新人教版第十五章分式教案

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第十五章分式

教材分析

本章的主要内容包括：分式的概念，分式的基本性质，分式的约分

与通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数嘉的概念及运算性

质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。

全章共包括三节：

16.1分式

16.2分式的运算

16.3分式方程

其中，16.1节引进分式的概念，讨论分式的基本性质及约分、

通分等分式变形，是全章的理论基础部分。11.2节讨论分式的四

则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是

本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌

握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制

从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利。1L3节讨论分式

方程的概念，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程

中要应用分式的基本性质，并且出现了必须检验（验根）的环节，

这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方

程，是本章教学中的另一个难点，克服它的关键是提高分析问题中

数量关系的能力。

分式是不同于整式的另一类有理式，是代数式中重要的基本概

念；相应地，分式方程是一类有理方程，解分式方程的过程比解整

式方程更复杂些。然而，分式或分式方程更适合作为某些类型的问

题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。

借助对分数的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，

这在本章学习中经常使用。解分式方程时，化归思想很有用，分式

方程一般要先化为整式方程再求解，并且要注意检验是必不可少的

步骤。

（-）本章知识结构框图

（三）课程学习目标

本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点：

1.以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念,

体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。

2.类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约

分和通分法则。

3.类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些

法则。

4.结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整

数，构建和发展相互联系的知识体系。

5.结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分

式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想。

（四）课时安排

本章教学时间约需13课时，具体分配如下：

16.1分式2课时

16.2分式的运算6课时

16.3分式方程3课时

数学活动小结3课时

15・1・1分式（1）

一、教学目标

1、使学生了解分式的概念，明确分式中分母不能为0是分式成立的

条件。

2、使学生能求出分式有意义的条件。

3、通过对分式的学习，培养学生严谨的学习态度，培养学生数学建

模的思想。

二、教学重点、难点

重点：理解《式的概念，明确分式成立的条件。

难点：明确分式有意义的条件。

三、教学方法：分组讨论

四、教学过程

问题情境1、在小学人们学习了分数，那么5-3可以写成什么？

2、根据上面的问题，填空：

（1）长方形的面积为lOcnA长为7cm,宽cm;长方形的面积

为S,长为a,宽应为。

（2）把体积为200cm的水倒入底面积为33cn?的圆柱形容器中，水

面高度为—cm;把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，

水面高度为。

新课：请同学们根据问题1的回答，回答出第2题的问题。教师与

学生一起及时纠正学生出现的错误。

10年_200v

学生回答，教师写出答案：（1）〒，占。⑵"33",7o

新课：下面请同学们看一下这四个式了，看它们有什么相同点和不

同点？

10200

学生根据自己的观察，说出了、万是分数，是整式。而另

两个式子，看他们有什么特点，请同学们自己总结一下，学生说出分

母中有字母。

请大家归纳一下这个式子是什么式子,有什么特点？学生回答分母中

含有字母。

学生归纳：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，

A

那么式子万叫分式。

引导学生回答出，（1）分式与分数一样，A叫分子，B叫分母。那么

小学学习过的分数中的分母有什么限制，（分母不能为零。）分式中

对分母的要求也是分母不能为零。对于分式分母为零时分式才有意

义。

(2)分母中含有字母。

请同学们再举出一些分式的例子。

例1填空：

2x

(1)当x时，分式3x有意义。(2)当x时，分式x-1有

意义。

1

(3)当b一一时，分式至布有意义。

x+y

(4)当x、y满足关系时，分式才少有意义。

2

解：(1)当分母3xw0时，xw0时，分式3x有意义。

(2)当分母xTn0时，x#1时，分式x-1有意义。

2]

(3)当分母5-36*0时，bW行时，分式5-3力有意义。

x+y

⑷当分母x-y#0时，X#y时，分式x-y有意义。

教师与学生共同讨论完成。学生说出解题过程，教师板书。

学生归纳总结：(1)分式有意义，分母不能为0。这是分式有意义

的前提。

(2)注意解题格式，分式有意义与分子无关。

(3)请同学们总结一下分式什么条件下没有意义？

五、课堂练习：

教师巡视，指出学生练习中的错误。

六、小结：请同学们总结下本节课里你有哪些收获？

学生说出结论，教师补充。

七、作业：

八、教学反思.

这二课学生%"么是分式掌握较好，能区分整式与分式，对保证分

式有意义需满足什么条件能很好地指出来。

15・1・2分式的基本性质⑴

一、教学目标

1、使学生理解分式的基本性质。

2、使学生运用分式的基本性质对分式进行恒等变形。

3、通过对分式的基本性质的学习培养学生抽象概括的能力。

二、教学重点、难点

重点：理解分式的基本性质。

难点：分式基本性质的运用。

三、教学方法：启发式教学

四、教学过程

复习提问：1、什么叫分式？

2、小学学习的分数的基本性质是什么？举例说明。

引言：我们小学学习了分数的基本性质，今天我们为学习分式的基

本性质。

新课：根据分数的基本性质，分式可仿照分数的性质

act,c«a

b=b-c\b=(CW0)。

请同学们根据上面的式子和以前学过的分数的基本性质，总结出分

式的基本性质是什么？学生回答出来，教师及学生补充完整。

分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值

不变。

aacaa+c

b=b-c;b=b+c(CwO)

注意：分式的基本性质的条件是乘(除以)一个不等于0的整式。

指出分式的性质与分数的性质的不同，乘以(除以)一个不等于0

的整式。分数是乘以(除以)一个不等于0的数。

例1填空：

a+b()()

(1)ab=a2b;a2=a2bo

x2+xyx+/x()

(2)x2=();x2-2x=x-2o

分析：引导学生根据分式的基本性质，来对分式进行化简。(1)是

乘以一个整式ab,注意是分子和分母都乘以这个整式。(2)是分子

和分母都乘以b,分式的值不变。(3)是分子x?+xy=x(x+y),对照分

子，可以看出分子和分母都除以x,分式的值不变，所以X。(4)把

分母分解因式X?-2x=x(x-2),对照分母，可以看出分子、分母都除以

X,分式的值不变，所以填1。

解：略。

五、课堂练习：教师巡视，与学生一起来完成练习。及时纠正练习

中的错误

六、本结;请同学们总结下本节课里你有哪些收获？

分式的基本性质成立的条件是都乘以或除以一个不等于0的

整式。

七、作业：

八、教学反思：

这一课学生能用类比的方法很快从分数的基本性质得到分式的基本

性质。但在实际运用中还有些同学对用字母表示的式子不习惯。

15•1•2分式的基本性质(2)

一、教学目标

1、使学生在理解分式的基本性质的基础上对分式进行通分和约分。

2、通过对分式的化简来提高学生的运算能力。

3、通过对分式化简的学习，渗透类比转化的数学思想。

二、教学重点、难点

重点：分式的通分和约分。

难点：灵活运用分式基本性质进行分式的通分和约分。

三、教学方法：启发式教学

四、教学过程

复习提问：1、分式的基本性质是什么？

2、小学学习的分数的约分和通分的意义是什么？

1111

把万与T通分，把18约分。

3、写出乘法公式的平方差公式和完全平方公式。

学生回答问题，教师及时指出学生出现的错误。

引言：我们上节学习了分数的基本性质，今天我们来学习分式基本

性质的运用。

新课：根据分数的基本性质，我们可看可以对分数进行通分和约分,

怎样对分数进行约分和通分在练习中已经复习过了，下面我们利用

分式的基本性质来对分式进行通分和约分。看下面的例题。

-25a2bc3-2・9

例1约分：(1)15—2c;(2)x2+6x+9

分析：(1)-25a2bc’与15ab2c的公因式为5abc,与因式分解的公因

式的确定一样。

(2)分子x?-9=(x+子(x-3);分母x?+6x+9=(x+3)；这样分子与分母

的公因式就确定了，可以进行约分了。由例题知约分最关键的是把

公因式约去，所以公因式的确定是主要的，多项式则先分解因式，

然后约分。

解：略。

例2通分：

3a-b2x3x

(1)2a2b与able;(2)。与7+5o

分析：

引导学生归纳出分式通分的过程和依据。

(1)先确定分母2a2b与ab2c的最简公分母是2a2b2口然后乘以一

个适当的整式。(2)最简分母是(x+5)(x-5).(3)解题时分子与分母

同乘以或除以同一个整式。约分的关键是最简公分母的确定，对单

项式来说，系数是最小公倍数，相同字母取指数最高次累；对多项

式来说，先分解因式，然后取相同项的最高次基。

五、课堂练习：教师巡视，学生练习。

六、小结：通过对分式的通分和约分的学习你有哪些收获？

在解题时应注意哪些问题？

七、作业：

八、教学反思：

这一课学生对通分和约分的基本步骤掌握的比较好，但约分的时候

也有忘了遇到多项式要进行因式分解的，通分的时候找最简公分母

找不准的。

15・2分式的运算⑴

分式的乘除法

一、教学目标

1、使学生在理解分式的乘除法法则，并用法则进行运算.

2、通过对分式的乘除法的学习，在四、教学过程中体现类比的转化

思想。

二、教学重点、难点

重点：分式的乘除法运算。

难点：分子与分母是多项式时的分式的乘除法。

三、教学方法：启发式教学

四、教学过程

2_15_

复习提问：1、分数的乘除法的法则是什么？计算：5X71;

2、什么是倒数？

学生计算并回答问题，教师及时纠正出现的错误。

引言：我们在小学学习了分数的乘除法，对于分式如何来进行计算

呢？这就是我们这节要学习的内容。

新课：学生阅读教材13页引例。

3V5_3x152122_2_

由（1）分数的计算得：5x诵=5x12;5+/-=?xI?

3x2

=5x15

根据上面的计算，请同学们总结一下对分式的乘除法的法则是什

么？学生说出自己的想法，师生共同总结分式的乘除法的法则。

分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，用分

母的积作积的分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置

后，与被除式相乘。

ac以♦一acadad

b-d=b-d;b-rd=b''c=beo

例1计算：

4xyab3-5a2b2

(1)3y.2x3(2)2c2・Acd

分析：这两题就是分式乘除法的运用。由学生根据法则来进行计算,

教师与学生把解题过程补充完整。

解：略

例2计算：

«2-4—+4«-11]

(1)以2-2a+la2-4(2)49-活2+m2-7m

分析：这两题是分子与分母是多项式的情况，首先要因式分解，然

后运用法则。

-2)2____a+2

解：(1)原式=解-1)2(a+2)(a-2)=解+l)(a+2)

]]

(2)原式=-rm(m-l)

=(7-w)(7-1=一加+7

例3:“丰收1号”小麦试验田边长为a米的正方形减去一个边长为

1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田边长

为(a-1)米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克。

(1)哪种小麦的单位面积产量高？

(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

分析：本题的实质是分式的乘除法的运用。

解：(1)(略)

500500500(a-l)2a+\

(2)(a-l)2+(a2-l)=(a-l)2500=TT

“丰收2号”小麦单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量

一+1

的《-1倍。

五、课堂练习：教师巡视，学生练习。教师及时纠正练习中的错误。

指明错误的原因。

六、小结：通过对分式的乘除法的学习在解题时应注意哪些问题？

七、作业：

八、教学反思：

这一课乘法法则与除法法则学生都掌握得很好，但有些学生遇到分

子、分母是多项式时没有去因式分解。

15•2•1分式的运算⑵

分式的乘方

一、教学目标

1、使学生在理解和掌握分式的乘除法法则的基础上，运用法则进行

分式的乘除法混合运算。

2、使学生理解并掌握分式乘方的运算性质，能运用分式的这一性质

进行运算。

二、教学重点、难点

重点：分式的乘除混合运算和分式的乘方。

难点：对乘方运算性质的理解和运用。

三、教学方法：启发式教学

四、教学过程

复习提问：1、叙述分式的乘除法法则。

2、小学学习的乘除法运算法则是什么？

3、计算：<)2=-----,(~)3=------,(-)----,(:)

DDDD

引言：我们在上节学习了分式的乘除法，对于分式乘除混合运算如

何来进行计算呢？对于整式的乘方我们学习过，对分式来说如何计

算呢？这就是我们这节要学习的内容。

新课：由复习提问3知：弓)2=rr=u|,

bbbbz

(:,根据以上计算可以直接说出下面两题的结果•

bbobbJ

\'飞10，%7-bn°

请同学们根据复习提问3总结出分式乘方的法则是什么，教师

根据学生的回答归纳总结出法则。

分式乘方，把分子、分母分别乘方。

(-)n=—

bbn0

例1计算:

/、2x3x

(1)----+-----------

''5x-325x2-95x+3

解：

w42x(5x+3)(5x-3)X

原式'3'5x^3

2x2

分式的乘除法混合运算就是分子、分母先分解因式，然后把公因式

约去。注意运算顺序。

例2计算：

分析：（1）题是分式乘方的运用，可直接运用公式。（2）运算顺序是

先乘方，然后是乘除。要注意运算时的符号。

解：

4a4b2

(1)原式=

9c2

a6b3d3c2

(2)原式=

c3d92a4a2

a3b3

8cd6

注意在解题时正确地利用累的乘方及符号。

五、课堂练习：教师巡视，学生练习。及时更正练习中出现的问题。

六、小结：主要内容是分式的乘除混合运算和分式的乘方运算。

七、作业：

八、教学反思：

这一课学生在解决乘方的问题上还比较顺手，就是在符号问题上有

些要弄错。

15•2•2分式的加减⑴

、教学目标

1、使学生在理解分式的加减法法则，并用法则进行运算。

2、通过对分式的加减法的学习，提高学生的计算能力。

二、教学重点、难点

重点：分式的加减法运算。

难点：异分母分式的加减法运算。

三、教学方法：启发式教学

四、教学过程

复习提问：1、分数的加减法的法则是什么？

、312121111

“畀•55'55’23'23°

2、分式的乘方性质是什么？用式子表示出来。

学生计算并回答问题，教师及时纠正出现的错误。

引言：我们在小学学习了分数的加减法，对于分式的加减如何来进

行计算呢？这就是我们这节课要学习的内容。

新课：学生阅读教材18页引例，并写出式子来表示。

由复习提问1是根据分数加减法而得到的，与分数减法性质

相同，分式也可以进行加减法运算，请同学们类比分数的加减法则，

总结一下分式的加减法法则是什么？学生根据自己的理解说出分式

加减法法则，最后教师把答案加以总结。

分式加减法法则：

同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。

异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减。

aba+bacadbead+bc

c+cc，b+dbd+bdbd

例1计算：

5x+3y_2x]1

1x2-y2x2-y2）2p+3q+2p-3q

分析：这两题就是分式加减法的运用。（1）是同分母分式的加减法,

直接用法则就可以了。（2）是异分母分式的加减法，过程是先通分,

通分的依据是分式的基本性质，化为同分母分式，然后再加减。师

生共同来解两个题。教师写出解题过程。

3

解：⑴原式=等m=葭=焉荒x+y

1(2p-3q)1(2p+3q)

⑵原式=(2p+3q)(2p-3q)+(2p+3q)(2p-3q)

2p-3q+2p+3q

(2p+3q)(2p-3q)

_4P

♦2p+3q)(2p-3q)

4p

-4p2-9q2°

教师在解题时强调分式计算的结果必须化为最简分式。可以向学生

简单介绍最简分式的有关知识，可与最简分数相类比。

五、课堂练习：教师巡视，学生练习。

六、小结：通过对分式的加减法的学习你有哪些收获？

七、作业：

八、教学反思：

这一课学生在同分母分式相加减显得很轻松，但在异分母分式相加

减通分的时候还是容易出错。

15•2•2分式的加减(2)

一、教学目标

1、使学生在掌握分式的加减法法则的基础上，用法则进行分式的混

合运算。

2、通过对分式的加减法的进一步学习，提高学生的计算能力和分式

的应用能力。

3、在分式运算过程中培养学生具有一定代数化归的能力，培养学生

乐于探究、合作交流的习惯，进一步培养学生“用数学的意识”。

二、教学重点、难点

重点：分式的加减法混合运算。

难点：正确熟练进行分式的运算。

三、教学方法：启发式教学

四、教学过程

复习提问：1、分式的加减法的法则是什么？

2、有理数的混合运算法则是什么？

学生回答问题，教师及时纠正出现的错误。

引言：我们在上节学习了分式的加减法，这就是我们学习分式混合

运算。

新课：

在实际生活中我们会经常用到电，在电路中的并联和串联，对于

并联电路总电阻与各分电阻之间有什么关系呢？学生回答。在下面

的问题就是一个与生活密切相关的实际问题。

例1、如图的电路中，已测定CAD支路的电阻R1欧姆，又各CBD支

路的电阻R2比R1大50欧姆，根据电学定律可知总电阻R与R1、

R2满足关系式：+白试用含R1的式子表示总电阻R。

KK1KZ

分析：学生已经学习了电学，可知关系式了;/+—+•・♦+]■。

KK1KZK11

“E,11111

所.」力.RR]R2R[R]+50

Rl+50RI2R1+50

=+=

RI(Rl+50)RI(Rl+50)RI(R1+50)

“12R1+50

小RRI(R1+50)

~,RI(Rl+50)R12+50R1

所以R=---------=---------

2R1+502R1+50°

教师在解题时引导学生把R1看作是已知数，分清已知和未知是主要

的。

,、、生，2a、，1ab

例;2、计算：(―)•——--

ba-bb4

解：（略）

分式的混合运算与有理数的运算顺序相同，先乘方，然后乘除，最

后加减。

五、课堂练习：学生练习，教师巡视。教师及时更正学生练习中出

现的错误并找出出现错误的原因。

六、小结：通过对分式的混合运算的学习你觉得在本节中最大的收

获是什么？

七、作业•八、教学反思,

这一课学生对数与式有相同的混合运算顺序掌握得较好，但有个别

不够细心。

15.2.3整数指数嘉（1）

一、教学目标

1、经历探索负整数指数嘉和零指数是的运算性质的过程，进一步体

会嘉的意义，发展代数推理能力和有条理的表达能力。

2、了解负整数指数的概念，了解易运算的法则可以推广到整指数累。

3、会进行简单的整数范围内的嘉运算。

二、教学重点

负整数指数嘉的概念

三、教学难点

认识负整数指数腰的产生过程及易运算法则的扩展过程。

四、教学过程

温故知新

你还记得下面这些算式的算式的算法吗？比一比，看一看谁做得又

（1）错误！不能通过编辑域代码创建对象。（2）错误！不能通

过编辑域代码创建对象。（3）错误！不能通过编辑域代码创建对象。

（4）错误！不能通过编辑域代码创建对象。（5）错误！不能通过编

辑域代码创建对象。（6）错误！不能通过编辑域代码创建对象。（7）

错误！不能通过编辑域代码创建对象。

2、你还记得错误!不能通过编辑域代码创建对象。是怎么得到的吗？

探究新知

根据除法的意义填空，看看计算结果有什么规律？

（1）错误！不能通过编辑域代码创建对象。（2）错误！不能通

过编辑域代码创建对象。（3）错误！不能通过编辑域代码创建对象。

如果我们要使运算性质错误！不能通过编辑域代码创建对象。在这

里（错误！不能通过编辑域代码创建对象。）也可以适用，你认为该

作怎样的规定呢？

教师可以鼓励学生先运用自己的语言进行描述，然后自学课本第P23

页。要指出有了这一新规定后，错误！不能通过编辑域代码创建对

象。的适用范围就扩大到所有整数指数。

应用新知

课本第25页练习第1题。

对第（2）小题的计算要求学生看明底数，并写出中间的转化过程，

教师可示范。

再探新知

现在我们考虑：在引入负整数指数和零指数后，错误！不能通过编

辑域代码创建对象。（m、n是正整数）这条性质能否扩大到m、n是

整数的情形？请完成下列填空：

错误！不能通过编辑域代码创建对象。

即错误！不能通过编辑域代码创建对象。

错误！不能通过编辑域代码创建对象。

即错误！不能通过编辑域代码创建对象。

错误！不能通过编辑域代码创建对象。

即错误！不能通过编辑域代码创建对象。

从中你想到了什么？

举例：再换其他整数指数验证这个规律。

归纳：错误！不能通过编辑域代码创建对象。这条性质对叭n是任

意整数的情形都适用。

继续举例探究：错误！不能通过编辑域代码创建对象。在整数指数

事范围内是否适用。

第4环节由学生在小组内合作完成，并抽取其中一个小组板演。

补充例题

计算：

（1）错误！不能通过编辑域代码创建对象。（2）错误！不能通

过编辑域代码创建对象。（3）错误！不能通过编辑域代码

创建对象。

（4）错误！不能通过编辑域代码创建对象。（5）错误！不能

通过编辑域代码创建对象。（6）错误！不能通过编辑域代码创

建对象。

六、小结：你这节学会了什么？

七、教学反思：

这一课学生对负整数指数嘉有点不习惯，需再继续不断的强调，以

加深学生的印象。

15.2.3整数指数嘉（2）

一、教学目标

1.知识与技能：理解负指数暴的性质，正确熟练地运用负指数基公

式进行计算，会用科学记数法表示绝对值较小的数.

2.过程与方法：通过腰指数扩展到全体整数，培养学生抽象的数学

思维能力，运用公式进行计算，培养学生综合解题的能力和计算能

力.

3.情感、态度与价值观：在数学公式中渗透公式的简洁美、和谐美,

随着学习的知识范围的扩展，产生对新知识的渴望与追求的积极情

感，让学生形成辩证统一的哲学观和世界观.

教学重点难点

重点：理解和应用负整数指数嘉的性质，用科学记数法表示绝对值

较小的数.

难点：负整数指数鲁公式中字母的取值范围，用科学记数法表示绝

对值较小的数时，ax10-形式中n的取值与小数中零的关系.

（一）创设情境，导入新课

问题：一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？以前

学过大于10以上的数的科学记数法，那么现在较小的数纳米直径也

能用科学记数法来表示吗？

做一做：（1）用科学记数法表示745000=7.45x105,2930000=

2.93x106.

（2）绝对值大于10的数用axl（T表示时，1<|a|<

10,n为整数.

(3)零指数与负整数指数嘉公式是a°=l(a#0),a-n=l/an

(a力0).

(二)合作交流，解读探究

明确：

(1)我们曾用科学记数法表示绝对值大于10的数，表示成a

x10"的形式，其中14|a|<10,11为正整数.

(2)类似地用10的负整数次薛，用科学记数法表示一些绝对

值较小的数，将它们表示成ax形式，其中l4|a|<10.

(3)我们知道1纳米=错误！不能通过编辑域代码创建对象。

米，由错误！不能通过编辑域代码创建对象。=10"可知，1纳米=10"

米，所以35纳米=35x107米.

而35x10-9=(3.5x10)x10"

=3.5x10-8

所以这个纳米粒子的直径为3.5x10-8米.

试一试把下列各数用科学记数法表示

(1)100000=1x105(2)0.00001=1x10-5

(3)-112000=-1.12x105(4)-0.00000112=

-1.12x10-6

议一议

(1)当绝对值大于10的数用科学记数法表示ax10。形式时，1

<Ia|<10,n的取值与整数位数有什么关系？

(2)当绝对值较小的数用科学记数法表示中，a、n有什么特点

呢？

明确：绝对值较小的数的科学记数法表示形式ax1(T中，n是

正整数，a的取值一样为|a|<10,但n的取值为小数中第一

个不为零的数字前面所有的零的个数.比如：0.00005=5x1()7(前

面5个0);0.0000072=7.2x10-6(前面6个0).

(三)应用迁移，巩固提高

例1用科学记数法表示下列各数

(1)0.001=1xlot(2)-0.000001=-1X10-3.

(3)0.001357=1.357x10t(4)-0.000034=-3.4

x10?

例2用科学记数法填空

(1)1秒是1微秒的1000000倍,则1微秒=1X10-6秒；

(2)1毫克=1xKT千克；

(3)1微米=ixi(r米；

(4)1纳米=1X10-4微米;

(5)1平方厘米=1X10"平方米;

(6)1毫升=lxi(f6立方米.

例3用科学记数法表示下列结果：

(1)地球上陆地的面积为149000000km2,用科学记数法

表示为-----；

(2)一本200页的书的厚度约为1.8cm,用科学记数法表

示每一页纸的厚度约等于------cm.

【分析】用科学记数法表示数关键是确定ax中的两个数值a

和n,第(2)题要先计算，再用科学记数法表示计算结果.

解：(1)149000000=1.49义108

即地球上陆地的面积约为1.49x108km2.

(2)因为1.8+200=0.009=9x10'3.

所以每一页纸的厚度约为9x10-3cm.

明确：用科学记数法表示数A,首先要考虑|A|的情况，再来确定

n的值.而axlOn中的a的绝对值是只含有一位整数的数.顺便

指出：用axlOn表示的数，其有效数字由a来确定，其精确度由

原数来确定.如3.06x10,的有效数字为3、0、6,精确到千位；而

3.06x10-的有效数字为3、0、6,精确到万分位.

(四)小结

引入零指数嘉和负整数指数暴后，嘉的范围从正整数指数嘉推

广到整数指数累，暴的运算法则同样适用于科学记数法有关计算，

最后结果一般用科学记数法表示.

(五)课堂跟踪反馈

2.习题15.2

(六)教学反思：

这一课学生对用科学记数法记较小的数兴趣很浓烈，掌握得都比较

好。

15.3分式方程

一、教学目标

1.使学生理解分式方程的意义.

2.使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法.

3.了解解分式方程解的检验方法.

4.在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础

上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使

学生熟练掌握解分式方程的技巧.

5.通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是

把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗

透数学的转化思想.

二、教学重点和难点

1.教学重点：（1）可化为一元一次方程的分式方程的解法.

⑵分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想.

2.教学难点：检验分式方程解的原因

3.疑点及分析和解决办法：解分式方程的基本思想是将分式方程转

化为整式方程（转化思想），基本方法是去分母（方程左右两边同乘最

简公分母），而正是这一步有可能使方程产生增根.让学生在学习中

讨论从而理解、掌握.

三、教学方法：启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解

决问题，掌握分式方程解法.

四、教学手段：演示法和同学练习相结合，以练习为主.

五、教学过程

第一课时

（一）复习及引入新课

1.提问：什么叫方程？什么叫方程的解？

答：含有未知数的等式叫做方程.

使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解.

（二）新课

板书课题：分式方程的定义.

分母里含有未知数的方程叫分式方程.以前学过的方程都是整式方

程.

练习：判断下列各式哪个是分式方程.

在同学讨论的基础上分析：由于我们比较熟悉整式方程的解法，所

以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母.

（三）应用

一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航

速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所

用时间相等，江水的流速为多少？

分析:设江水的流速为v千米/时,则轮船顺流航行的速度为（20

+v）千米/时，逆流航行的速度为（20-v）千米/时，顺流航行100

千米所用的时间为黑小时，逆流航行60千米所用的时间为晶小

时。

10060

可列方程20+v=20~

方程两边同乘（20+V）（20-V）,得

100（20-V）=60（20+V）

解得V=5

检验：将V=5代入方程，左边=右边，所以v=5为方程的解。

所以水流速度为5千米/时。

（四）总结

解分式方程的一般步骤：

1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程.

2.解这个方程.

3.把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零；使最简

公分母为零的根不是原方程的解，必须舍去.

（五）教学反思：

这一课学生对解决分式方程的步骤都比较熟练，但常有学生忘记

检验。

第二课时

一、教学目标：

1、使学生更加深入理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化

为一元一次方程的分式方程.

2、使学生检验解的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的

方法

二、重点难点，

1.7篇》式方程必须验根的原因；

2.培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力。

三、教学过程：

（一）.复习引入

解方程：

思考：上面两个分式方程中，为什么⑴去分母后所得整式方程

的解就是（1）的解，而（2）去分母后所得整式的解却不是（2）的

解呢？

学生活动：小组讨论后总结

（二）.总结

（1）为什么要检验根？

在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知

数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或

根）。对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的

值均不为零，但变形后得到的整式方程则没有这个要求.如果所得整

式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零,

也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为零，

它就不适合原方程，则不是原方程的解。

（2）验根的方法

一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使

原方程中分母为0,因此应如下检验：

将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,

则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程

的解。

（三）・应用

2_3.

例1解方程A3—x

解：方程两边同乘x（x-3）,得

2x=3x-9

解得x=9

检验：x=9时x（x-3）*0,9是原分式方程的解。

._1_3

例2解方程xT-（1）（x+2）

解：方程两边同乘(x-l)(x+2),得

x(x+2)-(x-l)(x+2)=3

化简，得x+2=3

解得x=1

检验：x=1时(x-1)(x+2)=0,1不是原分式方程的解,

原分式方程无解。

四.随堂练习

课本P35

五.课时小结：解分式方程的一般步骤。

六.教学反思：

这一课学生对分式方程都解决得较好，能完整地把检验过程写

出来。

第三课时

一、教学过程

(一)复习提问

1.解分式方程的步骤⑴能化简的先化简；(2)方程两边同乘以

最简公分母，化分式方程为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根.

2.列方程应用题的步骤是什么？

(1)审；(2)设；(3)列；⑷解；⑸答.

3.由学生讨论，我们现在所学过的应用题有几种类型？每种类

型题的基本公式是什么？

在学生讨论的基础上，教师归纳总结基本上有五种：

(1)行程问题：基本公式：路程=速度x时间

而行程问题中又分相遇问题、追及问题.

(2)数字问题

在数字问题中要掌握十进制数的表示法.

(3)工程问题

基本公式：工作量=工时x工效.

(4)顺水逆水问题

V顺水=V静水+V水.

V逆水=V静水-V水.

（二）新课

例3.两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个

月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半

个月，总工程全部完成。哪个队的施工速度快？

分析：甲队一个月完成总工程的学，设乙队如果单独施工1

个月能完成总工程的x，那么甲队半个月完成总工程的丁，乙队

半个月完成总工程的2x,两队半个月完成总工程的6+2x。

11_1.

等量关系为：甲、乙两个工程总量=总工程量，则有3+不+2》

=1

（教师板书解答、检验过程）

例4：从2004年5月起某列列车平均提速v千米/时，用相同

的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，

提速前列车的平均速度是多少？

分析：这里的字母v,s表示已知数据，设提速前的平均速度为

,V

X千米/时，则提速前列车行驶s千米所用的时间为7小时，提速

后列车的平均速度为（X+V）千米/时，提速后列车行驶（s+50）

$+5（）

千米所用的时间为x+v小时。

等量关系：提速前行驶50千米所用的时间=提速后行驶（s+

50）千米所用的时间

ss+50

列方程得：7=x+u

（教师板书解答、检验过程）

（三）、课堂练习：

（四）、小结

对于列方程解应用题，一定要善于把生活语言转化为数学语言，

从中找出等量关系.对于我们常见的几种类型题，我们要熟悉它们的

基本关系式.

（五）、教学反思：

这一课学生对用分式解决实际问题的思路比较清晰，能合理找出问

题中的相等关系。对用字母表示的已知数有点陌生。

现在，我把自己20多年来的班主任工作经验，总结如下，一并

赠送给您，希望能帮到您：

让每一个学生都有辉煌的明天

——我的治班方略

我很欣赏一句话，那就是“教师的工作是托起明天的太阳”。

是啊，我们今天的一切工作，不就是为了每一个学生都能拥有

一个辉煌的未来吗？那么，如何为孩子未来的发展打下良好的

基础？是值得每一位教师，尤其是班主任教师的深思。因为班

主任是学校具有特殊身份的教育者。作为班级的教育者和组织

者，在班集体的发展和学生的健康成长中起着十分重要的作用。

我从参加工作至今，二十多年来一直担任班主任工作，回

忆这些年带班所走过的每一步，品味着工作带给我的欣慰和快

乐，更加坚定了我做一名优秀班主任的信念和决心。经过多年

的实践探索和学习思考，我的治班理念已经逐渐明朗，那就是

“以情育人，用爱心点燃学生心灵的火花；活动育人，用丰富

多彩的活动促进学生全面发展”。

一位教育家曾经说过：“犹如