北京市石景山区2022届高三年级上册数学期末考试试卷

北京市石景山区2022届高三上学期数学期末考试试卷

阅卷人

-------------------、单选题（共10题；共20分）

得分

1.（2分）设集合4={%|-2<%<4},B={2,3,4,5},则AClB=（）

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4）

2.（2分）已知i为虚数单位，若（2+i）z=i,则复数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（2分）设函数/（久）=/一专，则/（无）（）

A.是奇函数，且在（0,+oo）单调递增

B.是奇函数，且在（0,+8）单调递减

C.是偶函数，且在（0,+8）单调递增

D.是偶函数，且在（0,+8）单调递减

4.（2分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为

（）

A-IB-JC'ID'I

5.（2分）记Sn为等差数列{每}的前n项和，若S2=3,S4=18,则56=（）

A.36B.45C.63D.75

6.（2分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），其中自习时间的范围是[17.5,

30],并制成了频率分布直方图，如图所示,样本数据分组为[17.5,20）,[20,22.5）,[22.5,25）,

[25,27.5）,[27.5,30].根据频率分布直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人

数是（）

A.56B.60C.120D.140

7.（2分）若a>b>l,0VcV1,贝！I（）

bacc

A.c<cB.logca>log*C.a<bD.logac>logdc

8.（2分）在口48。中，若2bcosB=QCOSC+ccosA,则8=（)

A-1B-5c-?D.3

9.（2分）设｛刀｝是首项为-1的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n_1+a2n>

0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.（2分）如图，正方体ABC。一4遇传1。1的棱长为1,线段当小上有两个动点E,F,_H.£F=

给出下列三个结论：

①AC1BE@）X力EF的面积与4BEF的面积相等③三棱锥4-BEF的体积为定值其中，所有正确

结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

阅卷入

二、填空题（共5题；共6分）

得分

11.（1分）已知向量2=（2,5）,方=（九4）,若可"，贝以=.

’2"T,%<1

12.（1分）设函数/（%）=｛1，则使得f（x）W2成立的x的取值范围是.

%>1

13.（1分）若点P（cos6,sin。）关于X轴的对称点为Q（COS（0+E）,sin（6+切，则。的一个取值

为.

14.（1分）数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为r的小圆在一个半径为4r的大圆

内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线.如图，已知r=l,起

始位置时大圆与小圆的交点为4。点为％轴正半轴上的点)，滚动过程中4点形成的轨迹记为星形线

C.有如下结论：

①曲线C上任意两点间距离的最大值为8；

②曲线O：|x|+|y|=4的周长大于曲线C的周长；

③曲线C与圆好+产=4有且仅有4个公共点.

其中正确的序号为.

15.(2分)双曲线Q《_%=1的焦点坐标为,渐近线方程为.

阅卷入

三、解答题(共6题；共75分)

得分

16.(10分)已知函数g(x)=sin(x-^),/i(x)=cosx,从条件①/(x)=g(x)•/i(x)、条件

②/(%)=9(x)+h(x)这两个条件中选择一个作为已知，求：

(1)(5分)f(x)的最小正周期；

(2)(5分)/(%)在区间［0,刍上的最小值.

17.(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABC。为直角梯形，^DAB=/-ADC=侧面PAD为

直角三角形，Z.PAD=CD1平面PAD.

AB

（1）（5分）求证：CD〃平面P/B；

（2）（5分）求证：PA1平面ABCD;

（3）（5分）若ZB=3,PD=4,CD=AD=2,判断在线段PD上是否存在一点M,使得直线

AM与平面PBC所成角的大小为今

18.（10分）某校组织“创建文明城区”知识竞赛，有4B两类问题，每位参加比赛的学生先在两类问

题中选择一类，然后从所选类别的问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则比赛结束；若回答

正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，比赛结束乂类问题回答正确

得10分，否则得。分；B类问题回答正确得30分，否则得0分.已知小明同学能正确回答4类中的每

一个问题的概率均为0.8,能正确回答B类中的每一个问题的概率均为0.5,且能正确回答问题的概率

与回答次序无关.

（1）（5分）若小明先回答4类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）（5分）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

19.（10分）己知椭圆C：+l（a>>0）,0为坐标原点，右焦点坐标为尸（鱼，0）,椭圆C

的离心率为当.

（1）（5分）求椭圆C的方程；

（2）（5分）椭圆C在y轴上的两个顶点为4B,点P满足度•抑=0,直线PF交椭圆于M,N两

点，且|MN|=V5,求此时乙OPF的大小.

20.（15分）已知函数/（久）=卫岩二1

（1）（5分）求曲线y=/（%）在点（0,-1）处的切线方程；

（2）（5分）当a>0时，求/（%）的单调区间；

（3）（5分）求证：当aW—1时,/（%）>—e.

21.（15分）记实数a,匕中的较大者为max｛a,b）,例如max｛l,2｝=2,max｛l,1｝=1,对于无

穷数列｛an｝，记”=max｛a2i，a2^｝（/cG/V*）,若对于任意的/c€N*,均有"+1<%，则称数列

｛用｝为“趋势递减数列”.

3）（5分）已知数列｛须｝，｛3｝的通项公式分别为斯=-2冗+1,%=（_3"，判断数列｛册｝，

出”｝是否为“趋势递减数列“，并说明理由；

（2）（5分）已知首项为1公比为q的等比数列｛%｝是“趋势递减数列”，求q的取值范围;

(3)(5分)若数列｛dn｝满足由，d2为正实数,且1+2=1%+1-dnl，求证:｛dn｝为“趋势递减数

列”的充要条件为｛dn｝的项中没有0.

答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】由题设有4nB=｛2,3｝，

故答案为：B.

【分析】由交集的定义，即可得出答案。

2.【答案】A

【解析】【解答】因为(2+i)z=i,

所以2=e=(2[急])=]+/

所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限，

故答案为：A

【分析】首先由复数代数形式的运算性质，整理再结合复数代数形式的几何意义，即可得出答案。

3.【答案】A

【解析】【解答】因为函数/3)=--或定义域为｛小40｝，其关于原点对称，而/(-%)=

-/(x)，

所以函数/(X)为奇函数.

又因为函数y=%3在(0,+8)上单调递增，在(-00,0)上单调递增，

而y=~3-x~3在(。,+8)上单调递减，在(一8,0)上单调递减，

所以函数-妥在(0,+8)上单调递增，在(-00,0)上单调递增.

故答案为：A.

【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为｛x｝x*0],利用定义可得出函数/(%)为奇函

数，再根据函数的单调性法则，即可解出.

4.【答案】D

【解析】【解答】解析：两本不同的数学书用ai,a2表示，语文书用b表示.

则所有的排列方式有(ai,a2,b),(ai,b,a2),(a2,a”b),⑶，b,a。,(b,a”a2),(b,a2,a。共

6种.

其中两本数学书相邻的情况有4种，故所求概率为*

63

故答案为：D.

【分析】根据题意首先由排列组合以及计数原理，求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个

数，再把数值代入到概率的个数计算出结果即可。

5.【答案】B

【解析】【解答】因为S”为等差数列｛册｝的前n项和，

所以S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,即3,15,56—18成等差数列，

所以3+(S6-18)=30,解得S6=45,

故答案为：B.

【分析】根据题意由等差数列的前n项和公式以及等差数列的项的性质，代入数值计算出结果即

可。

6.【答案】D

【解析】【解答】这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为：(0.16+0.08+0.04)x

2.5=0.7

因此这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是200x0,7=140人.

故答案为：D.

【分析】由频率分布直方图中的数据，代入到频率公式，计算出结果即可。

7.【答案】D

【解析】【解答】对于A,当0<C<l时，y=c*单调递减，所以由a>b可得ca<a,A不符合题

思；

对于B,当OVcVl时，y=logc%单调递减，所以由a>b可得log。。Vlog)，B不符合题意；

对于C,当0VCV1时，y=才在(0,+8)单调递增，由Q>b>l可得片>",C不符合题意；

对于D,当0vc<l时，y=logc%单调递减，所以由Q>b>1可得log。。<log*V0，

1I

则!3限>原力即logaC>log》c,D符合题意・

故答案为：D.

【分析】由基函数、指数函数以及代数式的单调性，对选项逐一判断即可得出答案。

8.【答案】C

【解析】【解答】因为2bcosB=acosC4-ccosA,

由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,

1TT

由于0<B<7i,即sinB芋0,所以cosB=2，得8=可，

故答案为：C.

【分析】首先由正弦定理和两角和的正弦公式整理化简，即可得出cosB的取值，结合角的取值范围

即可求出角B的大小。

9.【答案】B

【解析】【解答】数列但"是首项为-1的等比数列，公比为q

则a2n-i+a2n=~q2n~2-<?2n-1=_q2n-2（i+q）

当q<0时1+q的值正负均可以出现，不能判定符号，即不能推出a2n-i+a2n>0

当a2n-i+a2n>0即一q2n-2（i+q）>。时，可以得到q<-1,则q<0成立.

则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n_i+a2n>0”的必要不充分条件，B符合题意.

故答案为：B

【分析】首先由等比数列的通项公式整理化简已知的递推公式，由此即可得出q的取值范围，再结

合充分和必要条件的定义即可得出答案。

10.【答案】C

【解析】【解答】对于①：连接BD,

因为四边形4BCD是正方形，所以ACJ.BD,因为1面ABC。，ACc^ABCD,所以

因为=所以4C_1_面8。。181，因为BEu面所以4C1BE,故①正确；

对于②：连接4久和AB1，则△AB1%是边长为鱼的等边三角形，所以点A到边BWi的距离为夜.

cos30°=华，所以点4到边EF的距离为华，所以△4EF的面积为鼻鼻华=第，因为BB「面

LLZZZo

AIBICIDI,EFu面A1B1C1D”可得B/_LEF,

所以ABEF的面积为1=所以A4E尸的面积与ABEF的面积不相等，故②不正确；

LL4,

对于③：因为AC1面BDDiBi，所以点A到面BDDiBi的距离为引。二学，所以三棱锥A-BEF的体

积为/SABEFX挈=¥=崇，所以三棱锥A-BE尸的体积为定值，故③正确；

故答案为：C.

【分析】由正方体的几何性质以及线面垂直的性质定理和判定定理即可得出线线垂直，由此判断出

①正确；由三角形的几何形状结合点到直线的距离公式以及三角形的面积公式，代入数值计算出结

果由此判断出②不正确；首先由线面垂直的性质定理即可得出点到平面的距离，然后由边的大小代

入计算出体积的大小，由此判断出③正确；从而得出答案。

11.【答案】I

【解析】【解答】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2x4-;1x5=0,

解方程可得：2=|.

故答案为:|

【分析】根据题意由共线向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。

12.【答案】(-8,4]

【解析】【解答】当》<1时，由/(x)W2,得2尸1工2,所以X-1W1,又因为4<1,所以X<1；

1

当x21时，由/(%)W2,得久2g2，所以％W4,又因为％21,所以1W%W4.

所以满足/(%)W2成立的％的取值范围为(-oo,4].

故答案为：(-00,4].

【分析】根据题意由指数函数和寤函数的单调性，即可求出使得不等式/(%)<2成立的x的取值范

围。

13.【答案】一莹(答案不唯一)

【解析】【解答】因为点尸(cos6,sin。)关于%轴的对称点为Q(cos(。+电，sin(8+与))，

TT1

cos(0+亍)=cosO5cos。+丁sin。=0

兀,即七J所以sin(6+^)=0,

{sin(0+^)=-sin01|sinO+竽cos。=0

rrTT

所以。+z=kit,k£Z,即。=—工+kn,kE.Z.

oo

故答案为：一看(答案不唯一).

【分析】首先由点对称的性质即可求出点的坐标，然后由两角和的正弦公式即可求出结果，然后由

正弦函数的图象结合整体思想，即可求出。=-着+kTr,keZ,对k赋值计算出结果即可。

14.【答案】①③

【解析】【解答】由已知可知小圆与大圆是内切的关系，设小圆的圆心为(q，y0),

2z9

则小圆的圆心轨迹为以(0,0)为圆心，半径为3的圆，BPx0+yo=

设星形线C任意点(x,y),贝濡，8为参数,其中—3WX。，y0<3

可知星形线C任意点(久，y),满足-4<%<4,-4<y<4

对于①，星形线C上左右两个端点(4,0)，(-4,0)或上下两个端点(0,-4).(0,4)的距离最远,

等于8,故①正确；

对于②，曲线D：|比|+|y|=4为过点4(4,0)，B(0,4).C(-4,0).D(0,一4)的正方形，

而星形线与坐标轴的交点也是这四个点，由两点之间线段最短，可知曲线D：|x|+|y|=4的周长小

于曲线C的周长，故②错误；

4

(—3々工72

x=±-2—&

对于③，星形线与直线y=x的交点为,即(迎，V2),(-V2,-V2)

,372-_

(y=±—+2

它们到原点的距离为J(遮,+(遮’=2与圆/+产=4的半径相等,

所以曲线C与圆相切，即有且仅有4个公共点，故③正确;

故答案为：①③

【分析】根据题意由圆与圆的位置关系整理化简即可得出小圆的圆心轨迹，然后由圆的参数方程结

合已知条件即可求出x与y的取值范围；由星形线的定义即可判断出①正确；结合曲线C的几何性

质即可判断出②错误；联立直线与曲线的方程，即可求出交点的坐标，再由两点间的距离公式计算

出圆的半径，结合已知条件即可判断出两圆的位置关系，由此即可得出曲线C与圆相切，从而③正

确；由此得出答案。

15.【答案】(±4,0);y—+V3x

【解析】【解答】因为次=4,b2=12,所以c?=解+M=16>

又因为双曲线的焦点在工轴上，

所以双曲线C：刍—%=1的焦点坐标为(±4,0),渐近线方程为y=±2%=±gx,即〉=

412Q

故答案为：(±4,0)；y=+V3x.

【分析】根据题意由双曲线的方程，计算出c的取值结合双曲线的简单性即可得出答案。

16.【答案】⑴解:选条件①:f(x)=g(x)■/i(x)；

7T731/31,

/(%)=sin(x—召)cos%=(-^-sinx—2cos%)cosx=-2-sinxcosx—^cos%

V3111+cos2x

二-x2sin2x-2x

2

7311

sin2x--3-COS2X—

~444

=1sin(2x-1)-1，

所以/(%)的最小正周期是兀.

选条件②：/(%)=g(x)+h(x).

711

/(%)=sin(x-g)+cosx=sinx—2cos%)+cosx

731

-2-sinx4--2cosx

=sin(x+石)，

所以/(%)最小正周期是27T.

(2)解：选条件①：/(x)=g(X),h(x)<

因为0<x<5,

1

-

2

所以一2片sin(2x-%)一/§,

当2%—看=一看即x=0时，/㈤有最小值一宗

选条件②:f(x)=g(x)+/i(x).

因为0<x<^,

所以静+衿，

所以拉in(x+看)《1,

当x+9建，即久=0时，f(x)有最小值

【解析】【分析】(1)选条件①：根据题意首先整理化简函数的解析式，然后由二倍角公式以及两

角和的正弦公式，整理即可求出函数的解析式，结合正弦函数的周期公式计算出结果即可。选条件

②：由两角和的正弦公式整理化简即可得出函数的解析式，然后由正弦函数的周期公式计算出结

果即可。

(2)选条件①：由已知条件即可得出角的取值范围，然后由正弦函数的单调性即可求出函数的最

值。选条件②：由x的取值范围即可求出x+5的取值范围，然后由正弦函数的单调性即可求出函

数的最值。

17•【答案】⑴证明：因为四棱锥P—4BC0中，^DAB=^ADC=J,

所以AB〃CD,

因为48u平面PAB,CD<£平面PAB*

所以CD〃平面PAB.

(2)证明：因为CD1个沏P/W,PAu平面PAD,所以CCJ_PA,

又因为所以ADJ.P4

因为C。，ADu平面ABCD，CDnAD=D,

所以PA1平面ABCD.

(3)解：存在，当M为线段PD中点时，理由如下：

由(2)可知，因为PA_L平面ABCD，ABc平面ABCD,

所以AB1PA,

又AO1PA,AB1AD,

如图以点4为坐标原点，分别以AB,AD,AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A—xyz,

则4(0,0,0),8(3,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2遍).

设平面PBC的法向量为记=(%,y,z),

由旧题=0得「+2y=0,

场•PB=0l3x-2V3z=0.

令z=6，所以记=(2,1,V3).

设丽=廊(0式/1W1),

则M(0,2-2X,2图)，

所以祠=(0,2-2九2V3A),

直线AM与平面PBC所成角为。,

所以sin。=\cos(AM,n)\=-=^=I4/1+2

25/2-J16A2-8A+4T，

解得4=；，符合题意,

所以当M为线段PD中点时，直线4M与平面PBC所成角的大小为今

【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件即可得出线线平行，然后由线面平行的判定定理即可得证出

结论。

(2)由已知条件即可得出线线垂直，然后由角点的大小也可得出线线垂直，再由线面垂直的判定定理

即可得证出结论。

(3)由(2)的结论即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系，求出点以及向量的坐标，结合数量积

的坐标公式即可求出平面PBC的法向量，然后由共线向量的性质结合线面角与向量夹角之间的关

系，把数值代入到数量积的夹角公式，计算出夹角的正弦值，由此即可对应的4的值，从而即可得出

答案。

18.【答案】(1)解：由题可知，X的所有可能取值为0,10,40.

P(X=0)=1-0.8=0.2；P(X=10)=0.8x(1-0.5)=0.4；P(X=40)=0.8x0.5=0.4.

所以X的分布列为

X01040

p0.20.40.4

(2)解：由⑴知，若小明先回答A问题，则E(X)=0X0.2+10x0.4+40义0.4=20.

若小明先回答B问题，记丫为小明的累计得分，则丫的所有可能取值为0,30,40.

P(y=0)=1_0.5=0,5；P(Y=30)=0.5x(1-0.8)=0.1；P(X=40)=0.5x0.8=0.4,

所以E(Y)=0x0.5+30x0.1+40x0.4=19.

因为19<20,所以小明应选择先回答4类问题.

【解析】【分析】(1)根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X

的分布列。

(2)由(1)的结论结合数学期望公式计算出结果即可，同理根据题意即可得出Y的取值，再由概率的公

式求出对应的Y的概率，结合数学期望公式计算出答案，然后进行比较由此即可得出结论。

19.【答案】(1)解：因为右焦点为尸(或，0),所以c=/,

因为离心率e=£=坐，所以。=遮，庐=a?—=3—2=1,

a3

2

所以椭圆C的方程为多+y2”

(2)解：当直线PF垂直于x轴时，|MN|=竽清百(舍).

当直线PF不垂直于x轴时，设直线PF的方程为y=k(x-V2),

(y=k(x—V2)，

由｛r2整理得(1+3左2)%2一6企々2%+6攵2-3=0,

(3+/=1，

设M(%i，%),N(%2，丫2)，由题意A>0恒成立,

6m-3

所以%1+冷=)翅％

1+3公2=1+3/'

2

利用弦长公式知|MN|=V14-k\x1—x2\=+k2a—%+%)2-4/％2

jx琮=E^^3解得.L

所以直线PF的方程为y=±(x-V2).

因为A,B为椭圆C在y轴上的两个顶点，不妨设4(0,1),B(0,-1),

因为方■前=0，设P(m,n),

所以(m,n—1)■(m,n+1)=0)即

即点P在以原点为圆心，半径为1的圆上

,\42\限|,

因为原点到直线PF的距离d="7=5=々=1，

y/l+k2J7l+.(±1)

所以直线P尸与圆Hi?+n2-1相切，

所以NOPF=90°.

【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质即可求出焦点的坐标以及c的取值，然后由离心率公

式以及椭圆里a、b、c的关系，计算出a的值由此即可得出椭圆的方程。

(2)根据题意对斜率分情况讨论，然后由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等

到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，再把结果

代入到弦长公式，整理化简计算出k的取值，由此即可得出直线的方程，再由向量的坐标公式以及

点到直线的距离公式结合直线与圆的位置关系，把点的坐标代入计算出结果即可。

20.【答案】(1)解：/(久)=(一产2+尸1)［丝)，=+2_(2与5+2=

(ex)e

(ax-l)(x-2)

，

因为外0)=2,/(0)=-1,

所以曲线y=/(x)在点(0,一1)处的切线方程为y=2%-1.

(2)解：由(1)知：/(%)=(取-%-2),(X€R),

因为a>0,令/(久)=0,所以*=，或%=2,

当0<a<凯寸，1>2,

则x,/(x),/(%)的变化情况如下表：

(—8,2)2111

X口五)a(五，+8)

/(X)+0—0+

/(X)7极大值极小值7

当。=加，1=2,则/(久)20恒成立，f(x)在R内恒增；

当a>；时，0<]<2，则x,/(%),/(%)的变化情况如下表:

111

X2(2,+8)

(-8,-)a(屋2)

/(X)+0—0+

/(X)7极大值极小值7

综上，当0<a<：时，单调递增区间是(一8,2)和。，+00),单调递减区间是(2,3；

当a=*时，单调递增区间是r-oo,+8),无单调递减区间；

当a>；时，单调递增区间是(—8,》和(2,+8),单调递减是《，2).

(3)证明：当aS—1时，令/(x)=0,得4=;或x=2,易知：e[_L。)，

则x,/(%),/(%)的变化情况如下表：

111

X2(2,4-oo)

(-8,-)a(屋2)

/(X)—0+0—

/㈤极小值7极大值

111_1

所以当久=-时，/(%)取得极小值f(»)=—T=-。。，

aea

111i

由于aW—1,则万e[—L0).--e(0,1]，e~aG(1,e]'—e~ae[-e,1)，

所以由极小值定义及/(x)的单调性可知：当x<2时，/(%)>-e,

接下来，研究/(%)在久>2的变化情况，

因为e">0恒成立，设g(%)=—a/+%—1,(%>2/a<-1),

对称轴x=/<0，J=1-4a>0,抛物线开口向上，g⑵=l-4a>0,

所以由二次函数的性质可知：当x>2时，g(x)>g(2)>0恒成立，

所以/(%)>0在％>2时恒成立.

综上所述：当a<-1时，/(x)>-e.

【解析】【分析】(1)根据题意首先对函数求导，再把点的坐标代入到导函数的解析式，计算出直线的

斜率，结合点斜式求出切线的方程即可。

(2)由(1)的结论，结合题意即可得出导函数的正负，结合极值的定义即可得出函数的单调性以及单调

区间。

(3)根据题意对a分情况讨论，由此即可得出导函数的正负，由导函数的性质即可得出函数的单调

性，由函数的单调性结合极值的定义即可得出函数的单调性，然后由二次函数的图象和性质即可得

出使不等式成立的a的取值范围。

21.【答案】⑴解:数列｛4｝是“趋势递减数列”.

由通项公式知：公差为-2,故｛。工是单调递减数列，

...”=max｛a2k-i，a2k｝=a2k^,且"+i<"，故数列5｝是“趋势递减数列

数列｛%｝是“趋势递减数列”•

由2k—1为奇数，2k为偶数，则b2k>0>bzk-i，

：.<pk=max[b2k-i>b2k]=b2k,且畋+i<”,故数列｛%｝是“趋势递减数列

(2)解：当q>l时,数列｛%｝为单调递增数列，此时max©1,c2k｝=c2k，且c2k+2>c2k不满足

题意；

当q=l时，数列｛0｝为常数列，不满足题意；

当0<q<l时，数列｛cn｝为单调递减数列，此时max｛c2k-l,c2k｝=c2k-l,且c2k+l<c2kT,满足题

忌；

当一IvqvO时,此时max｛c2kT,c2k｝=c2k,且c2k+2<c2k,满足题意；

当q<-l时，此时max｛c2k-l,c2k｝=c2k,且c2k+2>c2k,不满足题意；

综上，q的取值范围为(T,0汇(0,1).

(3)解：先证必要性：

假设存在正整数m(mN3)使得dm=|dm-1-dm-21=0,令dm-l=dm-2=a.

因为dl,d2为正实数，且dn+2=|dn+l-dn|,

.,.dn>0,故吟0,则数列{dn}从dn-2开始以后的各项为a,a,0,a,a,0口,

当2kTNm-2时,max{d2k-l,d2k}=a,max{d2k+l,d2k+2}=a与{dn}为“趋势递减数列”矛盾,故假

设不成立，{dn}的项中没有0.

再证明充分性：

dn+2=|dn+l-dn|得：dn+2<max{dn+l,dn},

由{dn}的项中没有0,故对于任意正整数n,dn/0,

二d2k+3知，即d2k+1Rd2k+2.

当d2k+l>d2k+2时，max{d2k+l,d2k+2}=d2k+l<max{d2k-l,d2k},

当d2k+l<d2k+2时，max{d2k+l,d2k+2}=d2k+2<max{d2kT,d2k},

；.{dn}为“趋势递减数列”.

综上：{dn}为“趋势递减数列”的充要条件为{dn}的项中没有0.

【解析】【分析】(1)根据题意由等差数列的通项公式即可得出数列{&J的单调性，结合已知条件对n

分情况讨论，由此即可得出数列{%}的单调性，从而即可得证出结论。

(2)由已知条件对q分情况讨论，结合数列的单调性，即可得出数列项之间的关系，结合等比数列的

通项公式即可得出q的取值范围。

(3)利用假设法结合等差数列的通项公式以及定义，由已知条件即可得出dn+2<max{dn+i，dn},然

后对k分情况讨论，结合题意即可得出数列{d3的单调性，再结合充分和必要条件的定义即可即可

得证出结论。

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：101分

客观题（占比）20.0(19.8%)

分值分布

主观题（占比）81.0(80.2%)

客观题（占比）10(47.6%)

题量分布

主观题（占比）11(52.4%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题5(23.8%)6.0(5.9%)

解答题6(28.6%)75.0(74.3%)

单选题10(47.6%)20.0(19.8%)

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(42.9%)

2容易(52.4%)

3困难(4.8%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1直线与平面垂直的性质2.0(2.0%)10

2频率分布直方图2.0(2.0%)6

3椭圆的简单性质10.0(9.9%)19

4复数代数形式的混合运算2.0(2.0%)2

5等比数列的通项公式2.0(2.0%)9

6等差数列的通项公式2.0(2.0%)5

7直线与圆锥曲线的综合问题10.0(9.9%)19

8函数奇偶性的判断2.0(2.0%)3

9排列、组合及简单计数问题2.0(2.0%)4

10两角和与差的正弦公式3.0(3.0%)8,13

11双曲线的简单性质2.0(2.0%)15

12正弦定理2.0(2.0%)8

13利用导数研究曲线上某点切线方程15.0(14.9%)20

14点到直线的距离公式13.0(12.9%)10,14,19

15判断（数列）的变化趋势15.0(14