浙江省金华市永康市2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（含解析）

-2024学年浙江省金华市永康市九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知x=3y，则x+yy的值为(

)A.14 B.13 C.3 2.下列事件中，属于必然事件的是(

)A.打开电视，正在播放动画片 B.射击运动员射击一次，命中靶心

C.经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯 D.实心铁块放入水中会下沉3.已知一个斜坡AB的长为m米，坡角为α度，则斜坡高度BC为(

)A.msinα米

B.msinα米

C.mcosα米

D.4.将抛物线y=−2x2向下平移4个单位长度后，得到新抛物线的表达式为(

)A.y=−2(x−4)2 B.y=−2x2−4 5.如图，折扇的骨柄AB的长为25cm，折扇张开的∠BAC为164°，图中BC的长为(

)A.205π18cm B.22πcm C.205π96.如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点分别为O(0,0)，A(3,0)，B(6,2).以点O为位似中心，在第三象限内作位似图形△OCD，与△OAB的位似比为1：3，则点D的坐标为(

)A.(−1,−2) B.(−23,−2) C.(−2,−1)7.在△ABC中，∠C=90°，tanA=43，则cosA为(

)A.35 B.34 C.458.如图，点A，B，C，D都在⊙O的圆周上，AB/​/OC，OA//BC，则∠BDC的度数为(

)A.20°

B.25°

C.30°

D.60°9.在“探索函数y=ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A(0,2)，B(1,0)，C(2,1)，D(3,3).同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为(

)

A.2 B.32 C.76 10.如图，平行线l1，l2分别经过⊙O直径AB的两个端点，C为⊙O上一点，过点C作l3/​/l1交AB于点D，若l1，l2之间的距离为16，ADBDA.426

B.21

C.5二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.已知⊙O的半径为4cm，点P到圆心的距离为5cm，那么点P在______(选填“圆内”，“圆上”，“圆外”)．12.如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似.你添加的条件是______．

13.如图，A，B，C三点均在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为______．

14.如图1，筒车是我国最古老的农业水利灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产.如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为3米，半径为2米，则圆心O到水面AB的距离为______米.

15.函数y=x2−3x(x>0)x(x<0)的图象如图所示，若直线y=x+t与该图象只有一个交点，则t

16.如图，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O.E为BD上一点，DF⊥AE于点F，交AO于点G，连结CF交BD于点H．

(1)若DE=7，BE=1，则tan∠ODG的值为______；

(2)若DE：BE=7，则CH：CF的值为______．

三、计算题：本大题共1小题，共6分。17.计算：2cos30°+sin45°−tan60°四、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题6分)

已知二次函数y=x2+2x−3．

(1)求此二次函数图象的顶点坐标；

(2)若此抛物线与x轴交于A，B两点，求AB19.(本小题6分)

如图，在▱ABCD中，点E在AD的延长线上，BE与CD交于点F．

(1)求证：△ABE∽△CFB；

(2)若△DEF的面积为4，DFCF=23，求20.(本小题8分)

小敏和小华同学玩如图所示的三种颜色材质均匀的转盘游戏.已知红色、黄色、蓝色区域的圆心角度数分别为90°，90°，180°，当指针刚好落在分界线时，重新转动．

(1)小敏同学自由转动转盘一次，求“指针落在红色区域”的概率；

(2)小敏和小华同学各转动转盘一次，求“指针都落在蓝色区域”的概率；

(3)若自由转动转盘一次，“指针落在黄色区域”小敏赢，自由转动转盘两次“指针都落在蓝色区域”小华赢，这样的规则对小敏和小华是否公平？请说明理由．21.(本小题8分)

如图，山坡上有一座古塔，为了测量古塔的高度，小明进行如下的测量.已知测角仪的高度AB为1.75m，从点B处看塔顶P的仰角为30°，向前移动64m到达C点，从点D处看塔顶P的仰角为60°．

(1)求点D与塔顶P的距离；

(2)若在点D处看塔底E的仰角为23°，且测得点E到塔中心F的距离为5m.求古塔的高度PF(参考数据：sin23°≈0.39，cos23°=0.92，tan23°=0.42，3≈1.73，结果精确到0.1米)．

22.(本小题10分)

请阅读下列材料并完成相应的问题：如果一个点把一条线段分割成两部分，较长线段与整条线段之比等于较短线段与较长线段之比，则这个点叫做这条线段的黄金分割点，由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割比，也称为中外比.如图1，点B是线段AC的黄金分割点，ABAC或BCAB就是黄金比，其比值为5−12.当等腰三角形的底与腰之比为黄金比时，这个三角形是黄金三角形．

(1)已知一本书的宽与长之比等于黄金比，它的长为26cm，求它的宽；

(2)如图2，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：△ABC是黄金三角形；

(3)如图3，AB是⊙O的内接正十边形的边长，求23.(本小题10分)

已知二次函数的自变量x与函数值y的对应值如下表：x…−10123…y…nm2mn…(1)若n=−2时，求此时二次函数的表达式；

(2)当x=0.5时y>0，求m+n的取值范围；

(3)若点(x,y)是二次函数图象上的任意一点，且满足y≤2，求mn的最小值．24.(本小题12分)

如图1，AB为半圆O的直径，点C为半圆弧上一点，CD⊥AB于点D，在BC上截取CE=AC，连结AC，AE，AE与CD相交于点F．

(1)求证：AF=CF；

(2)若AD=2，AE=6，

①求CF的长；

②如图2，连结BC，BC与AE相交于点G，求△ABG的面积．

答案解析1.【答案】D

【解析】解：∵x=3y，

∴xy=3，

∴x+yy=3+11=4．

故选：D．

2.【答案】D

【解析】解：A、打开电视，正在播放动画片，是随机事件，故A不符合题意；

B、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故B不符合题意；

C、经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯，是随机事件，故C不符合题意；

D、实心铁块放入水中会下沉，是必然事件，故D符合题意；

故选：D．

根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．

本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．3.【答案】B

【解析】解：如图，在Rt△ABC中，AB=m，∠A=α，sinα=BCAB，

∴BC=AB⋅sinα=m⋅sinα(米)．

故选：B．4.【答案】B

【解析】解：将抛物线y=−2x2向下平移4个单位长度后，得到新抛物线的表达式为：y=−2x2−4．

故选：B5.【答案】C

【解析】解：∵折扇的骨柄AB的长为25cm，折扇张开的∠BAC为164°，

∴BC的长为164⋅π×25180=2059π(cm)，

故选：6.【答案】D

【解析】解：∵以点O为位似中心，在第三象限内作位似图形△OCD，与△OAB的位似比为1：3，

∴点D的坐标为(−13×6,−13×2)，即(−2,−23).

故选：D．

根据以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把B点额横纵坐标都乘以−137.【答案】A

【解析】解：∵∠C=90°，

∴tanA=BCAC=43，

设BC=4x，AC=3x，

∴AB=(3x)2+(4x)2=5x，

∴cosA=ACAB=3x8.【答案】C

【解析】解：如图，连接OB，

∵AB/​/OC，OA//BC，

∴四边形ABCO是平行四边形，∠AOB=∠OBC，

∵OA=OC，

∴四边形ABCO是菱形，

∴∠AOB=∠COB，

∴∠COB=∠OBC，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠OBC=∠OCB=∠COB，

∴△OBC是等边三角形，

∴∠BOC=60°，

∴∠BDC=12∠BOC=30°，

故选：C．

连接OB，根据题意求出四边形ABCO是菱形，根据菱形的性质、等腰三角形的性质求出∠OBC=∠OCB=∠COB，则△OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠BOC=60°，再根据圆周角定理即可得解．9.【答案】B

【解析】解：设过A、B、C三点的抛物线表达式为：y=ax2+bx+c，则有，

c=2a+b+c=04a+2b+c=1，

解得：a=32b=−72c=2，

设过A、B、D三点的抛物线表达式为：y=ax2+bx+c，则有，

c=2a+b+c=09a+3b+c=3，

解得：a=76b=−196c=2，

设过A、C、D三点的抛物线表达式为：y=ax2+bx+c，则有，

c=24a+2b+c=19a+3b+c=3，

解得：a=56b=−136c=2，

设过10.【答案】C

【解析】解：过C点作CM⊥l1于点M，MC的延长线交l2于N点，如图，

∵l1/​/l2，

∴MN⊥l2，

∴MN=16，

∵l3//l1//l2，

∴MCCN=ADBD=13，

∴MCMN=14，

∴MC=14MN=14×16=4，

∴CN=12，

在Rt△BCN中，BN=BC2−CN2=202−122=16，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠ACM+∠CAM=90°，∠ACM+∠BCN=90°，

∴∠CAM=∠BCN，

∵∠CMA=∠CNB，

∴△ACM∽△CBN，

∴ACBC11.【答案】圆外

【解析】解：∵点到圆心的距离d=5>4=r，

∴该点P在⊙O外．

故答案为：圆外．

根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．

本题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：当点到圆心的距离大于圆的半径时，则点在圆外．12.【答案】答案不唯一∠AED=∠ACB

【解析】解：∵∠A=∠A

∴当∠AED=∠ACB或∠ADE=∠ABC或AEAC=ADAB时，△ADE∽△ABC．

△ADE和△ABC中，∠A是公共角，再找一组对应角相等，或者夹13.【答案】2【解析】解：如图，连接BC．

观察图象可知△ABC使是等腰直角三角形，

∴∠BAC=45°，

∴cos∠BAC=22．

故答案为：22．

连接BC，判断出14.【答案】7【解析】解：过点O作OC⊥AB，连接OA，则AC=12AB=1.5米，如图，

在Rt△AOC中，OC2=OA2+AC2，

∴OC=22−1．52=72米．

15.【答案】t>0或t=−4

【解析】解：∵y=x+t与y=x平行，

∴当t>0时，直线y=x+t与原图象只有一个交点，

联立y=x2−3xy=x+t，

∴x2−3x=x+t，即，x2−4x−t=0，

∵只有一个交点，

∴16+4t=0，

∴t=−4，

∴t的取值范围为：t>0或t=−4．

由y=x+t与y=x平行可得当t>0时，直线y=x+t16.【答案】34

25【解析】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，AC=BD，OA=12AC，OD=12BD，

∴∠DOG=90°，

∵DF⊥AE，

∴∠AFG=90°，

∴∠AFG=∠DOG，

∵∠DGO=∠AGF，

∴∠OAE=∠ODG，

∵DE=7，BE=1，

∴AC=BD=8，

∴OA=OD=4，OE=DE−OD=3，

∴tan∠ODG=tan∠OAE=OEOA=34，

故答案为：34；

(2)如图，

作FX//AB，交BE于X，

∴△EFX∽△EAB，

∴ABBF=AEEF，

不妨设DE=7，BE=1，

由(1)知：tan∠ODG=34，

∴sin∠ODG=35，

∴EF=DE⋅sin∠ODG=215，

在Rt△AOE中，OA=4，OE=3，

∴AE=5，

∴ABFX=5215=2521，

∵AB/​/CD，

∴FX//CD，

∴△CHD∽△FHX，

∴CFFH=CDFX=AB17.【答案】解：原式=2×32+22−【解析】本题考查的是特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值．

先把各角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行计算即可．18.【答案】解：(1)∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，

∴抛物线的顶点坐标为(−1,−4)；

(2)当y=0时，x2+2x−3=0，

解得x1=−3，x2=1，

∴点【解析】(1)把二次函数的一般式配成顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标；

(2)解方程x2+2x−3=0得点A、B的坐标为(−3,0)，(1,0)，从而可得AB的长．

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，∠A=∠C，

∴∠CBE=∠E，

∴△ABE∽△CFB；

(2)解∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB/​/CD，AB=CD，

∴△DEF∽△AEB，

∵DFCF=23

∴DFCD=DFAB=25，

【解析】(1)根据平行四边形的性质求出∠A=∠C，∠CBE=∠E，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解；

(2)根据平行四边形的性质求出AB/​/CD，进而推出△DEF∽△AEB，再根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”求解即可．

此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．20.【答案】解：(1)把蓝色部分分成圆心角为90°的两个扇形，共4种可能，并且出现的可能性相同，指针落在红色区域有一种可能，

∴P指针落在红色区域=14；

(2)第一次第二次红色黄色蓝色蓝色红色(红，红)(红，黄)(红，蓝)(红，蓝)黄色(黄，红)(黄，黄)(黄，蓝)(黄，蓝)蓝色(蓝，红)(蓝，黄)(蓝，蓝)(蓝，蓝)蓝色(蓝，红)(蓝，黄)(蓝，蓝)(蓝，蓝)共有16种可能，指针刚好落在蓝色区域有4种，

∴P指针都落在蓝色区域=416=14；

(3)∵P指针落在黄色区域=14，P【解析】(1)求出蓝区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率；

(2)列举出所有情况，让指针都落在蓝色区域的情况数除以总情况数即为所求的概率；

(3)

本题考查的是几何概率，列表法与树状图法求概率的方法，解题的关键是掌握P=事件可能出现的结果÷所有可能结果．21.【答案】解：(1)如图1，

∵∠PBD=30°，∠PDG=60°

∴∠BPD=∠PBD=30°

∴PD=BD=64m．

答：点D与塔顶P的距离为64m；

(2)如图，过点E，F作BD的垂线，分别交BD的延长线于点M，N．

∵∠PDG=60°PD=64m，

∴DN=32m，PN=323m．

∵MN=EF=5m，

∴DM=27m，

∵∠EDG=23°，

∴FN=EM=27tan23°=11.34m，

∴PF=PN−FN=323−11.34=55.36−11.34=44.02(m)≈44.0m．

答：这个宝塔的高度【解析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，三角函数的定义等知识；运用三角函数求出PC和QC是解决问题的关键．

本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，三角函数的定义等知识；运用三角函数求出PC和QC是解决问题的关键．22.【答案】(1)解：设这本书的宽为xcm，则x26=5−12，

解得x=135−13，

答：它的宽为(135−13)cm．

(2)证明：如图2，∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=12×(180°−36°)=72°，

∵BD平分∠ABC交AC于点D，

∴∠CBD=∠ABD=12∠ABC=12×72°=36°，

∴∠A=∠ABD，∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，

∴BC=BD=AD，

∵∠CBD=∠A，∠C=∠C，

∴△BDC∽△ABC，

∴BCAC=CDBC，

∴ADAC=CDAD，

∴点D是线段AC的黄金分割点，BCAC为黄金分割比，

∴△ABC是黄金三角形．

(3)解：如图3，∵AB是⊙O的内接正十边形的边长，

∴OA=OB，∠AOB=1【解析】(1)设这本书的宽为xcm，则x26=5−12，求得x=135−13，所以它的宽为(135−13)cm；

(2)由AB=AC，∠A=36°，求得∠ABC=∠C=72°，则∠CBD=∠ABD=12∠ABC=36°，所以∠A=∠ABD，∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，则BC=BD=AD，再证明△BDC∽△ABC，得BCAC=CDBC，所以ADAC=CDAD，则点D是线段AC的黄金分割点，BCAC为黄金分割比，所以△ABC是黄金三角形；

(3)由23.【答案】解：(1)根据表格数据可设二次函数的表达式为y=a(x−1)2+2，

把x=3，y=−2代入，得−2=4a+2，

解得a=−1，

∴二次函数的表达式为：y=−(x−1)2+2=−x2+2x+1；

(2)把x=0.5代入y=a(x−1)2+2得：14a+2>0，

解得：a>−8．

当x=2时，y=m，则m=a+2，

当x=3时，y=n，则n=4a+2，

∴m+n=5a+4>−40+4=−36，

∵a≠0，

∴m+n≠4，

∴m+n的取值范围为：m+n>−36且m+n≠4；

(3)∵点(x,y)是二次函数图象上的任意一点，且满足y≤2，

∴a<0，

∴mn=(a+2)(4a+2)=4a2+10a+4=4(a+54)−9【解析】(1)根据待定系数法即可求得；

(2)将x=0.5代入y=a(x−1)2+2可得a>−8.再分别将x=2和