知识资料材料力学(十)(新版)

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。PAGE第页/共页7强度理论（一）强度理论的概念1．材料破坏的两种类型材料破坏型式不仅与材料本身的材质有关，而且与材料所处的应力状态、加载速度温度环境等因素有关。材料在常温、静载荷下的破坏型式主要有以下两种：脆性断裂材料在无显然的变形下骤然断裂。塑性屈服(流动)材料浮上显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力。2．强度理论在复杂应力状态下关于材料破坏缘故的假设，称为强度理论。研究强度理论的目的，在于利用容易应力状态下的实验结果，来建立材料在复杂应力状态下的强度条件。（二）四个常用的强度理论四个常用强度理论的强度条件可以统一地写成式中σr称为相当应力，其表达式为最大拉应力理论σr1＝σ1(第一强度理论)最大拉应变理论σr2＝σ1－ν(σ1+σ2)(第二强度理论)最大剪应力理论σr3＝σ1－σ3(第三强度理论)形状改变比能理论(第四强度理论)[σ]为材料的许用应力。对于工程上常见的一种二向应力状态如图5—9—3所示，其特点是平面内某一方向的正应力为零。设σy=0，则该点的主应力为代入(5—9-15)式得：第三强度理论(最大剪应力理论)的相当应力为第四强度理论(形状改变比能理论)的相当应力为最大拉应力理论、最大拉应变理论是关于脆性断裂的强度理论；最大剪应力理论、形状改变比能理论是关于塑性屈服的强度理论。强度理论的选用在三向拉应力作用下，材料均产生脆性断裂，故宜用第一强度理论；而在三向压缩应力状态下，材料均产生屈服破坏，故应采用第三或第四强度理论。当材料处于二向应力状态作用下时：脆性材料易发生断裂破坏，宜用第一或第二强度理论；塑性材料易发生塑性屈服破坏，宜用第三或第四强度理论。[例5-9-1]已知构件上某点的应力单元体如图5-9-4(a)，(b)所示(图中应力单位为MPa)。试求指定斜截面上的应力。[解]图示单元体处于平面应力状态。(1)在图示坐标中代人公式(5-9-1)、(5-9-2)得σα、τσ方向如图中所示。(2)在图示坐标中，σα、τσ方向如图中所示。第10节组合变形一、概述（一）组合变形杆件在外力作用下，同时产生两种或两种以上的同一数量级的基本变形，称为组合变形。（二）组合变形强度计算的步骤在小变形和材料顺从虎克定律的前提下，可以认为组合变形中的每一种基本变形都是各自自立、互不影响的。因此对组合变形杆件举行强度计算，可以应用叠加原理，采用先分解而后叠加的主意。其基本步骤是：1．将作用在杆件上的荷载举行简化与分解(横向力向截面的弯曲中央简化，并沿截面的形心主惯性轴方向分解；而纵向力则向截面形心简化)，使简化后每一组荷裁只产生一种基本变形。2．分离计算杆件在各个基本变形下的应力。3．将各基本变形情况下的应力叠加，便得在组合变形下杆件的总应力。4．按照危险点的应力状态，建立强度条件。二、斜弯曲（一）受力特征与变形特征受力特征横向力(或力偶)的作用线(作用面)通过横截面的弯曲中央，但不平行于梁的形心主惯性平面。变形特征弯曲平面与荷载作用平面不平行。（二）应力计算如图5—10—1所示，随意横截面上随意点(y，z)的应力为（三）中性轴位置由σ=0条件决定式中φ为外力作用线与y轴的夹角。普通情况下，梁横截面的两个形心主惯矩并不相等Iy≠Iz，故α与φ不等，即中性轴与合弯矩矢量方向不平行(即中性轴不垂直荷载作用面)，这是斜弯曲区别于平面弯曲的特点之一。（四）强度条件距中性轴最远的点是危险点。若截面具有棱角，则棱角点是危险点；无棱角的截面，应先决定中性轴的位置，再找到最远点(截面周边L平行巾性轴的切点处)。危险点处于单向应力状态。设危险点的坐标为(yl，z1)，则强度条件为或My、Mx不在同一截面达到最大值时，应试算My、Mz较大的几个截面，才干决定危险截面。若材料的许用拉、压应力不同[σt]≠[σc]，则拉、压强度均应满意。（五）变形计算先分离求出Py、Px产生的挠度vy、vx，然后几何合成，得总挠度v与y轴的夹角为普通情况下，Iy≠Iz，故β≠φ所以弯曲平面不平行荷载作用面。但β=|α|，中性轴垂直弯曲平面。三、拉伸或压缩与弯曲的组合变形（一）轴向力与横向力联合作用图5—l0—2所示AB梁同时受轴向拉力P及横向分布荷载q作用。任一横截面上的内力中：由轴向力引起轴力N；由横向力引起弯矩Mz、剪力Qy。横截面上任一点的正应力为图示A截面为危险截面，上边缘点为危险点，处于单向应力状态，故强度条件为对于脆性材料，则应分离校核其抗拉和抗压强度。对于塑性材料取σtmax、σcmax中绝对值最大者校核强度。（二）偏心压缩(或拉伸)、图5—1—3所示杆件受偏心压力(或拉力)作用时，将同时产生轴向压缩(拉伸)和平面弯曲两种基本变形。1．任一截面上的内力分量为轴力N=－P弯矩2，应力计算任一点K(y,z)的应力为式中偏心拉伸时，P用负值代入即可。3、中性轴位置横截面中央轴位置由σ=0决定，中性轴为一条不通过截面形心的直线。式中(z0，y0)为中性轴上任一点的坐标。中性轴在y、z轴上的截距分离为式中负号表明，截距ay、az分离与外力作用点位置yp、zp反号，即中性轴与外力作用点分离处于形心的两侧。4．强度条件危险点位于距中性轴最远的点处。若截面有棱角，则危险点必在棱角处；若截面无棱角则在截面周边上平行于中性轴的切点处。危险点的应力状态为单向应力状态，其强度条件为若材料的[σt]>[σc]，则最大拉应力点与最大压应力点均需校核。5．截面核心定义截面形心周围的一个区域，当偏心荷载作用于该区域时，截面上只浮上一种应力。计算公式决定截面核心，由与截面周边相切的中性轴截距，求外力作用点的位置，即扭转和弯曲的组合当构件同时承受扭转力偶和横向力作用时，将产生扭转和弯曲两种基本变形。（一）应力计算若某一截面上内力分量有扭矩MT，以及两互相垂直平面内的弯矩My、和Mz，剪力Vy、Vz通常略去不计。则该截面上任一点(y，z)处的应力分量有扭转剪应力τ，及弯曲正应力σ。若构件的横截面为圆形或空心圆截面。因为过圆形或空心圆截面形心的任一轴均为形心主惯性轴，故可先计算合成弯矩然后，再按平面弯曲，计算正应力。（二）强度条件危险点及其应力状态危险点位于合成弯矩作用平面与横截面相交的截面周边处。其应力状态为平面应力状态。强度条件对于塑性材料，选用第三或第四强度理论，其强度条件分离为式中抗弯截面系数抗扭截面系数[例5-10-1]截面为矩形b×h：90mm×180mm的悬臂木梁，承受荷载Pl=lkN，P2=1．6kN，如图5—10—9所示，木材的E=I×l04l．梁内最大正应力及其作用点位置；2．粱的最大挠度。[解]1．最大正应力危险截面在固定端处，其弯矩为危险点为固定端截面上的D１点和D2点，其正应力为其中Dl点为拉应力，D2点为压应力。2．最大挠度最大挠度发生在自由端截面[例5-10—2]矩形截面短柱承受荷载P1、P2作用如图5—10—10所示。试求固定端截面上角点A、B、C及D处的正应力，并决定该截面中性轴的位置。[解]1．固定端截面的内力分量2.各点应力3．中性轴位置设(yo、zo)为中性轴上任一点的坐标，则有得中性轴方程中性轴与y、z轴的截距中性轴位置如图(b)所示。第11节压杆稳定压杆稳定性的概念（一）平衡形式的特征稳定平衡杆在轴向压力作用下，当外加干扰撤除后若仍能恢复原有直线形状的平衡，则杆件本来直线形状的平衡是稳定平衡。不稳定平衡杆在轴压力作用下，当外加干扰撤除后若不能恢复原有直线形状的平衡，仍保持微弯状态的平衡，则杆件本来的直线形状的平衡是不稳定平衡。（二）压杆的失稳与临界力失稳压杆丧失其原有的直线形状的平衡而过渡为微弯状态的平衡的现象。临界力压杆保持直线形状的平衡为稳定平衡时，轴压力的最大值，也即压杆在微弯状态下保持平衡的最小压力。细长压杆的临界力公式细长压杆临界力的欧拉公式为式中E——材料的弹性模量；I——压杆失稳而弯曲时，横截面向中性轴的惯性矩；L——压杆长度；μ——长度系数，与杆两端的约束条件有关，常见的各种支承方式的长度系数见下表。欧拉公式适用范围（一）临界应力在临界应力作用下，压杆横截面上的应力式中——截面的惯性半径；——柔度或长细比。综合反映了杆端约束、杆的长度、截面形状和尺寸等因素对临界应力的影响，λ是一个无量纲量。压杆柔度越大，临界应力就越小，压杆就越容易失稳。若压杆在两个形心主惯性平面内的柔度不同，则压杆总是在柔度较大的那个形心主惯性平面内失稳。（二）欧拉公式的适用范围欧拉公式是按照杆件弯曲变形的近似挠曲线微分方程式导出的，仅适用于小变形、线弹性范围的压杆，即临界应力σcr应小于材料的比例极限σp用柔度表示λp是压杆能够应用欧拉公式的最小柔度，其值取决于压杆材料的弹性模量E和比例极限σp。例如，对于(Q235)钢，E=2．06×105MPa，σp=200MPa。则用Q235钢制成的压杆，惟独当λ≥100时，才可以使用欧拉公式。经验公式临界应力总图按照压杆柔度λ的大小，压杆可以分为三种类型，分离按不同的公式来计算临界应力。细长杆(大柔度杆)，λ≥λp≤中长杆(中柔度杆)，λp≥λ≥λ0直线型经验公式式中a、b均是与材料有关的常数。粗短杆(小柔度杆)λ≤λ0实质是强度问题。工程上还应用一种抛物线型经验公式式中a1、b1、λc均与材料有关的常数。临界应力总图表示压杆临界应力随不同柔度A的变化逻辑的图线(图5—11-1)。压杆的稳定校核（一）安全系数法稳定条件压杆具有的工作安全系数n应不低于规定的稳定安全系数nst即式中pcr———压杆的临界压力；P——压杆承受的工作压力；nst——规定的稳定安全系数。（二）折减系数法稳定条件压杆横截面上的应力不超过材料的许用应力乘以考虑稳定的折减系数。即式中φ为折减系数，是小于1的一个系数，它综合考虑了柔度λ对临界应力σcr、稳定安全系数nst的影响，所以φ也是λ的函数。常用材料的φ值可查阅工程手册。提高压杆稳定性的措施（一）减小压杆的柔度1．挑选合理的截面形状。2，减小压杆的长度。3．改善杆端支承条件。（二）合理选用材料[例5—11－l]两端为球铰支承的等直压杆，其横截面分离为图5—11－2所示。试问压杆失稳时，杆件将绕横截面上哪一根轴转动。[解]压杆失稳时，将发生弯曲变形。因为杆端约束在各个方向相同，因此，压杆将在抗弯刚度为最小的平面内失稳，即杆件横截面将绕其惯性矩为最小的形心主惯性轴转动。如图所示。[例5-11—2]两端铰支压杆的长度L＝1200mm，材料为Q235钢，E＝2x105MPa，截面面积A=900mm2。若截面形状为(1)正方形，(2)d／D=0．7的空心圆管。求各杆的临界压力。[解]1．正方形截面计算柔度边长a=惯性半径长度系数μ=1所以A3钢λp≈100,λ>λp属细长杆可以用欧拉公式计算临界压力所以属细长杆2．空心圆截面由得所以柔度Q235钢由直线型经验公式本题中二杆的截面积、杆长和支承方式均相同，只是截面形状不同。它们的柔度也不同，临界压力随柔度的减小而增大。[例5－11－3]图5－1