数学-专项20 特殊四边形中的面积转换（带答案）

专题20特殊四边形中的面积转换解题思路解题思路类型一：利用”同底等高“解决平行四边形的面积”问题【模型归纳】类型二：特殊平行四边形中等面积法应用典例分析典例分析【类型一：利用”同底等高“解决平行四边形的面积”问题】【典例1】（2021春•满城区期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点F，E，若设该平行四边形的面积为2，则图中阴影部分的面积为（）A．4 B．1 C． D．无法确定【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，OA＝OC，OB＝OD，在△AOB和△COD中，

，∴△AOB≌△COD（SSS），∴S△AOB＝S△COD，同理可证：△AFO≌△CEO（ASA），△BOE≌△DOF（ASA），∴S△AFO＝S△CEO，S△BOE＝S△DOF，∴阴影部分的面积＝S四边形ABEF＝S平行四边形ABCD＝1．故选：B．【变式1-1】（2021春•宜城市期末）如图，在▱ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝10，BC边上的高为6，则图中阴影部分的面积为（）A．6 B．15 C．30 D．60【答案】C【解答】解：观察并结合平行四边形的性质可知，图中下半部分的阴影面积等于上半部分的空白面积，∴S阴影＝S▱ABCD，∵BC＝10，BC边上的高为6，∴S▱ABCD＝10×6＝60，∴S阴影＝×60＝30．故选：C．【变式1-2】（2021春•商河县校级期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF经过点O，分别交AD，BC于E，F，已知▱ABCD的面积是20cm2，则图中阴影部分的面积是（）

A．12cm2 B．10cm2 C．8cm2 D．5cm2【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠OAE＝∠OCF，∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF，∴S阴＝S△BOC＝S平行四边形ABCD＝5（cm2），故选：D．【变式1-3】（2021秋•岷县期中）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是．【答案】【解答】解：作AM⊥BC于M，如图所示：则∠AMB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝×2＝1，在Rt△ABM中，AB2＝AM2+BM2，∴AM＝＝＝，∴S平行四边形ABCD＝BC•AM＝3，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BO＝DO，∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴S△BOE＝S△DOF，∴图中阴影部分的面积＝▱ABCD的面积＝，故答案为：．【类型二：特殊平行四边形中等面积法应用】【典例2】（2020•东坡区校级模拟）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为10cm、24cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）cm．A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∵对角线AC、BD的长分别为10cm，24cm，∴AO＝CO＝5cm，BO＝DO＝12cm，∴BC＝CD＝AB＝AD＝13cm，∴AC×BD＝BC×AE，

∴AE＝＝＝（cm）．故选：D．【变式2-1】（2020春•南宁期末）如图，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，DH⊥AB于点H，则DH的长为（）A．3 B． C． D．【答案】D【解答】解：∵在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，∴AO＝CO＝，BO＝DO＝1，∴AB＝2，∴DH×2＝AC×BD，∴DH＝＝．故选：D．【变式2-2】（2021秋•金水区校级月考）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为4，6，AE⊥BC于点E，则AE的长是．【答案】【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，∵四边形ABCD是菱形，∴CO＝AC＝2，BO＝BD＝3，AC⊥BD，在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC＝＝＝，

∵S菱形ABCD＝BC•AE＝AC•BD＝×4×6＝12，∴AE＝12，∴AE＝，故答案为：．【典例3】（2020•广州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，∴AO＝DO＝AC＝5，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，∴12＝×5×EO+×5×EF，∴5（EO+EF）＝24，

∴EO+EF＝，故选：C．【变式3-1】（2020秋•历城区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵AB＝3，BC＝4，∴矩形ABCD的面积为12，AC＝，∴AO＝DO＝AC＝，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为3，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，∴3＝××EO+×EF，∴5（EO+EF）＝12，∴EO+EF＝，故选：C．【变式3-2】（2021春•平邑县期末）如图，正方形ABCD的边长为2，E为对角线AC上一点，且CE＝CB，点P为线段BE上一动点，且PF⊥CE于F，PG⊥BC于G，则PG+PF的值为．

【答案】【解答】解：连接CP，BD，交AC于M，∵四边形ABCD为正方形，BC＝2，∴BD⊥AC，垂足为M，BM＝MC＝BC＝，∵S△BCE＝CE•BM，S△PCE＝CE•PF，S△BCP＝BC•PG，S△BCE＝S△PCE+S△BCP，∴CE•BM＝CE•PF+BC•PG，∵BC＝CE，∴BM＝PF+PG，∴PG+PF＝．故答案为．夯实基础夯实基础1．（2021春•齐齐哈尔期末）如图，▱ABCD中，AC．BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为（）A．3 B．6 C．12 D．24

【答案】A【解答】解：∵▱ABCD中，AC．BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，∴S▱ABCD＝3×2＝6，AD∥BC，∴OA＝OC，∠OAE＝∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴S△AOE＝S△COF，同理：S△EOG＝S△FOH，S△DOG＝S△BOH，∴S阴影＝S△ABD＝S▱ABCD＝×6＝3．故选：A．2．（2021•建华区三模）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，BC＝5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，且PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积为（）A．5 B． C．10 D．【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC∵PE∥BC，∴PE∥AD

∵PF∥CD，∴PF∥AB，∴四边形AEPF为平行四边形，设▱AEPF的对角线AP、EF相交于O，则AO＝PO，EO＝FO，∠AOE＝∠POF，∴△POF≌△AOE（SAS），∴图中阴影部分的面积等于△ABC的面积，过A作AM⊥BC交BC于M，∵∠B＝60°，AB＝4，∴AM＝2，∴S△ABC＝×5×2＝5，即阴影部分的面积等于5．故选：B．3．（2021秋•毕节市期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝6，DB＝8，AE⊥BC于点E，则AE＝（）A．6 B．8 C． D．【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，OC＝OA，OB＝OD，∵AC＝6，DB＝8，∴OC＝3，OB＝4，∴BC＝，

∵AC＝6，DB＝8，∴菱形ABCD的面积＝，∵BC＝5，∴AE＝＝，故选：C4．（2021春•吉林期末）如图，E是▱ABCD内任意一点，连接AE、BE、CE、DE．若▱ABCD的面积是10，则阴影部分图形的面积是．【答案】5【解答】解：过E作MN⊥BC，交BC于M，交AD于N，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴EN⊥AD，∵S△AED＝AD•EN，S△BCE＝BC•EM，∴S△ADE+S△BCE＝AD•EN+BC•EM＝BC•MN＝平行四边形ABCD的面积＝×10＝5，∴阴影部分的面积＝5，故答案为：5．5．（2021秋•诸城市期末）如图，菱形ABCD的周长为40，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，若PE+PF＝8，则菱形ABCD的面积为．

【答案】80【解答】解：连接AP，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵菱形ABCD的周长为40，∴AB＝AD＝10，∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴菱形ABCD的面积＝2S△ABD＝2×（S△ABP+S△ADP）＝2（×10PE+×10PF）＝10（PE+PF）＝10×8＝80，故答案为：80．6．（2021•香坊区一模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，BC＝8，OE+EF＝，则线段AB的长为．【答案】6【解答】解：∵矩形ABCD中，BC＝8，∴AC＝＝，∴AO＝AC，

∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积＝矩形ABCD的面积＝×AB•BC＝2AB，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即2AB＝AO×EO+DO×EF，∴2AB＝×AO（EO+EF）＝AC×＝AC，∴2AB＝，∴5AB＝3，解得AB＝6或AB＝﹣6（舍去），故答案为：6．7．（2020秋•莱州市期末）如图1，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝20．今沿两对角线将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、