八年级数学上学期分式方程综合压轴题专项练习

分式方程综合压轴题专项练习

一、单选题

1.随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大

型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产

30万件产品,现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需

时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得()

400500„400500人400500、400500

A.-------=—B.——=--------C.——=-------D.--------=一

x-30xxx+30xx-30x+30x

【标准答案】B

【思路点拨】

设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产(x+30)万件产品，根据工

作时间=工作总量+工作效率，再结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产

400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程.

【精准解析】

解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产(x+30)万件产品，

故选：B.

【名师指路】

本题考查了由实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程.

2.若解分式方程二=/一产生增根，则m的值为()

x+4戈+4

A.1B.-4C.-5D.-3

【标准答案】C

【思路点拨】

增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.把增根代入化为整

式方程的方程即可求出m的值.

【精准解析】

方程两边都乘(x+4),得

•••原方程增根为L4,

...把x=-4代入整式方程，得m=-5,

故选：C.

【名师指路】

本题考查分式方程无解的情况，掌握分式方程增根产生的条件为解题关键.

3.随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件

的能力由每周3000件提高到4200件,平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司

的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快

件x件，根据题意可列方程为（）

300042003000”4200

xx-80xx

42003000”30004200

xxxX+80

【标准答案】D

【思路点拨】

设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人

数=投递快递总数量+人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x

的分式方程，此题得解.

【精准解析】

解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件,

根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得：幽=W级，

xx+80

故选：D.

【名师指路】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关

键.

4.（2021•广东揭东•八年级期末）若关于x的分式方程§=/-+5的解为正数，则

x-22-x

m的取值范围为（）

A.m<-10B.m<-10

C.吟一10且〃于一6D.，”>-10且1畔-6

【标准答案】D

【思路点拨】

分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出机的范

围即可.

【精准解析】

解：去分母得3X=-W+5(X-2),

解得、=竺他

2

由方程的解为正数，得到〃?+10>0,且xw2,机+10工4,

则m的范围为，〃>一10且，“片-6，

故选：D.

【名师指路】

本题主要考查了分式方程的计算，去分母化为整式方程，根据方程的解求出机的范围,

其中考虑到分式方程的分母不可为零是做对题目的关键.

5.已知关于x的分式方程展-4=一匚的解为正数，则A的取值范围是（）

x-22-x

A.—8<%<0B.k,>—8k工—2

C.%>-8且D.々<4且

【标准答案】B

【思路点拨】

令分母等于。解出增根，去分母后，把增根代入求出k值；去分母解出x,因为解为正

数，从而求出k的范围

【精准解析】

解：令x-2=0,解得分式方程的增根是2

去分母得：x-4（x-2）=M代入增根2,解得k=-2

去分母解得x=k+¥R

•••分式方程解为正数

k+R

A—>0解得k>—8

综合所述k的取值范围是：4>—8且女工-2

故答案选B

【名师指路】

本题主要考察了分式方程的增根，一元一次不等式等知识点，准确记住增根的解题步骤

是解题关键.

6.随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件

的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司

的快递员人数不变,求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快

件工件，根据题意可列方程为（）

3000420030004200

B.+40=

xx-40xx

c4200300030004200

C.------=----------40D.

xxx+40

【标准答案】D

【思路点拨】

设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件

（x+40）件，根据快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解.

【精准解析】

解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递

快件（x+40）件，

故选：D.

【名师指路】

本题主要考查了分式方程的应用，准确计算是解题的关键.

1ax-3

7.（2021•广东•深圳实验学校八年级期中）若分式方程口=耳彳无解，则实数a

的值为（）

33

A.1B.1或二C.-D.1或2

22

【标准答案】B

【思路点拨】

分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a的值即可.

【精准解析】

解：方程两边同乘*-2尸可得：x-2=ax-3,

当整式方程无解时，此时。=1,

3

当整式方程有解时x=2,代入可得：2a-3=0,解的a=],

3

综上所述，。的值为1或1

故选：B

【名师指路】

本题主要考查分式方程无解情况，先转化为整式方程，然后根据无解的情况，分类讨论

即可.

[x-11+x

8.（2021•广东顺德•九年级月考）若关于x的不等式组;亍有且只有8个整数

>x+1

0771O

解，关于y的方程--,-+7一=1的解为非负数,则满足条件的整数”的值为（）

y+9Q9+y

A.—8B.-10C.-8或-10D.-8或-9或-10

【标准答案】D

【思路点拨】

解不等式组，得到不等式组的解集，根据整数解的个数判断〃的取值范围，解分式方程,

用含有”的式子表示以根据解的非负性求出。的取值范围，确定符合条件的整数

相加即可.

【精准解析】

工一11+X

解：不等式组，”亍，

4x-tz>x+l（2）

解（1）得x45,

2-4-1

解（2）得x>亍，

二不等式组的解集为誓•<X,5;

•••不等式组有且只有8个整数解，

•••7,等<一2,

解得一;

2v+〃+19

解分式方程--+--=1得y=-1（。*8）；

y+99+y

•・•方程的解为非负数，

:•一a-120即a4—1;

综上可知：-10《a<-7;

・・•”是整数，

/.a=-8或-9或-10.

故选：D.

【名师指路】

本题考查了解一元一次不等式组，分式方程，本题易错，易忽视分式方程有意义的条件.

9.（2021•广东龙岗•八年级期末）若关于x的分式方程二三--一=2有增根，则。的

x-33-x

值为（）

A.a=lB.a=—lC.a=3D.a=-3

【标准答案】B

【思路点拨】

方程两边都乘以（片3）去掉分母，化简求出。的表达式，因为方程有增根，所以"3=0,

求出X的值，代入即可求出。的值.

【精准解析】

解:方程两边都乘以（X-3）得:"1=2解3）,

a+l=2x-6,

6/=2X-6-1,

a=2x-7.

•.•方程有增根，

/.x-3=0,

.\x=3,

.*.tz=2x-7=2x3-7=-l.

故选：B.

【名师指路】

本题考查分式方程的增根的概念，考核学生的计算能力，解题的关键是知道增根产生的

原因.

10.（2021•广东福田•一模）对于实数"，b,定义一种新运算“③”为：。区b=

a-b

这里等式右边是通常的实数运算.例如：1宓3=鼻=-；,则方程x③（T）=二一1的

174X—1

解是（）

A.x=4B.x=5C.x=6D.x=7

【标准答案】B

【思路点拨】

已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解.

【精准解析】

根据题中的新定义化简得：二7==-1,

X-1X-1

去分母得：2=6-x+l,解得：x=5,

经检验x=5是分式方程的解.

故选：B.

【名师指路】

此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键.

二、填空题

I3r

11.如图，A,B,。三点在数轴上，对应的数分别是一二,1,产且点B到A,

C的距离相等，则“=_.

A4G»

113x

x+22x*4

【标准答案】-6.

【思路点拨】

数轴上右边的数总比左边的数，所以两点距离等于两点所表示的数之差(右边的减左边

的)，列出关于x的分式方程，解方程即可.

【精准解析】

依题意得」-全3%

2%+4

3x

整理得：2一百

2x+4

两边同时乘以2(x+2),得：4(x+2)-2=3x

去括号得：4犬+8-2=3尤

移项得：4x-3x=-6

/.%=-6

检验：当犬=一6时，20+2)/)

・・・原分式方程的解为n=-6

故答案为-6.

【名师指路】

本题考查了数轴上点的特征，解分式方程.

12.若关于x的方程」\=生(-六的解为整数，且不等式组12*一37无解，则

x-3x-33-x[x-tz<0

所有满足条件的非负整数a的和为.

【标准答案】7

【思路点拨】

先把a当常数解分式方程，x=g,再将a当常数解不等式组，根据不等式组无解得:

a<5,找出当a为非负整数时，x也是整数的值时，确定a的值并相加即可.

【精准解析】

去分母，方程两边同时乘以x-3,

ax=3+a+x,

。+3日r

X=----且X#3,

a-\

2x-3>7①

<x-a<0®，

由①得：x>5,

由②得：x<a,

…,f2x-3>7“

•••不等式组〃八无解，

Aa<5,

当时，

a=0X£±2_3;

=a-\=

当a=l时，x=±=无意义，

a-\

当a=2时，x="1=5,

a-\

当a=3时，X=7=3分式方程无解，不符合题意，

a-\

当a=4时，x="=（,

a-\3

当a=5时，x=-^=2,

a-\

•••x是整数，a是非负整数，

Aa=O,2,5,

所有满足条件的非负整数a的和为7,

故答案为7

【名师指路】

考查了解分式方程、一元一次不等式组的解的情况，求出分式方程和不等式组的解是解

本题的关键，要注意分式方程有意义，即分母不为0.

13.（2021•广东•广州市天河外国语学校八年级期中）关于x的分式方程生产--一=3

x-11-x

的解为非负数，则〃的取值范围为.

【标准答案】4W4且a*3

【思路点拨】

根据解分式方程的方法和方程生—=3的解为非负数，可以求得。的取值范围.

x-11-x

【精准解析】

方程两边同乘以X-1,得

2x-a+l=3（x—1）,

去括号，得

2,x—a+1=3x—3,

移项及合并同类项，得

x=4-a,

••・关于X的分式方程包子-1匚=3的解为非负数，x-l#O,

x-1\-x

4-6T>0

解得，。“4且4工3,

故答案为a44且。工3.

【名师指路】

本题主要考查根据分式方程的根求解参数，难度系数稍微有点大，但是是必考点.

2r-1

14.分式方程T+==2的解是____.

x-33-x

【标准答案】无解

【思路点拨】

左右两端同时乘以最简公分母（x-3）,得到新的一元一次方程，根据一元一次方程的

解法去括号移项即可求解，解得x=3后代回最简公分母中，发现最简公分母为0,不合

题意，因此原方程无解.

【精准解析】

2x-\,

-----+------=2

x—33—x

根据题意，最简公分母为（x-3）,等式两端同时乘以最简公分母（x-3）,得：

2-（x-l）=2（x-3）

去括号得：2-X+1=2A--6

移项得:3x=9

解得x=3

将x=3代回最简公分母（x-3）,此时最简公分母为0,不合题意，舍去x=3

因此原式无解；

故答案为：无解.

【名师指路】

本题考查了分式方程的求解，在解分式方程时，一定要注意代回最简公分母中检验，判

断所求的根是否为增根，然后才能确定最终解.

15.已知关于x的分式方程一\-3=々的解为正数，则k的取值范围为________.

x-1x-1

【标准答案】k＜；3且厚]1

【思路点拨】

先求出分式方程的解，再根据解为正数，确定解的取值范围，解不等式，即可得到结论;

【精准解析】

解：去分母得，x-3(x-1)=2k

以力/日3-2k

解得：x=2，

•.•分式方程的解为正数，

.3-2k八口3-2%,

..-----＞0且-----w1

22

31

解得，k〈且kJ

故答案为：k＜；3且k#]1.

【名师指路】

本题考查解分式方程、解一元一次不等式，注意不能产生增根，所以要使存1.

16.(2021•广东阳江•一模)若分式方程学三+一二=2有增根，则实数a的取值

x'-2xx-2x

是.

【标准答案】4或8

【思路点拨】

化为整式方程2%=。-4,当x=0或x=2时，分式方程有增根，分别求出。的值即可.

【精准解析】

去分母得，3x-a+x=2x-4,

整理得，2x=a-4,

•••分式方程有增根，

.’.x=0或x=2,

当x=0时，”=4;

当x=2时，a=8.

故答案是4或8.

【名师指路】

本题主要考查分式方程的增根，掌握分式方程的增根使其分母为0是解题的关键.

17.(2021•广东•深圳市龙岗区百合外国语学校九年级月考)关于x的分式方程

二+±=1有增根，则根的值为____.

x-2x-2

【标准答案】-3

【思路点拨】

由分式方程有增根，得到最简公分母为0,确定出m的值即可.

【精准解析】

分式方程去分母得：，*+3=x-2,

由分式方程有增根，得至心-2=0,即x=2,

把x=2代入整式方程得：m+3=0,

解得：m=-3.

故答案为：-3.

【名师指路】

此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增

根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

18.(2021•广东•模拟预测)分式方程处=一3的解是______________

xx-2

【标准答案】x=5

【思路点拨】

先去分母，再解整式方程，然后检验即可.

【精准解析】

两边同乘Mi得，10(x-2)=6x,

解整式方程得，x=5,

检验：当*=5时，X(X-2)H0,所以x=5是原方程的解.

【名师指路】

本题考查了分式方程的解法，解题关键是熟练运用解分式方程的方法进行计算，注意:

分式方程要检验.

19.（2021•广东广州•九年级专题练习）关于工的方程=、=2的解是非负数，则〃的

x-4

取值范围是.

【标准答案】且“H0.

【思路点拨】

分式方程去分母表示出解，根据解为非负数求出a的范围即可.

【精准解析】

解：去分母得：«=2r-8,

解得：x=誓，

由分式方程的解为非负数，得到早，0且皆，4,

解得：a2-8且a40.

故答案为：aN—8且a*0.

【名师指路】

本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

20.按如图所示的程序，若输入一个数字x,经过一次运算后，可得对应的y值.若输

入的x值为-5,则输出的y值为;若依次输入5个连续的自然数，输出的y的平

均数的倒数是50,则所输入的最小的自然数是.

【标准答案】京5

【思路点拨】

①将x=-5代入y=-/-计算可得答案；②根据平均数的概念可得：

x-(x+l)

111111

++++=—x5,即

x-(x+l)(x+l).(x+2)(x+2)-(x+3)(x+3)・(x+4)(x+4)-(x+5)50

-----二Z+…1=1,进一步计算即可求得答案.

Xx+1x+1x+2x+4x+510

【精准解析】

A〜,111

解：①Wx=-5时'y=x.(x+l)=(—5)x(-4)=与；

②根据平均数的概念可得:

+4-++=—x5

x(x+l)(x+l).(x+2)(x+2)・(x+3)(x+3)-(x+4)(x+4)-(x+5)50

即---L+...+J_一_L=!

xx+1x+1x+2x+4x+510

.・」__L=_L

xx+510

解得x=5或x=-10(舍去)，

故答案为：，；5.

【名师指路】

本题主要考察了流程图与有理数计算、分式方程求解，解题的关键在于读懂流程图的含

义，并将x代入式子进行求解.

三、解答题

21.(2021•广东实验中学三模)某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包

括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同.其中购进一次性医用外

科口罩花费2000元N95口罩花费10000元.已知购进一次性医用外科口罩的单价比

N95口罩的单价少8元.

(1)求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？

(2)该药店计划再次购进两种口罩共1800只，预算购进的总费用不超过1万元，问至

少购进一次外科口罩多少只？

【标准答案】(1)一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是10元；(2)至少

购进一次性医用外科口罩1000只.

【思路点拨】

(1)可设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是(x+8)元，根据等量关

系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；

(2)可设购进一次性医用外科口罩y只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即

可求解.

【精准解析】

解：⑴设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是(x+8)元,

,门™200010000

由题意可知：——=-

xx+8

解得：x=2,

经检验，x=2是原方程的解，

x+8=2+8=10,

故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是10元;

(2)设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有

2>>+10(1800-y)<10000,

解得这1000,

故至少购进一次性医用外科口罩1000只.

【名师指路】

本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确

列出分式方程和不等式是解题的关键.

22.（2021•广东•深圳实验学校八年级期中）某社区拟建4,8两类摊位以搞活“地摊经

济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每

平方米的费用为40元，建3类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A类摊位

的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的］.

（1）求每个4,3类摊位占地面积各为多少平方米？

（2）该社区拟建4,8两类摊位共90个，且8类摊位的数量不大于4类摊位数量的3

倍，建造这90个摊位的总费用不超过10850元.则共有哪几种建造方案？

（3）在（2）的条件下，哪种方案的总费用最少？最少费用是多少？

【标准答案】（1）每个4类摊位的占地面积为5平方米，每个8类摊位的占地面积为

3平方米；（2）共有3种建造方案，方案1:建造23个A类摊位，67个B类摊位；方

案2:建造24个A类摊位，66个B类摊位；方案3:建造25个A类摊位，65个3类

摊位；（3）方案1的总费用最少，最少费用是10630元

【思路点拨】

（I）设每个8类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位的占地面积为（x+2）平

方米，根据题意列分式方程解决问题；

（2）设建造，"个A类摊位，则建造（90-m）个B类摊位，根据题意，列一元一次不

等式组解决问题；

（3）根据（2）的结论，分别计算各方案的费用，再比较即可得出费用最少的方案以及

最少费用.

【精准解析】

解：（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位的占地面积为（x+2）

平方米，

dg』/口60360

依题意得：--=7X—>

x+25x

解得：x=3,

经检验，x=3是原方程的解，且符合题意，

.\x+2=5.

答：每个A类摊位的占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米.

(2)设建造机个A类摊位，则建造(90-胆)个B类摊位，

[90—"2K3m

依题息得："八<"a“"、、/1八。〈八

[40x5〃z+30x3(90-m)<\0850

45

解得：y</n<25.

又•••根为整数，

二川可以取23,24,25,

,共有3种建造方案，

方案1：建造23个4类摊位，67个8类摊位；

方案2:建造24个4类摊位，66个8类摊位；

方案3:建造25个A类摊位，65个8类摊位.

(3)方案1所需总费用为40x5x23+30x3x67=10630(元)，

方案2所需总费用为40x5x24+30x3x66=10740(元)，

方案3所需总费用为40x5x25+30x3x65=10850(元).

V10630<10740<10850,

二方案1的总费用最少，最少费用是10630元.

【名师指路】

本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式和方程是

解题的关键.

23.(2021•广东揭西•八年级期末)某超市购进A和5两种商品，已知每件A商品的进

货价格比每件B商品的进货价格贵2元，用250元购买A商品的数量恰好与用200元

购买B商品的数量相等.

(1)求A商品的进货价格；

(2)计划购进这两种商品共30件，且投入的成本不超过280元，那么最多购进多少件

A商品？

【标准答案】(1)4商品的进货价为10元；(2)最多购进20件4商品

【思路点拨】

(1)直接利用已知表示出两种商品的价格，再利用250元购买A商品的数量恰好与用

200元购买B商品的数量相等建立等式求出答案.

(2)根据题意表示出购进两种商品的价格，进而得出不等式求出答案.

【精准解析】

(1)解：设8商品的进货价为x元，A商品的进货价为(x+2)元，则希=干

解这个方程得x=8

经检验x=8是原方程的解

•**x+8=8+2=10(兀)

答：A商品的进货价为10元；

(2)解：设可购进⑺件A商品，8商品(30-m)件，则10〃?+8(30-〃?)W280,

解得：w<20

答：最多购进20件A商品

【名师指路】

本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

24.(2021•广东•深圳市罗湖区翠园初级中学九年级开学考试)(1)解方程：勺+9

3+x2

7.

-2x+6'

—<x+\

(2)解不等式组：3

2(1)+420

【标准答案】(l)x=-2;(2)-2<%,3

【思路点拨】

(1)先在方程两边同时乘以2(x+3),去分母变为整式方程后再解整式方程即可，注

意，解分式方程一定要检验；

(2)根据一元一次不等式的解法分别解出两个不等式的解集，根据不等式组的解集的

确定方法得到不等式组的解集.

【精准解析】

解：(1)两边同时乘以2(x+3),

得：4+3(x+3)=7,

解得犹=-2,

检验：当x=-2时，2(x+3)=2视，

2是原方程的解；

■^.<x+l0

⑵3,

2(l-x)+4..O®

解①得，x>-2,

解②得，%,3,

不等式组的解集为

【名师指路】

本题考查的是解分式方程和解一元一次不等式组，掌握确定不等组的解集的方法：同大

取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键，注意，解分式方程

一定要检验.

25.（2021•广东三水•八年级期末）截至2021年6月10日，我国新冠疫苗接种总剂次

数为全球第二.某社区有A、8两个接种点，A接种点有5个接种窗口，B接种点有4

个接种窗口.每个接种窗口每小时的接种剂次相同.当两接种点独立完成2000剂次新

冠疫苗接种时，A接种点比5接种点少用5小时.

（1）求4、8两个接种点每小时接种剂次；

（2）设A、B两个接种点一共工作100小时，要完成9600剂新冠疫苗接种任务，至少

要安排A接种点工作多少小时？

【标准答案】（1）A接种点每小时接种100剂次，B接种点每小时接种80剂次；（2）

至少要安排A接种点工作80小时.

【思路点拨】

（1）设每个接种窗口每小时的接种x剂次，则A接种点每小时接种5x剂次，8接种点

每小时接种4x剂次，由题意：两接种点独立完成2000剂次新冠疫苗接种时，4接种点

比B接种点少用5小时.列出分式方程，解方程即可；

（2）设安排A接种点工作加小时，安排5接种点工作（100加）小时,由题意:A、8两

个接种点一共工作100小时，要完成9600剂新冠疫苗接种任务，列出一元一次不等式

即可.

【精准解析】

解：（1）设每个接种窗口每小时的接种x剂次，则A接种点每小时接种5x剂次，8接

种点每小时接种4x剂次,

20002000=

由题意得:------------------=5

4x5x

解得：x=20,

经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，

则4x=80,5x=100,

答：A接种点每小时接种100剂次，B接种点每小时接种80剂次；

（2）设安排4接种点工作小小时，安排B接种点工作（100加）小时,

由题意得：100〃?+80（100-,”）29600,解得：〃后80,

答：至少要安排A接种点工作80小时.

【名师指路】

本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，找准数量关系，列出分式方程和

不等式是解题的关键.

26.（2020•广东禅城•八年级期末）在“母亲节”前期，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜

花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销售量大，店主决定将玫瑰每枝降价1元促销，降价

后30元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的1.5倍.

（1）求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？

（2）根据销售情况，店主用不多于900元的资金再次购进两种鲜花共500枝，康乃馨

进价为2元/枝，玫瑰进价为1.5元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？

【标准答案】（1）2元；（2）至少购进玫瑰200枝.

【精准解析】

试题分析：（1）设降价后每枝玫瑰的售价是x元，然后根据降价后30元可购买玫瑰的

数量是原来购买玫瑰数量的L5倍，列分式方程求解即可，注意检验结果；

（2）根据店主用不多于900元的资金再次购进两种鲜花共500枝，列不等式求解即可.

试题解析：（1）设降价后每枝玫瑰的售价是x元，依题意有

解得x=2.

经检验，x=2是原方程的解，且符合题意.

答：降价后每枝玫瑰的售价是2元.

（2）设购进玫瑰y枝，依题意有

2（500-y）+1.5y<900.

解得y>200.

答：至少购进玫瑰200枝.

27.（2020•广东郁南•八年级期末）某公司开发的960件新产品必须加工后才能投放市

场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工48件产品的时间与

乙工厂单独加工72件产品的时间相等，而且乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，在

加工过程中，公司需每天支付50元劳务费请工程师到厂进行技术指导.

（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件产品？

（2）该公司要选择既省时又省钱的工厂加工产品，乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费

用为每天800元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，有望加工这批

产品？

【标准答案】(1)甲工厂每天加工16件产品，则乙工厂每天加工24件；(2)乙工厂向公

司报加工费用每天最多为1225元时，有望加工这批产品.

【思路点拨】

(1)此题的等量关系为：乙工厂每天加工产品的件数=甲工厂每天加工产品的件数+8;甲

工厂单独加工48件产品的时间=乙工厂单独加工72件产品的时间，设未知数，列方程

求出方程的解即可；(2)先分别求出甲乙两工厂单独加工这批新产品所需时间，再求出甲

工厂所需费用，然后根据乙工厂所需费用要小于甲工厂所需费用，设未知数，列不等式,

再求出不等式的最大整数解即可.

【精准解析】

(1)设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工(x+8)件产品，

AQ7?

根据题意得：—=-^->

xx+8

解得：x=16,

检验：x(x+8)=16(16+8)#0,

...x=16是原方程的解，

x+8=16+8=24,

答：甲工厂每天加工16件产品，则乙工厂每天加工24件.

(2)解：甲工厂单独加工这批新产品所需时间为：960+16=60,

所需费用为：60x800+50x60=51000,

乙工厂单独加工这批新产品所需时间为：960+24=40,

解：设乙工厂向公司报加工费用每天最多为y元时，有望加工这批产品

则：40y+40x50<51000

解之乃1225

；.y的最大整数解为:y=1225

答：乙工厂向公司报加工费用每天最多为1225元时，有望加工这批产品.

【名师指路】

本题考查分式方程的应用，涉及到的公式：工作总量=工作效率x工作时间；分析题意,

找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键.

28.(2021•广东普宁•八年级期末)解分式方程：-^--1=^—~

x-2厂一4x+4

【标准答案】x=4

【思路点拨】

先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，得到X的值，经检验即可得

到分式方程的解.

【精准解析】

方程两边乘（尤-2）2得：x（x-2）—（x-2产=4,

解得：片=4,

检验：当I时，（r2）2*0.

所以原方程的解为x=4.

【名师指路】

本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

29.（2021•广东郁南•八年级期末）在抗击“新冠肺炎”战役中，某公司接到转产生产1440

万个医用防护口罩补充防疫一线需要的任务，临时改造了甲、乙两条流水生产线.试产

时甲生产线每天的产能（每天的生产的数量）是乙生产线的2倍，各生产80万个，甲

比乙少用了2天.

（1）求甲、乙两条生产线每天的产能各是多少？

（2）若甲、乙两条生产线每天的运行成本分别是1.2万元和0.5万元，要使完成这批任

务总运行成本不超过40万元，则至少应安排乙生产线生产多少天？

（3）正式开工满负荷生产3天后，通过技术革新，甲生产线的日产能提高了50%,乙

生产线的日产能翻了一番.再满负荷生产13天能否完成任务？

【标准答案】（1）甲条生产线每天的产能是40万个，乙条生产线每天的产能是20万

个；（2）至少应安排乙生产线生产32天；（3）再满负荷生产13天能完成任务.

【思路点拨】

（1）设乙条生产线每天的产能是x万个，则甲条生产线每天的产能是2x万个，根据题

意列出方程即求解可；

（2）设安排乙生产线生产y天，再根据完成这批任务总运行成本不超过40万元列出不

等式求解即可；

（3）根据题意求出原来满负荷生产3天和再满负荷生产13天的产能的和，然后与1440

万相比即可解答.

【精准解析】

解：（1）设乙条生产线每天的产能是x