7.4 认识三角形（与三角形有关的角） 苏科版数学七年级下册基础知识讲与练

专题7.20认识三角形（与三角形有关的角）（知识讲解）【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．特别说明：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．2.直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.特别说明：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.特别说明：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．特别说明：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.特别说明：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、与三角形有关的角➽➼三角形内角和的证明➽➼证明1．写出下列命题的求证，并完成证明过程．命题：三角形三个内角的和等于．已知：如图，．求证：．证明：【答案】，证明过程见分析【分析】先写出求证，然后证明．过点A作，利用，可得，，由平角的定义可得，利用等量代换可证．解：求证：，证明：过点A作，∵，∴，，∵，∴．即知三角形三个内角的和等于．【点拨】本题考查证明三角形内角和定理，解题的关键是做平行线，利用平行线的性质进行证明．举一反三：【变式】证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．已知：，求证：．证明：如图①，作边的延长线，过点C作．所以____________（____________），____________（____________）．因为（____________），所以（等量代换）．请利用图②中给出一种不同于以上思路的证明方法，并写出证明过程．【答案】(1)∠A；两直线平行，内错角相等；∠B；两直线平行，同位角相等；平角的定义 (2)见分析【分析】（1）根据平行线的性质，以及平角的定义进行解答；（2）如图，过点作，利用两直线平行，内错角相等和平角的定义进行证明．解：（1）∠A（两直线平行，内错角相等），∠B（两直线平行，同位角相等）．（平角的定义），（2）如图，过点作．则：，（两直线平行，内错角相等）∵（平角的定义），∴【点拨】本题考查三角形内角和180°的证明思路，将三角形的三个角转化为一个平角，从而证明三角形的内角和为180°．类型二、与三角形有关的角➽➼三角形内角和✭✭平行线2．如图，在四边形中，，的平分线交的延长线于点E，，垂是为点F，交于点G．求证：平分．若，，求的度数．【答案】(1)见分析 (2)【分析】（1）利用平行线的性质和三角形内角和定理，推出即可得证；（2）利用三角形的内角和定理进行求解即可．解：（1）证明：∵，∴，∵，，∵平分，∴，∴，∴平分；（2）∵，∴，∴，∴，∴．【点拨】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理．熟练掌握两直线平行，同旁内角互补以及三角形的内角和为是解题的关键．举一反三：【变式】已知：，平分，点，，分别是射线，，上的动点（、、不与点重合），连接交射线于点，设，如图若，则的度数是_____；，当时，此时等于多少；当时，此时等于多少？【答案】(1) (2)，当时，；当时，【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等即可求解；（2）根据平行可求出内错角的度数，同位角的度数，再根据三角形内角和等于，平角等于，即可求出答案．（1）解：∵平分，∴，若，则，故答案是：．（2）解：如图所示，，当时，由平分得，，∵，∴，，∴，，∵，∴；如图所示，，时，由平分得，，∵，∴，，在中，，∴，∴，故综合上述情况得，，当时，；当时，．【点拨】本题主要考查动点与三角形综合运用，理解平行线的性质，三角形三角的关系，平角的大小是解题的关键．类型三、与三角形有关的角➽➼三角形内角和✭✭角平分线3．已知在中，是边上的高，是的角平分线，，求和的度数．【答案】【分析】先根据直角三角形的两个锐角互余，求出，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可求解．解：∵是边上的高，，∴；∵，∴，∵是角平分线，∴，∴．【点拨】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的高线和角平分线的定义，掌握直角三角形两个锐角互余是关键．举一反三：【变式】如图，在中，的平分线相交于点F，已知，求的度数．【答案】【分析】先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可．解：∵，∴，∵的平分线相交于点F，∴，∴．【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．类型四、与三角形有关的角➽➼三角形内角和✭✭折叠问题4．如图，在中，O是边AC上的一点，，将沿折叠得到，与交于点N．求的度数．求的度数．【答案】(1) (2)【分析】（1）根据折叠的性质，得到的两个三角形全等，利用全等的性质，即可求解；（2）利用三角形内角和定理及折叠的性质即可求解．（1）解：∵沿折叠得到．∴．∵°，∴（2）解：∵°∴°∵沿折叠得到，∴°，∴【点拨】本题考查了三角形的折叠问题，三角形内角和定理，解题的关键是掌握折叠的性质．举一反三：【变式】如图，在中，点D为上一点，将沿翻折得到，与相交于点F，若平分，，．求证：；求的度数．【答案】(1)证明见分析；(2)．【分析】（1）利用三角形内角和定理求出，再利用折叠和角平分线的性质证明，即可证明；（2）利用三角形内角和定理求出，再利用对顶角相等证明，再利用三角形内角和定理即可求出．（1）证明：∵，，∴,∵AE平分，∴，∵，∴，∴，∴，（2）解：，∴，∵，且，∴．【点拨】本题考查三角形内角和定理，折叠的性质，角平分线的性质，对顶角相等，（1）的关键是求出，证明；（2）的关键是求出．类型五、与三角形有关的角➽➼三角形内角和➽➼应用问题5．如图，在中，平分交于点，，垂足为，且，若记，（不妨设），求的大小（用含，的代数式表示）【答案】【分析】先求出，再利用平行线的性质解决问题即可．解：∵，平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【点拨】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．举一反三：【变式】如图，在，，平分交于点，过点作，垂足为．若，，求，的度数；若，，请直接用含，的式子表示，．【答案】(1)； (2)，，【分析】（1）根据已知条件易求，再利用直角三角形的性质可求解，的度数，由角平分线的定义可求解的度数，根据三角形的内角和定理可求解的度数；（2）类比（1）的推理方式可求解．（1）解：，，，，，，，，平分，，，；（2）解：，，，，，，，，平分，，，．【点拨】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，灵活运用三角形的内角和定理是解题的关键．类型六、与三角形有关的角➽➼三角形内角和➽➼直角三角形➼证明✭✭求角6．如图，在中，是的角平分线，，若，．求的度数．【答案】【分析】根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义和已知得到，进而根据直角三角形的两锐角互余即可求出即可．解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴．【点拨】本题考查的是角平分线的定义、三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于、角平分线的定义是解题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，，和互余，于点，求证：．【分析】根据直角三角形的性质两锐角互余，可得，再根据已知条件，可得到，由内错角相等，可得到直线平行．解：，，，又和互余，即，，又∵，，．【点拨】本题目考查了直角三角形的性质与平行线的判定，解决的关键是掌握平行线的判定方法．类型七、与三角形有关的角➽➼三角形内角和➽➼三角形外角➼证明✭✭求角7．如图，在中平分求的度数；求证：平分．【答案】(1) (2)见分析【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据外角的性质得出；（2）根据三角形外角的性质得出由（1）得根据，即可得出结论．（1）解：平分，，是的外角，；（2）证明：是的外角，，由（1）得，，，平分．【点拨】本题考查了角平分的定义，三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．举一反三：【变式】如图1，是的外角，平分，平分，且交于点E．求证：；若是两外角的平分线且交于点E，则∠E与∠A又有什么关系？并说明理由．【答案】(1)证明见分析 (2)，理由见分析【分析】（1）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得；由角平分线的性质，得，，利