数学-专题18 一次方程（组）和一次不等式（组）的综合（带答案）

专题18一次方程（组）和一次不等式（组）的综合（解析版）第一部分典例剖析+针对训练类型一一元一次方程与不等式的综合典例1（2022春•杨浦区校级期中）当m为何值时，关于x的方程x−m2思路引领：本题首先要解这个关于x的方程，求出方程的解，根据解是非负数，可以得到一个关于m的不等式，就可以求出m的范围．解：解关于x的方程x−m2−1=2x+m3得由题意，得﹣5m﹣6≥0解这个不等式，得m≤−6总结提升：此题考查了解一元一次不等式，以及一元一次方程的解，熟练掌握方程及不等式的解法是解本题的关键．针对训练1．（2021春•虎林市期末）已知关于x的方程x−2x−m3=2−x3思路引领：根据题意可以先求出方程的解，然后根据关于x的方程x−2x−m3=2−x3的解是非负数，即x解：∵x−2x−m去分母得3x﹣（2x﹣m）＝2﹣x去括号，合并同类项得2x＝2﹣m∴x＝1−m∵关于x的方程x−2x−m∴1−m2≥∵m是正整数，∴m＝1和2．总结提升：此题考查了一元一次不等式的整数解，关键是把字母m看作一个常数来解．典例2（2021春•安徽月考）已知（2a﹣2）x|a|+m＞0是关于x的一元一次不等式．

（1）则a的值为．（2）若不等式的解集是x＜4，则实数m的值为．思路引领：（1）利用一元一次不等式的定义判断即可求出a的值；（2）把a的值代入不等式，根据已知解集确定出m的值即可．解：（1）∵（2a﹣2）x|a|+m＞0是关于x的一元一次不等式，∴|a|＝1，2a﹣2≠0，解得：a＝﹣1；（2）把a＝﹣1代入得：﹣4x+m＞0，解得：x＜m∵不等式的解集为x＜4，∴m4解得：m＝16．故答案为：（1）﹣1；（2）16．总结提升：此题考查了解一元一次不等式，以及一元一次不等式的定义，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．针对训练2．（2022春•高邮市期末）若不等式3x+a＞2的解集是x＞1，则a＝．思路引领：不等式移项得到3x＞2﹣a，根据解集是x＞1，得到2﹣a＝3，从而求解．解：∵3x+a＞2，∴3x＞2﹣a，∵不等式3x+a＞2的解集是x＞1，∴2﹣a＝3，解得：a＝﹣1．故答案为﹣1．总结提升：考查了不等式的解集，解不等式依据不等式的性质．类型二二元一次方程组与一元一次不等式的综合典例3（2022春•镇平县月考）已知关于x，y的方程组x+y=3a+4①x−y=7a−4②的解满足不等式3x﹣2y＜11，求a

思路引领：先利用加减消元法解二元一次方程组，求得用a表示的x、y，根据方程组的解满足不等式3x﹣2y＜11可得关于a的不等式，解不等式即可．解：x+y=3a+4①x−y=7a−4②①+②，得：2x＝10a，即x＝5a，将x＝5a代入①，得：5a+y＝3a+4，解得：y＝﹣2a+4，∴方程组的解为x=5ay=−2a+4∵方程组的解满足不等式3x﹣2y＜11，∴3×5a﹣2（﹣2a+4）＜11，解得：a＜1．故a的取值范围是a＜1．总结提升：本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组的基本方法和解不等式的基本步骤是解题的关键．针对训练1．（2022春•青羊区校级月考）关于x，y的二元一次方程组3x+y=1+3ax+3y=1−a的解满足不等式x+y＞﹣2，求a思路引领：将两方程相加可得4x+4y＝2+2a，即x+y=a+1解：将两方程相加可得4x+4y＝2+2a，则x+y=a+1由x+y＞﹣2可得a+12解得a＞﹣5，所以a的取值范围为：a＞﹣5．总结提升：本题主要考查解一元一次不等式的能力，解题的关键是根据题意列出关于a的不等式．2．（2022秋•海淀区校级期中）已知关于x、y的二元一次方程组2x+y=kx−2y=3（k（1）若该方程组的解x、y满足3x﹣y＞4，求k的取值范围；（2）若该方程组的解x、y均为正整数，且k≤12，直接写出该方程组的解．思路引领：（1）根据题意得到关于k的不等式，解不等式即可求得；

（2）解方程组用含有k的代数式表示出x和y，结合1＜k≤12即可求出k的值，进而求得方程组的解．解：（1）2x+y=k①x−2y=3②①+②得，3x﹣y＝k+3，∵方程组的解x、y满足3x﹣y＞4，∴k+3＞4，解得k＞1；（2）2x+y=k①x−2y=3②①×2+②得5x＝2k+3，①﹣②×2得5y＝k﹣6，解得x=2k+35，∵方程组的解x、y均为正整数，且1＜k≤12，∴k＝11，∴方程组的解为x=5y=1总结提升：本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求出k的值是解此题的关键．类型三二元一次方程组与一元一次不等式组的综合典例4（2022•南京模拟）已知关于x、y的方程组2x+y=4mx+2y=2m+1（实数m（1）若x+y＝1，求实数m的值；（2）若﹣1＜x﹣y＜5，求m的取值范围；（3）若不等式2x≥a﹣1的解包含第（2）中的m的所有整数解，求a的取值范围．思路引领：（1）由①+②可得：x+y=6m+13，再由x+y＝1，可得（2）由①﹣②可得：x﹣y＝2m﹣1，再由﹣1＜x﹣y＜5，可得﹣1＜2m﹣1＜5，即可求解；（3）先求不等式的解集为x≥a−12，再由不等式2x≥a﹣1的解包含第（2）中的m的所有整数解，可得关于解：（1）2x+y=4m①x+2y=2m+1②

由①+②得：3x+3y＝6m+1，即3（x+y）＝6m+1，∴x+y=6m+1∵x+y＝1，∴6m+13=1，解得：（2）2x+y=4m①x+2y=2m+1②由①﹣②得：x﹣y＝2m﹣1，∵﹣1＜x﹣y＜5，∴﹣1＜2m﹣1＜5，解得：0＜m＜3；（3）2x≥a﹣1，解得：x≥a−1∵不等式2x≥a﹣1的解包含第（2）中的m的所有整数解，∴a−12≤1，解得：总结提升：本题主要考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组的应用，熟练掌握二元一次方程组，一元一次不等式组的解法是解题的关键．针对训练1．（2022•南京模拟）已知关于x、y的方程组x+y=−m−7x−y=3m+1的解满足x≤0，y（1）用含m的代数式分别表示x和y；（2）求m的取值范围；（3）在m的取值范围内，是否存在一个整数使不等式2mx﹣1＜2m﹣x的解集为x＞1．若不存在，请说明理由，若存在，请求出这样的整数值m．思路引领：（1）首先对方程组进行化简即可求得含m的表示x和y得代数式；（2）根据方程的解满足的解满足x≤0，y＜0得到不等式组，解不等式组就可以得出m的范围，然后求得m的值；（3）根据不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1，求出m的取值范围，即可解答．解：（1）x+y=−m−7①x−y=3m+1②①+②得2x＝2m﹣6，所以，x＝m﹣3；

①﹣②得2y＝﹣4m﹣8，所以，y＝﹣2m﹣4，故含m的代数式分别表示x和y为x=m−3y=−2m−4（2）∵x≤0，y＜0，∴m−3≤0−2m−4＜0解得﹣2＜m≤3；（3）不等式变形为：（2m+1）x＜2m+1，∵原不等式的解集是x＞1，∴2m+1＜0，∴m＜−1又∵﹣2＜m≤3∴﹣2＜m＜−1∵m为整数，∴m＝﹣1．总结提升：本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是求出方程组的解集．2．（2022春•乐安县期中）若关于x的不等式组x−24＜x−134x−m≤4−x恰有2个整数解，且关于x，y思路引领：表示出不等式组的解集，由不等式组恰有2个整数解，确定出m的范围，再由方程组有整数解，确定出符合题意整数m的值即可．解：不等式组整理得：x＞−2x≤∵不等式组恰有2个整数解，∴﹣2＜x≤m+4∴0≤m+4解得：﹣4≤m＜1，即整数m＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，

方程组mx+y=4①3x−y=0②①+②得：（m+3）x＝4，解得：x=4把x=4m+3代入②得：y∵方程组的解为整数，∴m＝﹣4，﹣2，﹣1．总结提升：此题考查了解一元一次不等式组的整数解，以及二元一次方程组的解，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．专题提优训练1．（2022春•确山县期末）若（m﹣2）x|m﹣1|﹣3＞6是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为．思路引领：根据一元一次不等式的定义得出|m﹣1|＝1且m﹣2≠0，求出m的值，再把m的值代入原式，再解不等式即可．解：由题意得：|m﹣1|＝1且m﹣2≠0，∴m＝2或m＝0且m≠2，∴m＝0，∴原不等式可化为：﹣2x﹣3＞6，解得：x＜﹣4.5，∴该不等式的解集为x＜﹣4.5．总结提升：本题考查了一元一次不等式的定义和解法，根据一元一次不等式的定义求出m的值是解题的关键．2．（2022春•郧西县期中）定义一种运算：a∗b=a，a≥bb，a＜b，则不等式（2x+1）*（2﹣x）＞3的解集是思路引领：分2x+1≥2﹣x和2x+1＜2﹣x两种情况，根据新定义列出不等式组分别求解可得．解：由新定义得2x+1≥2−x2x+1＞3或2x+1＜2−x解得x＞1或x＜﹣1，

故答案为：x＞1或x＜﹣1．总结提升：此题考查的是一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．3．（2021秋•冷水滩区校级期中）如果关于x的方程x+2m﹣3＝3x+7的解为不大于2的非负数，求m的取值范围．思路引领：表示出一元一次方程的解，根据解不大于2的非负数，确定出m的范围即可．解：方程x+2m﹣3＝3x+7，整理得：x＝m﹣5，∵方程的解为不大于2的非负数，∴0≤m﹣5≤2，解得：5≤m≤7．总结提升：此题考查了解一元一次不等式，以及一元一次方程的解，熟练掌握各自的性质及解法是解本题的关键．4．已知不等式5x﹣2＜6x+1的最小整数解是方程2x﹣ax＝3的解，求代数式4a−14思路引领：经移项、合并同类项进而求得已知不等式得解集，进而确定其最小整数解；再把最小整数解代入方程求得a，再把a值代入代数式即可求解．解：∵5x﹣2＜6x+1，∴x＞﹣3，则x的最小整数为x＝﹣2，把x＝﹣2代入2x﹣ax＝3得，﹣4+2a＝3，∴a＝3.5；当a＝3.5时，4a−14总结提升：本题考查解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是关键．5．（2021春•武侯区校级月考）若关于x，y的方程组x+2y=3m−62x+y=3的解满足x+y＜2，求出满足条件的m思路引领：方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围，确定出m的所有非负整数解即可．解：方程组两式相加，得3x+3y＝3m﹣3，

即x+y＝m﹣1，∵x+y＜2，∴m﹣1＜2，∴m＜3，则满足条件的m的所有非负整数值为0，1，2．总结提升：本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式，解题的关键是根据题意列出关于m的不等式．6．（2021春•龙口市期末）若关于x，y的二元一次方程组2x+y=2−3mx+2y=4的解满足x+y＞−32思路引领：把m看作已知数表示出方程组的解，代入已知不等式求出解集即可确定出m的范围．解：由方程组2x+y=2−3mx+2y=4得3x+3y＝6﹣3m∴x+y＝2﹣m，∵关于x，y的二元一次方程组2x+y=2−3mx+2y=4的解满足x+y＞−∴2﹣m＞−3解得m＜7总结提升：此题考查了解一元一次不等式以及二元一次方程组的解，根据方程组的未知数系数特点，得出x+y＝2﹣m，是解答本题的关键．7．（2022春•滨海新区期末）若点M（x，y）的坐标满足方程组2x+y=5k+2x−y=k−5（1）求点M的坐标（用含k的式子表示x，y）；（2）若点M在第二象限，求k的取值范围；（3）若点M在第一象限，且2（k+1）＜7，则满足条件的整数k有几个？思路引领：（1）运用加减消元法解此方程组；（2）由题意构造不等式组并求解；（3）由题意构造不等式组并求解，并确定出符合条件的k的值．解：（1）2x+y=5k+2①x−y=k−5②①+②得，3x＝6k﹣3，解得x＝2k﹣1，

把x＝2k﹣1代入②得，2k﹣1﹣y＝k﹣5，解得y＝k+4，∴该方程组的解为x=2k−1y=k+4∴点M的坐标为（2k﹣1，k+4）；（2）由题意得不等式组2k−1＜0k+4＞0解得﹣4＜k＜1∴k的取值范围﹣4＜k＜1（3）由题意得不等式组2k−1＞0k+4＞0解得12∴满足条件的整数k有1，2，即满足条件的整数k有2个．总结提升：此题考查了含字母参数的方程组与不等式组综合问题的解决能力，关键是能对以上题目正确求解，并确定出符合条件的字母参数的值．8．（2019春•崇川区校级期中）阅读下列材料：问题“已知x﹣y＝2且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：解：∵x﹣y＝2，∴x＝y+2，又∵x＞1∴y+2＞1，∴y＞﹣1又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0①同理得：1＜x＜2②，∴﹣1+1＜x+y＜0+2，即0＜x+y＜2．请按照上述方法，完成下列问题：（1）已知关于x、y的方程组x−2y=a3x−5y=2a+1的解均为负数，若a﹣b＝3且b＜1，求a+b（2）已知y＞1，x≤﹣1，若x﹣y＝a成立，求x+y的取值范围（结果用含a的式子表示）．思路引领：（1）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a、b的取值范围，然后再来求a+b的取值范围；（2）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用方法与步骤解答即可．

解：（1）解方程组x−2y=a3x−5y=2a+1得x=2−a由题意，得2−a＜01−a＜0则原不等式组的解集为a＞2；∵a﹣b＝3，a＞2，∴a＝b+3＞2，∴b＞﹣1，∴a+b＞1，又∵a+b＝2b+3，b＜1，∴a+b＜5．故1＜a+b＜5；（2）∵x﹣y＝a，∴x＝y+a又∵x≤﹣1，∵y+a≤﹣1，∴y≤﹣1﹣a，又∵y＞1，∴1＜y≤﹣1﹣a…①同理得：a+1＜x≤﹣1…②由①+②：2+a＜x+y≤﹣2﹣a，∴x+y的取值范围是：2+a＜x+y≤﹣2﹣a．总结提升：本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程，难度一般．9．（2022•青县二模）解方程组x+y=3①2x−3y=1②（1）下面给出了部分解答过程：将方程②变形：2x+2y﹣5y＝1，即2（x+y）﹣5y＝1③把方程①代入③得：…请完成解方程组的过程；（2）若方程的x+y=32x−3y=1解满足0＜ax﹣3y＜4，求整数a

思路引领：（1）用代入消元法求解即可．（2）把方程组的解代入不等式组，得到关于a的不等式组，解得即可．解：（1）下面给出了部分解答过程：将方程②变形：2x+2y﹣5y＝1，即2（x+y）﹣5y＝1③把方程①代入③得：2×3﹣5y＝1，解得：y＝1，把y＝1代入①得：x＝2，∴原方程组的解是x=2y=1（2）由（1）可知方程的x+y=32x−3y=1解为x=2∵方程的x+y=32x−3y=1解满足0＜ax﹣3y∴0＜2a﹣3＜4，解得32＜a∴整数a为2或3．总结提升：本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式的整数解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．10．（2022春•福清市期末）阅读理解：定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）：的“理想解”，例如：已知方程2x﹣1＝1与不等式x+1＞0，x＝1当x＝1时，2x﹣1＝2×1﹣1＝1，1+1＝2＞0同时成立，则称“x＝1”是方程2x﹣1＝1与不等式x+1＞0的“理想解”．问题解决：（1）请判断方程3x﹣5＝4的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”（直接填写序号）①