高考数学难点突破-难点21-15

难点21直线方程及其应用

直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分，本章的基本概念：基本公式：

直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容.应

达到熟练掌握、灵活运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，

高考中单纯的直线方程问题不难，但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的.

・难点磁场

(★★★★★)已知1,求证：abc+2>a+b+c.

・案例探究

［例1］某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约

经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，己知镜框对桌面的倾斜

角为。(90°WaV180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距am,bm,(a>b).

问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？

命题意图：本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角

知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力，

级题目.

知识依托：三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值.

错解分析：解决本题有几处至关重要，堤建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何

问题求解；二是把问题进一步转化成求tanACB的最大值.如果坐标系选择不当，或选择求

sinACB的最大值.都将使问题变得复杂起来.

技巧与方法：欲使看画的效果最佳，应使NAC8取最大值，欲求角的最值，又需求角

的一个三角函数值.

解：建立如图所示的直角坐标系,为镜框边,AB为画的宽度，

O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C(x,0)(x>0),欲使看

画的效果最佳，应使NACB取得最大值.

由三角函数的定义知：A、B两点坐标分别为3cosa,asin。)、

3cos。力sin。),于是直线AC.BC的斜率分别为：

,…asin

k-\anxCA----------,

ACacosa-x

bsintz

-tanxCB

bcosa-x

于是tanACB=ki>cFc=(。-匕sina=(a-匕)sina

i+k2

BC-kACab-(a+b)xCosa+x^+x_(a+b).cosa

X

(a-b)-sina，当且仅当a=x,

由于NACB为锐角，且x>0,则tanACBW即4

-(Q+6)cosaX

疝时，等号成立，此时/ACB取最大值，对应的点为C(而,0),因此，学生距离镜框下

缘疝cm处时，视角最大，即看画效果最佳.

［例2］预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽

可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的L5倍，问桌、椅各买多少才行？

命题意图：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用，本题

主要考查找出约束条件与目标函数、准确地描画可行域，再利用图形直观求得满足题设的最

优解，属★★★★★级题目.

知识依托：约束条件，目标函数，可行域，最优解.

错解分析：解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件，若从图形

直观上得出的最优解不满足题设时，应作出相应地调整，直至满足题设.

技巧与方法：先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域

内求出最优解.

解：设桌椅分别买x,y张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件

50x+20y<2000200

x=-----

y>x50x+20y=2000

为，由<，解得7

y<1.5xy=x200

y=-----

x>0,y>0「7

”点的坐标为手,200

,产5

50x4-20y=2000

11b，解得75

y=i.5x

75

・・・B点的坐标为(25,—)

2

所以满足约束条件的可行域是以人一'学)，8(25,岁,

72

。(0,0)为顶点的三角形区域(如右图)

由图形直观可知，目标函数z=x+y在可行域内的最优解为(25,y),

但注意到故取y=37.

50*+20y=2000

故有买桌子25张，椅子37张是最好选择.

［例3］抛物线有光学性质：山其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对

称轴的方向射出，今有抛物线y2=2px(p>0).一光源在点M(上,4)处，由其发出的光线沿平行

4

于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P,折射后又射向抛物线上的点。，再折射后，又沿

平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线/：2x—4y—17=0上的点N,再折射后又射回

点M(如下图所示)

(1)设P、。两点坐标分别为(x〕,yi)、(立九)，证明：y〕•乃=一P?；

(2)求抛物线的方程；

(3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M关于PN所在的直线对称？若存在,

请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由.

命题意图：对称问题是直线方程的又一个重要应用.本题是一道与物理中的光学知识相

结合的综合性题目，考查了学生理解问题、分析问题、解决问题的能力，属****★★级

题目.

知识依托：韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线的点斜式方程，两点

式方程.

错解分析：在证明第⑴问题，注意讨论直线PQ的斜率不存在时.

技巧与方法：点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键.

(1)证明：由抛物线的光学性质及题意知

光线PQ必过抛物线的焦点F(-1,0),

设直线PQ的方程为y=k(x-g)①

由①式得x=\，+K,将其代入抛物线方程J=2px中，整理，得/一&y—/=(),由韦达

k2k

定理，力丫2二一

当直线尸。的斜率角为90。时，将代入抛物线方程，得产土P，同样得到乃•"二

2

-P­

(2)解：因为光线QN经直线/反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线/

41

对称，设点M(上，4)关于/的对称点为")，则

A----，_2_

4解得｛=3

，+号,4y，=T

2x——^--4x^~--17=0

22

直线QN的方程为y=-\,Q点的纵坐标)，2=-1，

由题设尸点的纵坐标力=4,且由(1)知:力•力=—贝！14•(―1)=—

得片2,故所求抛物线方程为y2=4x.

(3)解：将y=4代入)?=4x,得x=4,故P点坐标为(4,4)

13

将y=-1代入直线/的方程为2x—4y—17=0,得x=—,

故N点坐标为(一，-1)

2

由P、N两点坐标得直线PN的方程为2x+y—12=0,

设M点关于直线NP的对称点

^•x(_2)=T

则《解得

41

2*”+1+弘+4为二一1

-12=0

22

又的坐标是抛物线方程y2=4x的解，故抛物线上存在一点(L,-1)与点M

44

关于直线PN对称.

・锦囊妙计

1.对直线方程中的基本概念，要重点掌握好直线方程的特征值(主要指斜率、截距)等问

题；直线平行和垂直的条件：与距离有关的问题等.

2.对称问题是直线方程的一个重要应用，中学里面所涉及到的对称一般都可转化为点关

于点或点关于直线的对称.中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具.

3.线性规划是直线方程的又一应用.线性规划中的可行域，实际上是二元一次不等式(组)

表示的平面区域.求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设U内+力,则此直线往右(或

左)平移时，“直随之增大(或减小)，要会在可行域中确定最优解.

4.由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往

往借助直线方程进行，考查学生的综合能力及创新能力.

・歼灭难点训练

一、选择题

102000+11()2岫+1_

1(★★★★★)设M=—而——,N=—赤——>则历与N的大小关系为()

1O2001+12O2002+1

A.M>NB.M=NC.M<ND.无法判断

2.(*****)三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为()

A.15B.30C.36D.以上都不对

二、填空题

3.(****)直线2》一)-4=0上有一点尸，它与两定点A(4,-1),8(3,4)的距离之差

最大，则尸点坐标是.

4.(★★★★)自点4-3,3)发出的光线/射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直

线与圆/+/一4x—4y+7=0相切，则光线I所在直线方程为.

5.(****)函数八6)='吃。的最大值为_______,最小值为__________.

cos。一2

6.(*****)设不等式2x—1>皿/—1)对一切满足麻W2的值均成立，则x的范围为

三、解答题

7.(★★★★★)已知过原点0的一条直线与函数厂log*的图象交于A、B两点，分别过

点A、8作y轴的平行线与函数)=log2］的图象交于。、D两点.

(1)证明：点C、。和原点。在同一直线上.

(2)当8C平行于x轴时，求点A的坐标.

8.(★★★★★)设数列｛〃〃｝的前〃项和Sft=na+n(n—l)b,…),a、b是常数且8#0.

(1)证明：｛〃〃｝是等差数列.

(2)证明：以(斯，、-1)为坐标的点尸,。=1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程.

n

(3)设a=l力=；,C是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r>0),求使得点修、匕、都落在圆

C外时，，•的取值范围.

参考答案

难点磁场

证明：设线段的方程为广加0=(仪:-1)冗+2—b—c,其中％IVl,lc'l<l,Ld<1,且一1<b<\.

.：于(-1)=1—bc+2~b~c=(1—bc)+(l—b)+(\—c)>0

f(\)=bc—1+2—b—c=(l—〃)(1—c)>0

・・・线段尸(左一1.+2—6一或一1<%<1)在工轴上方,这就是说,当匕|〈1初|〈1%1<1时，

恒有出?c+2>〃+b+c.

歼灭难点训练

一、1.解析：将问题转化为比较A(-l,—1)与8(1o2°°lIO?000)及0(1()2002,1()2001)

连线的斜率大小，因为仄C两点的直线方程为产《X,点A在直线的下方，...kAB〉心C,

即M>N.

答案：A

2.解析：设三角形的另外两边长为x»,则

0<x<ll

<0<><11

x+y>ll

点(x,y)应在如右图所示区域内

当x=l时,y=ll；当m2时,尸10,11;

当x=3时，尸9,10,11；当x=4时，尸8,9,10,11;

当x=5时,)，=7,8,9,10,11.

以上共有15个，x,y对调又有15个，再加上(6,6),(7,7),

(8,8),(9,9),(10,10)、(11,11)六组，所以共有36个.

答案：C

二、3.解析：找A关于/的对称点4'，A'B与直线/的交

点即为所求的尸点.

答案:「(5,6)

4.解析：光线I所在的直线与圆x2+y2—4x—4y+7=0关于x轴对称的圆相切.

答案：3x+4y-3=0或4x+3y+3=0

sin—1

5.解析：K〃)=，°一表示两点(cos生sin与与(2,1)连线的斜率.

cosO-2

4

答案：-0

3

6.解析：原不等式变为(/—1)以+(1—2r)V0,构造线段人机)=(f—1)加+1—2x,—W2,

则共-2)<0,且式2)<0.

答案：立二

22

三、7.(1)证明：设A、8的横坐标分别为为、血，由题设知为>1用>1,

点A(Xi,10g%),8(X2,10g8X2)・

因为A1在过点O的直线匕所以厘也=垣土■，又点c、。的坐标分别为s,iog2X])、

司x2

(x2,log2x2).

由于log2x,=3log^-|,log2x2=3logfjX：,plij

_log2x,_31og8x(_10g2J2_31og8x2

K0C一_，K()D-

xxX]x2x2

由此得即。、。、。在同一直线上.

⑵解：由BC平行于X轴，有log2Xi=log*2,又log2X]=31ogg

・3

•«X2=X1

将其代入地区=，得

122x/iog^1=3x1log^1,

X]x2

由于知内故3，于是

xi>1logW0,X\=3X\X2=>/3A(6,log8A/3).

9.⑴证明:由条件,得a尸&二〃,当〃22时，

有a〃=S“一S〃-尸]〃〃+〃(〃-1)6]—[(〃-1)〃+(〃-1)(〃-2)〃]=a+2(n—\)b.

因此，当时，有。,?一斯-尸[。+2(〃-l)b]—[a+2(〃-2)b]=2b.

所以｛斯｝是以〃为首项，2b为公差的等差数列.

na+n(n-\)b

a("一[JI

(2)证明:•・・/?W0,对■于〃22,有一。

a+2(H-l)b-a2(〃一1)b2

q1

・••所有的点P〃(即—1)5=12…)都落在通过PM,Q—1)且以人为斜率的直线上.此直

n2

线方程为y—(a—1)=；(r—。),即x—2y+a—2=0.

(3)解：当〃=1力=」时，尸”的坐标为(〃,土匕),使尸。,0)、EQ,工)、P式3,1)都落在圆C

222

外的条件是

(-1)2+r2>r2(r-l)2>0①

(r-1)2+(r--)2>r2即<r2-5r+—>0②

24

(—3)2+(1)2>/r2-8r+10>0③

由不等式①，得rWl

由不等式②，得「<3—四或,>*+&

22

由不等式③，得/'<4—几或r>4+遥

再注意到r>0,l<--72<4-76=-+V2<4+76

22

故使Pi、匕、「3都落在圆C外时，r的取值范围是(0,•一应)U(4+后,+8).

难点22轨迹方程的求法

求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程,

其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题

除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法

及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.

・难点磁场

(★★★★)已知A、B为两定点,动点M到A与到B的距离比为常数九求点M的轨迹

方程，并注明轨迹是什么曲线.

・案例探究

［例1］如图所示，已知P(4,0)是圆$+丁=36内的一点，A、B

是圆上两动点，且满足/APB=90°,求矩形APB。的顶点。的轨迹厂愤\

方程•.(E

命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方\j

程，属★★★★★级题目.

知识依托：利用平面儿何的基本知识和两点间的距离公式建立线।

段AB中点的轨迹方程.

错解分析：欲求。的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了

问题的实质，很难解决此题.

技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨

迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.

解：设48的中点为R,坐标为(x,y),则在中，\AR\=\PR\.

又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在RtZXOAR中，W/?I2=L40I2-IO/?I2=36-(x2+y2)

又L4RI=IPRI=&x_4)2+y2

所以有(x—4尸+尸=36一(『+)，),即x2+y2~4x~10=0

因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，。点即在所求的轨迹上运动.

设。(x,y),R(X|,yD，因为R是P。的中点，所以x尸三3,乃=与，

代入方程f+y2-4x-10=0,得

(,—工+4、)2+(1)-“4x-+-4-10=八0

整理得：，+y2=56,这就是所求的轨迹方程.

［例2］设点A和8为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点，已知0A_LOB,

0MLAB,求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招)

命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目.

知识依托：直线与抛物线的位置关系.

错解分析：当设A、B两点的坐标分别为(X|,%),(X2,)，2)时，注意对“看=初”的讨论.

技巧与方法：将动点的坐标X、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而

就建立了关于x、y的关系.

解法一：设力(*1,)，1),8。2»2)4(40依题意，有

yj=4pX]①

4=4的

②

.必•乃=7

③

x}x2

y.i2=7④

XX]-x2

⑤

为一乃=丁一月

x}-x2x-x}

①一②得(yi—y2)S+y2)=4p(xi—q)

若X|WX2,则有"A=上一⑥

用一%2K+为

2

①X②，得yj•y2=l6pX\X2

③代入上式有力力=-16〃2⑦

⑥代入④，得力—=—三⑧

乃+乃y

⑥代入⑤，得‘^=口=上”

必+为X一七力

X----

4P

所以，^.=型匕母

乃+为4Px-yi

即4px-yj=y(yi+y2)—yj—y/2

⑦、⑧代入上式，得f+y?—4px=0(xW0)

当制=*2时，轴，易得M(4p,0)仍满足方程.

故点例的轨迹方程为f+)，2-4pm0(x六0)它表示以(2p,0)为圆心，以2P为半径的圆，去

掉坐标原点.

解法二：设例(x,y),直线A8的方程为尸爪+6

X

由0M_LA5,得口一一

y

由)2=4px及y=kx+b,消去乂得Kf+Qk/?—4P)x+/=0

所以为尤2=(,消乂得ky2-4py+4ph=0

k

所以力力=芈

由。4_LOB,得yD；2二一可、2

k

所以等=-*=-4切

故y=kx+b=k(x—4p),用k=——代入，得x'y?—4/zi=0(x#0)

y

故动点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x#0),它表示以(2p,0)为圆心，以2P为半径的圆，

去掉坐标原点.

［例3］某检验员通常用一个直径为2cm和一个直径为1cm的标准圆柱，检测一个直

径为3cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准

圆柱的直径为多少？

命题意图：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能

力，属★★★★★级题目.

知识依托：圆锥曲线的定义，求两曲线的交点.

错解分析：正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关

键.

技巧与方法：研究所给圆柱的截血，建立恰当的坐标系，找到动

圆圆心的轨迹方程.

解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为。、4、B,问题转化为求两

等圆P、。，使它们与。。相内切，与。A、OB相外切.

建立如图所示的坐标系，并设。P的半径为r,则

IB4l+IPOI=l+7-+1.5-,-2.5

.♦•点P在以A、。为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为

①

253

同理P也在以0、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为

(x—；尸+1y=i②

o1?91233

由①、②可解得「

’3净7

故所求圆柱的直径为色cm.

7

•锦囊妙计

求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.

(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化

简即得动点轨迹方程.

(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆

等)，可用定义直接探求.

(3)相关点法根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.

(4)参数法若动点的坐标(x,y)中的分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个

变量为参数，建立轨迹的参数方程.

求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”

是两个不同的概念.

・歼灭难点训练

・、选择题

1.(★★★★)已知椭圆的焦点是Q、F2,尸是椭圆上的一个动点，如果延长QP到0,

使得IPQTPFJ,那么动点。的轨迹是()

A.圆B.椭圆

C.双曲线的一支D.抛物线

22

2.(****)设41、%是椭圆二+”=1的长轴两个端点，8、尸2是垂直于的弦

94

的端点，则直线4Pl与42P2交点的轨迹方程为()

22-)2

A.—B.二+二=1

9494

22

DV炉-1

9494

二、填空题

中，A为动点，B、C为定点，fi(--,O),C(-,O),且满足条件sinC

22

—sin8=LinA则动点A的轨迹方程为.

2一一

4.(★★★★)高为5m和3m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10m,如果把两旗杆

底部的坐标分别确定为A(-5,0)、B(5,0),则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方

程是.

三、解答题

5.(****)已知A、B、C是直线/上的三点，KL4BI=lfiCI=6,QO'切直线/于点A,

又过8、C作。0'异于/的两切线，设这两切线交于点P,求点尸的轨迹方程.

22

6.(****)双曲线5-4=1的实轴为41A2,点P是双曲线上的一个动点，引4。，

a-b~

与公。的交点为。，求。点的轨迹方程.

A/,A2Q±A2Pf40

22

乃已知双曲线与-帆>的顶点为、与轴平行的直线

7.(****4=1(0,〃>0)4A2,y

mn

/交双曲线于点P、Q.

求直线与交点的轨迹方程；

(1)A/A2QM

(2)当小去〃时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.

22

8.(*****)已知椭圆三+与=1(.>6>0),点P为其上一点，为、尸2为椭圆的焦点，

ab-

NQPF2的外角平分线为/，点尸2关于/的对称点为。，「2。交/于点R.

yt

(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；

(2)设点R形成的曲线为C,直线/：y=Z(x+后a)与曲线C相交于A、B两点，当△408

的面积取得最大值时，求女的值.

参考答案

难点磁场

解：建立坐标系如图所示，

设IABI=2a,则4(一。,0),B(a,0).

设M(x,y)是轨迹上任意一点.

则由题设，得四=九坐标代入，得也+")2+匚=

的Bl&i产+.

，，化简得

(1—乂2)x2+(1—42)y2+2a(l+*)x+(l—42)a2=O

⑴当日=1时，即IA/AHMBI时，点M的轨迹方程是尤=0,点M的轨迹是直线。，轴).

(2)当4#1时，点M的轨迹方程是f+y2+网*2》+/=0.点M的轨迹是以

1-X

"(l+孕,0)为圆心，乌!为半径的圆

1-片I1-X21

歼灭难点训练

一、1.解析:V\PFi\+\PFJi=2a,\PQ\=\PF^,

：.\PFtMPF2\=\PFtMPQ\=2a,

即IBQI=2a,.•.动点。到定点Fi的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.

答案：A

2.解析：设交点尸(x,y)A(—3,0)5A2(3,0),尸1(沏,%),尸2的,一%)

•••Ai、Pi、P共线，.-,Zz2<>.=_2_

x-尤°x+3

VA2,巳、p共线，；.y+)'。=-^-

x-x0X-3

Qa2222

解得代入得乱-”=1,即二一”=1

xx9494

答案：C

二、3.解析：由sin。一sinB='sinA,得c—Z;二,〃，

22

应为双曲线一支，且实轴长为-，故方程为辱-雪=l(x>@).

2a23a24

16x216y2〃

答案:

a23tr4

53

4.解析：设P(%y),依题意有-/=•/，化简得尸点轨迹方程为

J(x+5)2+y2向-5)2+),2

4x2+4y2-85x+100=0.

答案：4x2+4.v2-85x+100=0

三、5.解：设过B、C异于/的两切线分别切。于。、E两点，两切线交于点P.由切

线的性质知:\BA\=\BD\,\PD\=\PE\,\CA\=\CE\,t^PB\+\PC\=\BD\+\PD\+\PC\=\BA\+\PE\+\PC\

=\BA\+\CE\=\AB\+\CA1=6+12=18>6=IBCI,故由椭圆定义知，点尸的轨迹是以8、C为两焦点

的椭圆，以/所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点尸的轨迹

22

方程为—+=l(yW0)

8172

6.解：设P(MJ())a#±a),Q(x,y).

-41(一。,0)，2(。,0).

------=-1自=_*(而±±〃)

由条件°得

Zo>o=—

而点PQoJo)在双曲线上，，//刖?一〃2y。2=

2?

即b\-x2)-a\^-^)2=a2b2

y

222

化简得。点的轨迹方程为：a^-by=aXX^±a).

7.解：⑴设尸点的坐标为8,yD，则Q点坐标为(xi,—yi),又有A|(一〃2,0)&(孙0),

则A1P的方程为：y=」一(x+m)①

%)+m

仆。的方程为：y=-二一(x-机)②

Xj-m

2

①X②得：/=-7'(x2-nr)③

X1-m

222

又因点尸在双曲线上，故之一4=1,即必2=j(x——"2).

mnm

22

代入③并整理得毛+==1.此即为M的轨迹方程.

(2)当机时，M的轨迹方程是椭圆.

(i)当m>n时，焦点坐标为(土J"-"20),准线方程为m土,”广，离心率e=

J“2_"2

y/m2-n2

m

,-------„2

(ii)当m<n时，焦点坐标为(0,土/)，准线方程为y=±-f=，离心率e=

yln2-1n2

―m2

n

8.解：(1)；点尸2关于/的对称点为。，连接P。，

:.NFiPR=NQPR,因28=1。㈤，\PQ\=\PFT\

又因为/为NFiPF2外角的平分线，故点Q、P、Q在同一直线上，设存在

R(XO,)'O),Q(X1,y1),F|(—c,0),&(c,0).

炉。=旧21+俨21=四尸1+1尸尸21=2。，则(X|+c)2+y/=(202.

X^=~T~

又4

=y

得xi=2x()—c,yi=2y().

2221

(2xo)+(2yo)=(2a))x^+y^a.

故R的轨迹方程为：，+),2=/。=0)

(2)如右图，VSAAO=-IOAI•\OB\•sio40B=—sinAOfi

B22

当408=90°时，SAAOB最大值为g/

此时弦心距IOCIJ卢.

VT7F

在RtZXAOC中，/AOC=45°,

二吧=卓色=cos45W典

I°AI«VT7F2

难点23求圆锥曲线方程

求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等

价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们

熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题

等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.

・难点磁场

1.（★★★★★）双曲线--二=1SGN）的两个焦点为、尸2,p为双曲线上一点，\0P\

4b~

V5,IPFI"|F2UPF2成等比数列，则户=.

2.（****）如图，设圆P满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其

弧长比为3：1,在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线/：x—2y=0的距离最小的圆

的方程.

・案例探究

［例1］某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴（即双曲线的虚

轴）旋转所成的曲面，其中A、A'是双曲线的顶点，C、C'是冷却塔上口直径的两个端点，

B、B'是下底直径的两个端点，已知A4'=14m,CC'=18m,88'=22m,塔高20m.

（1）建立坐标系并写出该双曲线方程.

⑵求冷却塔的容积（精确到10m;塔壁厚度不计，〃取3.14）.

命题意图：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用

所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力，属★★★★★级题目.

知识依托：待定系数法求曲线方程；点在曲线匕点的坐标适合方程；积分法求体积.

错解分析：建立恰当的坐标系是解决本题的关键，积分求容积是本题的重点.

技巧与方法：本题第一问是待定系数法求曲线方程，第二问是积分法求体积.

解：如图，建立直角坐标系xOy,使AA'在x轴上，AA'的中

点为坐标原点O,CC与BB'平行于x轴.

设双曲线方程为「-答=1（。＞0力＞0）,则=7

a2b~2

又设8（n,yi）,C（9x2）因为点8、C在双曲线上，所以有

丘_±1竺上_］

由题意，知乃一丁尸20,由以上三式得：yi=-12j2=8,Z?=741

22

故双曲线方程为二-二=1.

4998

(2)山双曲线方程，得，二;y2M9

223

设冷却塔的容积为V(n?),则V=fxdy=7vf(-y+49)dy=^(-y+49y)P12

j-12J-1226

计算，得£4.25X103(0?)

答：冷却塔的容积为4.25X103m'.

［例2］过点(1,0)的直线/与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为变的椭圆C相

2

交于A、8两点，直线尸gx过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线

I对称，试求直线/与椭圆C的方程.

命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础

性强，属★★★★★级题目.

知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题.

错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问

题是解决好本题的关键.

技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将4、8两点坐标代入圆

锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式.解法二，用韦达定理.

解法一：由e=£=，得—―7―=L从而a~=2b2,c=h.

a2a22

设椭圆方程为x2+2y2=2Z>24（X|，力）,B（X2,〉2）在椭圆上.

则x12+2y12=2b2,X2+2y2=2b2,两式相减得，（x/—X22）+2（j'i2—）,22）=0,

月一为.二七+々

-x22(乃+)，2)

设AB中点为(x(),yo),则kAB=~~~，又(向加)在直线产gx上，丫0=!即,于是一三~

2yo222yo

—1,%AB=-1,设I的方程为>,=—x+1.

右焦点S,0)关于/的对称点设为(『，y'),

y'

=1

xf=i

则丁解得

xf+byf=\-b

2_=+

、2一2

OQ

由点(1/一切在椭圆上，得1+2(1一8)2二2/力2=。2二一.

168

・・・所求椭圆C的方程为—+—/=1,/的方程为产一X+1.

99"

解法二：由6二，二』2,得£_-^―=1•，从而t/2=2/?2,c-Z?.

a2a22

设椭圆C的方程为『+2)?=2b2,/的方程为产火工一1),

.,2

将/的方程代入C的方程，得(1+2k2)?—4k2工+2〃2-2//=0,则%)+%2=-----，1+)，2=%(尤1

1+2k

2k

—1)+女(应-1)=k(x]+42)-2攵二

l+2k2

直线，：y4、过”的中点'(胃

号)则高H・高，解得修0,或k=

-1.

若60,则/的方程