置直线变换成特殊位置（投影面平行线或垂直线），对解决它的度量和定位问题很有利。这种方法称为变换投影面法，简称换面法。

当直线对投影面处于一般位置时，它们的投影既不反映实长，也不反映直线对投影面倾角的真实大小；3.1换面法的基本概念

但当直线为投影面平行线时，其投影可反映直线的实长和对投影面的真实倾角。

若几何要素在两投影面体系中不处于特殊位置时，则可保留一个投影面，用另外一个与保留的投影面垂直的新投影面去替换另一投影面，构成一个新的投影体系，使几何要素在新的投影体系中处于特殊位置，以便于作图求解。返回AX1O13.2点的投影变换点的换面是直线换面的基础，因此我们首先讨论点的换面问题。V1H在X1中，得到A点V1面投影a1’，（均反映空间点A到H面的距离）VHX1O1HV1a1'图示A点位于VHX体系中，由投影关系可知：aa'将投影面展开摊平后得到投影图：VXH0空间情况X0投影图axax1a1’ax1=a'ax

点的新投影到新轴的距离等于被替换的投影到旧轴的距离a1’ax1=a'ax=Aaa1'V1ax1现在用V1去替换V（V1⊥H），axaa'VH1在X1中，得到点的H1面投影a1。题目要求是用H1去替换H（H1⊥V），[例1]如图所示，求A点的H1投影a1。

点的新投影到新轴的距离等于被替换的投影到旧轴的距离H1a1X1aa'VHXV3.3直线的投影变换直线的换面是通过直线上两个点（一般取端点）的换面来实现的。3.3.1直线的一次变换①一般位置直线投影面平行线（求实长与倾角）X1a1’b1’α空间情况：求一般位置直线的实长及倾角ααXHVaa'bABb'实长[例1]求一般位置直线AB的实长及对H面的倾角α。空间情况分析

用∥AB、⊥H的新投影面V1替换V，在新投影体系V1/H

中，直线AB成为正平线，其正面投影a1’b1’为实长，它与X1轴的夹角为对H面的倾角α。原理图baX1V1Hα实长b1’a1’V1实长X1a1'b1’αHV1V1X1a1’b1’ααXHVaa'bABb'实长空间情况分析：[例1]求一般位置直线AB的实长及对H面的倾角α。投影作图方法步骤（1）作新轴X1∥ab；（2）过a、b分别作X1轴的垂线，得到a1’、b1’；（3）连接a1’、b1’即可求得ＡＢ的实长和倾角α。XVHa'b'ba[例2]求直线AB的实长及对V面的倾角β。实长βX1a1b1a'b'XVHbaH1V分析：

水平线反映直线的实长及对V面的倾角β，应用H1去替换H，构成新投影体系H1/V，得到AB的H1投影a1、b1，从而求得实长和β。作图步骤：（1）作新轴X1∥a’b’；（2）过a’、b’分别作X1轴的垂线，得到a1、b1；（3）连接a1、b1即可求得AB

的实长和倾角β

。

也可用换面法反过来去求原投影。a1b1H1VX1βa'b'实长HVXABbaa'b'空间情况②投影面平行线投影面垂直线（解决一些度量问题）X1V1bab'a'a1’b1’HV1X1a1'b1’新轴应垂直于反映实长的投影。[例3]

将水平线AB变换成投影面垂直线。XVH投影图分析：水平线只能变换成正垂线，用V1（

V1⊥AB）替换V，构成H/V1体系。3.3.1直线的一次变换①一般位置直线投影面平行线（求实长与倾角）3.3.2直线的二次变换[例4]将一般位置直线AB变换成投影面垂直线。实长作图步骤：（1）将AB变成正平线（X1∥ab）；（２）将正平线变成铅垂线（X2⊥a1’b1’）；HV1X1αb1’a1'V1H2X2b2a2XVHbaa'b'通过二次换面可将一般位置直线变换成投影面垂直线（先平行、再垂直）XVHa’b’c’abc[例5]过A点作直线BC的垂线AD

及其垂足D，并求出A与BC之间的真实距离。（用换面法）真实距离d’c1’d1’b1’a1’X1HV1d2a2V1H2X2⊥d1’b1’c1’a1’d分析：

通过换面将BC变换为投影面平行线，则可据直角投影定理作出垂线AD，如下图所示。作图步骤：（1）一次换面将CB变换为正平线，并作出D，连接AD为所求垂线；（2）第二次换面法求出AD实长。ac’cb’ba’dd’oXa’b’abc’d’c(d)oX[例6]求作交叉两直线AB、CD的公垂线MN，以及AB、CD间的距离（实长）。分析：CD为铅垂线，因此MN的水平投影n应重合在c(d)上；又因AB是一般位置直线，CD为铅垂线，所以二者的公垂线MN为水平线，据直角投影定理可求出m和m’。由MN为水平线，可求出n’。而mn即为AB、CD间距离实长。作图步骤：（1）定出n后，过n作nm⊥ab

得到m，求出m’；（2）过m’作直线∥OX轴，与c’d’

的交点为n’；（3）mn为AB、CD间距离。n’mm’nCDc(d)abBAMNHnm距离实长[例7]作AB、CD的公垂线EF，EF与AB、CD分别交于E、F,并求出AB、CD之间的距离实长。真实距离分析：

只要将AB、CD之一变换为投影面垂直线就转换为了与前一题相同的问题，按前题思路即可完成该题。e’f’efXVHb’a’d’c’badcc1’e1’f1’d1’X2V1H2X1HV1a1’b1’∥X2e1’f1’e2f2⊥c2d2c2d2f2a2b2e2c’d’cda’b’a(b)oXn’mm’n距离上一题3.4平面的投影变换平面的换面，可通过平面上不在同一直线上的三个点的换面来实现。①一般位置平面投影面垂直面（求倾角和解决一些度量问题）X1V1d’D

这样即可将V/H中的一般位置平面变换成V1/H中的V1面垂直面（平面在V1

的投影积聚为一直线）。在V/H中有一般位置的△ABC，要将它变成V1/H中的垂直面，方法为：1、在△ABC中任取一条水平线AD。（使a’d’∥OX轴）2、用一个⊥AD和H面的V1面替换V面。（使X1轴⊥ad）bBCAaca’b’c’XVHb1’c1’d1’a1’d返回3.4.1平面的一次变换b’a’c’acbXVH（1）在△ABC中任取一条水平线AD。作a’d’∥OX，并求出ad；（2）作X1⊥ad，并作出A、B、C点在

V1中的投影a1’d1’、b1’、c1’；c1’b1’与X1轴夹角即为α。作图步骤：[例1]求出△ABC与H面的倾角α。αd’dX1HV1c1’a1’b1’分析：用V1替换V，将△ABC变换为H/V1体系中的正垂面即可求出α。dX1V1d’DbBCAaca’b’c’XVHb1’c1’d1’a1’若要求β，则应在平面中取正平线，用H1替换H，构成H1/V体系求解。αXVHb’c’a’bac②投影面垂直面投影面平行面（求实形）一、平面的一次换面①一般位置平面投影面垂直面（求倾角和解决一些度量问题）实形作图步骤：[例2]求出△ABC的实形。分析：△ABC为正垂面，用H1替换H（X1轴平行于平面有积聚性的正面投影），将△ABC变换为H1/V体系中的水平面即可。（1）作X1轴平行于△ABC的正面投影；（2）求出a1、b1、c1，连接即得实形。X1VH1a1b1c1[例3]

求三角形ABC的实形Zb’c’a’VWa”b”c”实形Z1作图步骤：分析：△ABC为侧垂面，用V1替换V（Z1轴平行于平面有积聚性的侧面投影），将△ABC变换为W/V1体系中的正平面即可。（1）作Z1轴平行于△ABC的侧面投影；（2）求出a1’、

b1’、

c1’，连接即得△ABC的实形。a1’b1’c1’WV1

两次换面可将一般位置平面变换成投影面平行面（先垂直、再平行）[例4]

求出△ABC的实形。d’dc1’b1’a1’c2b2a2V1H2X2X1HV1作图步骤：XVHa’b’c’abc⑴先将△ABC变换为投影面垂直面：取水平线AD；

X1轴⊥ad，△ABC在H/V1体系中的V1面积聚为直线（正垂面）；⑵X2轴平行于△ABC有积聚性的直线，在V1/H2体系中

△ABC变换为水平面△a2b2c2

即为实形。实形3.4.2平面的二次变换a’b’abXVH45°c1d1b1a1d’c’dcX1H1V分析：

AB为正平线，a’b’＝正方形边长，根据已知β和边长，一次换面可将正方形变换为H1/V中的铅垂面，定出c1d1。据“直角投影定理”和投影关系即可求出c’d’、c、d，完成正方形的两面投影。b’βX1VH1正方形边长d’a’c’b1a1c1d1作图步骤：⑴H1替换H，X1轴⊥a’b’

在H1中，过b1a1作与X1轴成β＝45°的斜线，斜线长等于四边形边长a’b’，定出c1d1。⑵过点a’、b’作a’b’的垂线，再据投影关系由c1d1求得c’d’。⑶求出cd后，连接相应点即得到正方形的投影。[例5]正平线AB是正方形ABCD的边，点C在B的前上方，正方形对V面的倾角β＝45°，补全正方形的两面投影。（用换面法）习题P7（3）3.5换面法的应用举例

在投影图中直接反映点、直线、平面之间的距离和夹角的一些情况a’b’baLXO(a)两点间的距离m’Xa’b’abmLO(b)点与直线的距离Xd’aba`’b’c’cdLO（c）两交叉直线的距离a’b’c’abcXOθ（e）两相交直线的夹角na’b’d’c’n’m’abmXOθdc（f）直线与平面的夹角XOθa’b’d’c’e’f’abdcef（g）两相交平面的夹角La’b’d’c’abdcm’mXO（d）点与平面的距离返回a’b’c’abcXVHee’f’ff1’[例1]

过点E作ΔABC的垂线EF（垂足为F）,并求点E与ΔABC之间的真实距离。真实距离h’X1HV1hc1’a1’b1’e1’m’a’d’b’c’mabbcXo直接反映点到平面的距离nn’作图步骤：⑴将ΔABC变换为投影面垂直面，将点E随同变换得到而e1’；⑵过e1’作直线垂直于

ΔABC有积聚性的投影，得到垂足f1’，连接e1’f1’，得到真实距离。⑶将f1’返回到原投影面体系，与e、e’相连，即得到垂线EF。ef∥X1轴（EF为正平线）距离XVHa’b’abc’d’cdb1’e’[例2]

补全等腰ΔCDE的两面投影，边CE=DE，顶点E在直线AB上。⑶将e1’返回到原投影面体系连接相应投影即可。

如右图所示，顶点E必定在CD的垂直平分面P上。将CD变换为投影面平行线后，即可作出P平面，求出E点。分析：PV1eX1HV1c1’d1’e1’a1’作图步骤：⑴将CD变换成V1面平行线，ＡＢ也随之换面；⑵作平面Pv1垂直平分c1’d1’，

Pv1与a1’b1’交点为e1’；ABECDPe2e1’a1’[例3]

已知由四个梯形构成的漏斗，求相邻两平面ABCD与CDEF的夹角θ。θ分析：

题中的两平面处在一般位置，将它们的交线变换为投影面垂直线时，这两个平面均为投影面的垂直面，夹角即可直接得到（如右图所示）。作图步骤：⑴