北京市2018年中考数学试题及答案解析

./北京市2018年中考数学试卷考生须知1．本试卷共8页,共三道大题,28道小题,满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效．4．在答题卡上,选择题、作图题用2B铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题〔本题共16分,每小题2分第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个．1．下列几何体中,是圆柱的为A． B． C． D．[答案]A[解析]A选项为圆柱,B选项为圆锥,C选项为四棱柱,D选项为四棱锥．[考点]立体图形的认识2．实数,,在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是A． B． C． D．[答案]B[解析]∵,∴,故A选项错误；数轴上表示的点在表示的点的左侧,故B选项正确；∵,,∴,故Ｃ选项错误；∵,,,∴,故D选项错误．[考点]实数与数轴3．方程组的解为A． B． C． D．[答案]D[解析]将4组解分别代入原方程组,只有D选项同时满足两个方程,故选D．[考点]二元一次方程组的解4．被誉为"中国天眼"的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为,则FAST的反射面积总面积约为A． B． C． D．[答案]C[解析]〔,故选C．[考点]科学记数法5．若正多边形的一个外角是,则该正多边形的内角和为A． B． C． D．[答案]C[解析]由题意,正多边形的边数为,其内角和为．[考点]正多边形,多边形的内外角和．6．如果,那么代数式的值为A． B． C． D．[答案]A[解析]原式,∵,∴原式．[考点]分式化简求值,整体代入．7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度〔单位：与水平距离〔单位：近似满足函数关系〔．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为A． B． C． D．[答案]B[解析]设对称轴为,由〔,和〔,可知,,由〔,和〔,可知,,∴,故选B．[考点]抛物线的对称轴．8．右图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中,分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系,有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为〔0,0,表示XX门的点的坐标为〔,时,表示左安门的点的坐标为〔5,；②当表示天安门的点的坐标为〔0,0,表示XX门的点的坐标为〔,时,表示左安门的点的坐标为〔10,；③当表示天安门的点的坐标为〔1,1,表示XX门的点的坐标为〔,时,表示左安门的点的坐标为〔,；④当表示天安门的点的坐标为〔,,表示XX门的点的坐标为〔,时,表示左安门的点的坐标为〔,．上述结论中,所有正确结论的序号是A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④[答案]D[解析]显然①②正确；③是在②的基础上,将所有点向右平移个单位,再向上平移个单位得到,故③正确；④是在"当表示天安门的点的坐标为〔0,0,表示XX门的点的坐标为〔,时,表示左安门的点的坐标为〔,"的基础上,将所有点向右平移个单位,再向上平移个单位得到,故④正确．[考点]平面直角坐标系,点坐标的确定,点的平移二、填空题〔本题共16分,每小题2分9．右图所示的网格是正方形网格,________．〔填"",""或""[答案][解析]如下图所示,是等腰直角三角形,∴,∴．另：此题也可直接测量得到结果．[考点]等腰直角三角形10．若在实数范围内有意义,则实数的取值范围是_______．[答案][解析]被开方数为非负数,故．[考点]二次根式有意义的条件．11．用一组,,的值说明命题"若,则"是错误的,这组值可以是_____,______,_______．[答案]答案不唯一,满足,即可,例如：,,[解析]不等式两边乘〔或除以同一个负数,不等号的方向改变．[考点]不等式的基本性质12．如图,点,,,在上,,,,则________．[答案][解析]∵,∴,∴,∵,∴．[考点]圆周角定理,三角形内角和定理13．如图,在矩形中,是边的中点,连接交对角线于点,若,,则的长为________．[答案][解析]∵四边形是矩形,∴,,,在中,,∴,∵是中点,∴,∵,∴,∴．[考点]矩形的性质,勾股定理,相似三角形的性质及判定14．从甲地到乙地有A,B,C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况,在每条线路上随机选取了500个班次的公交车,收集了这些班次的公交车用时〔单位：分钟的数据,统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路合计A59151166124500B5050122278500C4526516723500早高峰期间,乘坐_________〔填"A","B"或"C"线路上的公交车,从甲地到乙地"用时不超过45分钟"的可能性最大．[答案]C[解析]样本容量相同,C线路上的公交车用时超过分钟的频数最小,所以其频率也最小,故选C．[考点]用频率估计概率15．某公园划船项目收费标准如下：船型两人船〔限乘两人四人船〔限乘四人六人船〔限乘六人八人船〔限乘八人每船租金〔元/小时90100130150某班18名同学一起去该公园划船,若每人划船的时间均为1小时,则租船的总费用最低为________元．[答案][解析]租用四人船、六人船、八人船各1艘,租船的总费用为〔元[考点]统筹规划16．2017年,部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示,中国创新综合排名全球第22,创新效率排名全球第________．[答案][解析]从左图可知,创新综合排名全球第22,对应创新产出排名全球第11；从右图可知,创新产出排名全球第11,对应创新效率排名全球第3．[考点]函数图象获取信息三、解答题〔本题共68分,第17-22题,每小题5分,第23-26题,每小题6分,第27,28题,每小题7分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．下面是小东设计的"过直线外一点作这条直线的平行线"的尺规作图过程．已知：直线及直线外一点．求作：,使得．作法：如图,①在直线上取一点,作射线,以点为圆心,长为半径画弧,交的延长线于点；②在直线上取一点〔不与点重合,作射线,以点为圆心,长为半径画弧,交的延长线于点；③作直线．所以直线就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程,〔1使用直尺和圆规,补全图形；〔保留作图痕迹〔2完成下面的证明．证明：∵_______,_______,∴〔____________〔填推理的依据．[解析]〔1尺规作图如下图所示：〔2,,三角形中位线平行于三角形的第三边．[考点]尺规作图,三角形中位线定理18．计算：．[解析]解：原式．[考点]实数的运算19．解不等式组：．[解析]解：由①得,,由②得,,∴不等式的解集为．[考点]一元一次不等式组的解法20．关于的一元二次方程．〔1当时,利用根的判别式判断方程根的情况；〔2若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的,的值,并求此时方程的根．[解析]〔1解：由题意：．∵,∴原方程有两个不相等的实数根．〔2答案不唯一,满足〔即可,例如：解：令,,则原方程为,解得：．[考点]一元二次方程21．如图,在四边形中,,,对角线,交于点,平分,过点作交的延长线于点,连接．〔1求证：四边形是菱形；〔2若,,求的长．[解析]〔1证明：∵∴∵平分∴∴∴又∵∴又∵∴四边形是平行四边形又∵∴是菱形〔2解：∵四边形是菱形,对角线、交于点．∴．,,∴．在中,．∴．∵,∴．在中,．为中点．∴．[考点]菱形的性质和判定,勾股定理,直角三角形斜边中线22．如图,是的直径,过外一点作的两条切线,,切点分别为,,连接,．〔1求证：；〔2连接,,若,,,求的长．[解析]〔1证明：∵、与相切于、．∴,平分．在等腰中,,平分．∴于,即．〔2解：连接、．∵∴∴同理：∴．在等腰中,．∴．∵与相切于．∴．∴．在中,,∴．[考点]切线的性质,切线长定理,锐角三角函数23．在平面直角坐标系中,函数〔的图象经过点〔4,1,直线与图象交于点,与轴交于点．〔1求的值；〔2横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象在点,之间的部分与线段,,围成的区域〔不含边界为．①当时,直接写出区域内的整点个数；②若区域内恰有4个整点,结合函数图象,求的取值范围．[解析]〔1解：∵点〔4,1在〔的图象上．∴,∴．〔2①3个．〔1,0,〔2,0,〔3,0．②．当直线过〔4,0时：,解得．当直线过〔5,0时：,解得．当直线过〔1,2时：,解得．当直线过〔1,3时：,解得∴综上所述：或．[考点]一次函数与反比例函数综合,区域内整点个数问题24．如图,是与弦所围成的图形的内部的一定点,是弦上一动点,连接并延长交于点,连接．已知,设,两点间的距离为,,两点间的距离为,,两点间的距离为．小腾根据学习函数的经验,分别对函数,随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程,请补充完整：〔1按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量,分别得到了,与的几组对应值；0123456〔2在同一平面直角坐标系中,描出补全后的表中各组数值所对应的点〔,,〔,,并画出函数,的图象；〔3结合函数图象,解决问题：当为等腰三角形时,的长度约为____．[解析]〔1〔2如下图所示：〔3或或．如下图所示,个函数图象的交点的横坐标即为所求．[考点]动点产生的函数图象问题,函数探究25．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A,B两门课程的学习情况,从中随机抽取60名学生进行测试,获得了他们的成绩〔百分制,并对数据〔成绩进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．．A课程成绩的频数分布直方图如下〔数据分成6组：,,,,,；．A课程成绩在这一组是：7071717176767778797979．A,B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数AB7083根据以上信息,回答下列问题：〔1写出表中的值；〔2在此次测试中,某学生的A课程成绩为76分,B课程成绩为71分,这名学生成绩排名更靠前的课程是________〔填"A"或"B",理由是_______；〔3假设该年级学生都参加此次测试,估计A课程成绩超过分的人数．[解析]〔1〔2B．该学生A课程分数低于中位数,排名在中间位置之后,而B课程分数高于中位数,排名在中间位置之前．〔3解：抽取的60名学生中．A课程成绩超过的人数为36人．∴〔人答：该年级学生都参加测试．估计A课程分数超过的人数为180人．[考点]频数分布直方图,中位数,用样本估计总体26．在平面直角坐标系中,直线与轴、轴分别交于点,,抛物线经过点,将点向右平移5个单位长度,得到点．〔1求点的坐标；〔2求抛物线的对称轴；〔3若抛物线与线段恰有一个公共点,结合函数图象,求的取值范围．[解析]〔1解：∵直线与轴、轴交于、．∴〔,0,〔0,4∴〔5,4〔2解：抛物线过〔,∴．∴∴对称轴为．〔3解：①当抛物线过点时．,解得．②当抛物线过点时．,解得．③当抛物线顶点在上时．此时顶点为〔1,4∴,解得．∴综上所述或或．[考点]一次函数与坐标轴的交点,点的平移,抛物线对称轴,抛物线与线段交点问题27．如图,在正方形中,是边上的一动点〔不与点,重合,连接,点关于直线的对称点为,连接并延长交于点,连接,过点作交的延长线于点,连接．〔1求证：；〔2用等式表示线段与的数量关系,并证明．[解析]〔1证明：连接．∵,关于对称．∴．．在和中．∴∴．∵四边形是正方形∴．∴∴∴∵．∴在和．∴≌∴．〔2．证明：在上取点使得,连接．∵四这形是正方形．∴．．∵≌∴同理：∴∵∴∴∴∴．∵∴∵∴∴∵．∴在和中∴≌∴在