数学-专题18.5矩形的性质专项提升训练（重难点培优）-【】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题（带答案）【人教版】

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题18.5矩形的性质专项提升训练（重难点培优）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•阜平县期末）如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，∠AOB＝40°，则∠ACD的度数为（）A．50° B．55° C．65° D．70°【分析】根据矩形的性质可知，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，所以OC＝OD，根据对顶角相等得到∠AOB＝∠COD＝40°，再利用等腰三角形的性质求得∠ACD的度数即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∴OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠AOB＝40°，∴∠COD＝40°，∴∠OCD＝∠ODC＝70°．故选：D．2．（2022春•喀什地区期末）如图，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AC＝2，则AB的长为（）A．1 B．2 C． D．【分析】由矩形的性质得出OA＝OB＝1，再证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OA即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝2，∴OA＝AC＝1，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB＝1，∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝1；故选：A．3．（2022春•覃塘区期末）在矩形ABCD中，若相邻的两边长分别是4和，则对角线所夹的锐角度数是（）A．30° B．40° C．45° D．60°【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝90°，根据AB和BC的长求出AC，得出等边三角形AOB，即可求出对角线所夹的锐角度数．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，AC＝2AO，BD＝2BO，∵AB＝4，BC＝4，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝8，∴AO＝BO＝×8＝4，∵AB＝4，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，即对角线所夹的锐角度数是60°．故选：D．4．（2022春•平泉市期末）求证：矩形的两条对角线相等．

已知：如图，四边形ABCD为矩形．求证：AC＝BD．以下是排乱的证明过程：①∵BC＝CB②∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB③∵四边形ABCD是矩形④∴AC＝DB⑤∴△ABC≌△DCB证明步骤正确的顺序是（）A．①②③⑤④ B．③①②⑤④ C．①⑤②③④ D．③②①⑤④【分析】写出证明过程，由证明过程可以判断顺序．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，又∵BC＝BC，∴△ABC≌△DCB，∴AC＝BD，故顺序为③②①⑤④．故选：D．5．（2022春•海口期末）如图，在矩形ABCD中，DE∥AC，CE∥BD．AC＝4，则四边形OCED的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】首先利用平行四边形的判定证明四边形ODEC为平行四边形，然后利用矩形的性质得到OD＝

OC＝2即可求出四边形OCED的周长．【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形ODEC为平行四边形，∴DE＝OC，CE＝OD，∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，OD＝OC＝OA＝OB，∴OD＝OC＝2，∴DE＝CE＝2，∴四边形OCED的周长为8．故选：B．6．（2022春•长乐区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB＝4，BC＝8，则AE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．2【分析】连接CE，根据矩形的对边相等可得AD＝BC＝8，CD＝AB＝4，根据矩形的对角线互相平分可得OA＝OC，然后判断出OE垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE＝CE，设AE＝CE＝x，表示出DE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：如图，连接CE，在矩形ABCD中，∵AB＝4，BC＝8，∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝4，OA＝OC，∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴AE＝CE，设AE＝CE＝x，则DE＝8﹣x，

在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，即AE的长为5．故选：C．7．（2022春•静海区校级期中）如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于E交AB于E，点G是AE的中点，且∠AOG＝30°，OE＝1，则下列结论：（1）DC＝3OG；（2）OG＝BC；（3）四边形AECF为菱形；（4）S△AOE＝S四边形ABCD．其中正确的个数为（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【分析】根据条件，OG是直角△AOE斜边上的中线，且△FOC≌△EOA，然后利用三角函数求得BC、AB以及OA、OC之间的关系即可作出判断．【解答】解：∵EF⊥AC，G是AF的中点，∴AG＝OG＝GF，∴∠OAF＝∠AOG＝30°，在直角△ABC中，∠CAB＝30°，∴BC＝AC＝OC，设BC＝a，AC＝2a，AO＝OC＝a．AE＝a，AB＝a，OG＝a，∴CD＝AB＝3OG，故①正确；OG＝a≠a＝BC，故②错误；∵∠FCO＝∠EAO，∠CFO＝∠AEO，OA＝OC，∴△FOC≌△EOA（AAS），∴OE＝OF，又∵AO＝OC，EF⊥AC，

∴四边形AFCE是菱形，故③正确；∵S△AOE＝a•a＝a2，S矩形ABCD＝a•a＝a2，∴S△AOE＝S矩形ABCD，故④正确．故选：B．8．（2022•荣昌区自主招生）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠DAC＝60°，点F在线段AO上，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①DO＝DA；②DF＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④∠BDE＝∠EFC中正确结论的序号为（）A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【分析】①根据∠DAC＝60°，OD＝OA，得出△OAD为等边三角形，即可得出结论①正确；②如图，连接OE，利用SAS证明△DAF≌△DOE，再证明△ODE≌△OCE，即可得出结论②正确；③通过等量代换即可得出结论③正确；④根据△DAO，△DEF是等边三角形可以证明∠EFC＝∠ADF，然后根据②∠ADF＝∠BDE，等量代换即可得到∠BDE＝∠EFC．【解答】解：①在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∵∠DAC＝60°，OD＝OA，∴△OAD为等边三角形，∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，故①正确，②连接OE．∵△DFE为等边三角形，∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，

∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°，∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，∴∠ADF＝∠EFC，∴∠BDE＝∠EFC，在△DAF和△DOE中，，∴△DAF≌△DOE（SAS），∴∠DOE＝∠DAF＝60°，∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，∴∠COE＝∠DOE，在△ODE和△OCE中，，∴△ODE≌△OCE（SAS），∴ED＝EC＝DF，故②正确；③∵∠ODE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，故结论③正确；④∵△DAO，△DEF是等边三角形，∴∠DAO＝∠DFE＝60°，∴∠EFC+∠AFD＝∠ADF+∠AFD＝120°，∴∠EFC＝∠ADF，根据②知∠ADF＝∠BDE，∴∠BDE＝∠EFC．故④正确．故选：D．

9．（2022秋•章丘区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形．则AE的长是（）A．15 B．20 C． D．【分析】连接EF交AC于点O，连接CE，根据菱形的性质可得CF＝CE，证明△CFO≌△AEO，可得CF＝AE，再根据勾股定理可得CE的长，进而可得结论．【解答】解：如图，连接EF交AC于点O，连接CE，∵四边形EGFH是菱形，∴EF⊥GH，OE＝OF，∴CF＝CE，在△CFO和△AEO中，，∴△CFO≌△AEO（AAS），∴CF＝AE，∴CE＝AE，∴BE＝AB﹣AE＝24﹣CE，在Rt△CEB中，根据勾股定理，得CE2＝BE2+BC2，∴CE2＝（24﹣CE）2+122，解得CE＝15．∴AE＝15．故选：A．

10．（2022秋•姜堰区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝cm，点P从A点出发沿AB以cm/s的速度向点B运动，当PA＝PC时，点P运动的时间为（）A．s B．2s C．10s D．10s或2s【分析】设点P运动的时间为ts，根据题意得：AP＝tcm，PC＝＝tcm，PB＝AB﹣AP＝（3﹣t）cm，然后根据勾股定理列方程求解即可．【解答】解：设点P运动的时间为ts，根据题意得：AP＝tcm，∴PC＝＝tcm，∵PB＝AB﹣AP＝（3﹣t）cm，∴PC2＝BC2+PB2，∴t2＝2+（3﹣t）2，解得t＝2或t＝10（舍去），∴点P运动的时间为2s，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022春•费县期末）如图所示．在矩形ABCD中，AB＝2．BD＝4，则∠AOD＝120度．【分析】根据矩形的性质可知OA＝OB，OB＝BD，证得OB＝OA＝AB＝2，所以△AOB是等边三角形，得出∠AOB＝60°，则∠AOD＝120°．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝AC，OB＝BD，∴OA＝OB，

∵BD＝4，AB＝2，∴OB＝OA＝AB＝2，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠AOD＝120°．故答案为：120．12．（2022春•仙居县期末）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若∠COB＝120°，AB＝6，则对角线BD＝12．【分析】根据矩形性质求出BD＝2OB，OA＝OB，求出∠AOB＝60°，得出等边△AOB，求出OB＝AB，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝2OB，AC＝2OA，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OB＝AB＝6，∴BD＝2OB＝12，故答案为：12．13．（2022春•二道区期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分线度OB，垂足为点E，若BD＝15，则AB＝7.5．【分析】首先利用矩形的性质得到OA的长度，然后利用线段的垂直平分线的性质得到AB＝OB＝OA

即可求解．【解答】解：∵矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴AO＝OB＝OC＝OD，而BD＝15，∴OB＝OA＝BD＝7.5，∵AE垂直平分线段OB，∴AB＝OA，∴AB＝OB＝OA，∴AB＝7.5．故答案为：7.5．14．（2022春•洛江区期末）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，AD＝8cm，CE＝3cm，则AB＝5cm．【分析】首先利用矩形的性质得到可以证明∠DAE＝∠BEA，然后利用角平分线的性质证明∠BAE＝∠BEA，接着利用等腰三角形的判定得到AB＝BE即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD交BC于点E，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，∵AD＝8cm，CE＝3cm，∴BC＝8，∴AB＝BE＝BC﹣CE＝8﹣3＝5cm．故答案为：5．

15．（2022春•盐都区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC的长为5，作AC的垂直平分线交BC于点M，连接AM，则△ABM的周长为7．【分析】由勾股定理可求BC的长，由线段垂直平分线的性质可得AM＝CM，可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴BC＝＝＝4，∵AC的垂直平分线交BC于点M，∴AM＝CM，∴△ABM的周长＝AB+BM+AM＝AB+BC＝7，故答案为：7．16．（2022•南京模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OF⊥AB，垂足为点F，BE⊥AC，垂足为点E，且E是OC的中点．若OF＝2，则BD的长为8．【分析】根据矩形的性质可以得到OC＝OB，再根据BE⊥AC及E点为CO的中点，根据线段垂直平分线的性质证得△CBO是等边三角形，从而得到∠DBA＝30°，然后根据30°直角三角形的性质求得BO长，BD＝2BO，即可得出答案．【解答】解：∵BE⊥AC，E点为CO的中点，∴BE垂直平分OC，∴BC＝OB，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OC＝OA，OD＝OB，∠CBA＝90°，∴OC＝OB，

∴CB＝BO＝CO，∴△OBC是等边三角形，∴∠CBD＝60°，∴∠DBA＝30°，∵OF⊥AB，OF＝2，∴BO＝2OF＝4，∵O点为BD中点，∴BD＝2BO＝8．故答案为：8．17．（2022春•上犹县期末）如图，矩形ABCD中，已知：AB＝3，AD＝5，点P是BC上一点，且△PAD是等腰三角形，则BP＝1或4或2.5．【分析】根据矩形的性质可知DC＝AB＝3，AD＝BC＝5，再根据△PAD是等腰三角形的性质可得DP＝AD＝5，勾股定理可得CP的长度，则BP＝BC﹣CP，即可求得BP的长度．【解答】解：①当DP＝AD时，∵矩形ABCD，∴DC＝AB＝3，AD＝BC＝5，∵△PAD是等腰三角形，∴DP＝AD＝5，在Rt△PCD中，PC＝＝4，∴BP＝BC﹣CP＝5﹣4＝1．②当AD＝AP时，∴AP＝AD＝5，在Rt△ABP中，由勾股定理得，

BP＝＝4，③当AP＝DP时，过P作PE⊥AD于点E，∴AE＝AD＝2.5，∵∠B＝∠BAE＝∠AEP＝90°，∴四边形ABPE是矩形，∴BP＝AE＝2.5．综上所述，BP＝1或4或2.5．故答案为：1或4或2.5．18．（2022春•邗江区校级月考）点P在矩形ABCD内部，当点P到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“和谐点”．如图，点P在矩形ABCD内部，且AB＝10，BC＝6．若P是边AD的“和谐点”，连接PA，PB，PD，则tan∠PAB•tan∠PBA的最小值为．【分析】过点P作PN⊥AB于N，tan∠PAB•tan∠PBA＝•＝，设AN＝x，则BN＝10﹣x，求出AN•BN有最大值25，即可求得tan∠PAB•tan∠PBA的最小值是．【解答】解：过点P作PN⊥AB于N，如图：

∵点P是边AD的“和谐点”，∴PA＝PD，∴PN＝BC＝3，∴tan∠PAB＝，tan∠PBA＝，∴tan∠PAB•tan∠PBA＝•＝，设AN＝x，则BN＝10﹣x，∴AN•BN＝x（10﹣x）＝﹣（x﹣5）2+25，当x＝5时，AN•BN有最大值25，∴有最小值，∴tan∠PAB•tan∠PBA的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022春•前郭县期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠AOB＝56°，求∠EAB的度数．【分析】根据矩形的性质可知OA＝OB，根据∠AOB的度数求出∠ABO的度数，然后根据直角三角形的锐角互余求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴，∴AO＝OB，又∵∠AOB＝56°，

∴∠OBA＝∠OAB＝62°，∵AE⊥BD，∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝28°．20．（2022春•玉州区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，OE＝OF．（1）求证：AE＝CF．（2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）由矩形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，证出OE＝OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE＝CF；（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝3，AC＝2OA＝6，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC，即可得出矩形ABCD的面积．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴OA＝OC，在△AOE和△COF∵，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．（2）∵四边形ABCD是矩形∴AC＝BD∵，∴AO＝DO∴∴在Rt△ADB中，BD＝2AB＝4，∴

∴矩形ABCD的面积＝．21．（2022春•铜官区期末）如图1，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，过对角线AC中点O的直线分别交边BC、AD于点E、F（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）如图2，当EF⊥AC时，求EF的长度．【分析】（1）证明△AOF≌△COE全等，可得AF＝EC，∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形；（2）由（1）知四边形AECF是平行四边形，且EF⊥AC，∴四边形AECF为菱形，假设BE＝a，根据勾股定理求出a，从而得知EF的长度；【解答】解：∵矩形ABCD，∴AF∥EC，AO＝CO∴∠FAO＝∠ECO∴在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA）∴AF＝EC又∵AF∥EC∴四边形AECF是平行四边形；（2）由（1）知四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF为菱形，设BE＝a，则AE＝EC＝3﹣a∴a2+22＝（3﹣a）2∴a＝则AE＝EC＝，∵AB＝2，BC＝3，

∴AC＝＝∴AO＝OC＝，∴OE＝＝＝，∴EF＝2OF＝．22．（2021春•柳南区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，AE＝CF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AD＝2，∠AOB＝120°，求AB的长．【分析】（1）根据平行四边形的判定即可求出答案．（2）根据矩形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形．（2）由（1）可知：OA＝OB，∵∠AOB＝120°，∴∠DBA＝30°，∵AD＝2，∴AB＝AD＝6．23．（2022秋•莲湖区校级月考）已知，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，BP．（1）如图1，当CF＝2BE＝2时，试说明△DEF是直角三角形；（2）如图2，若点E是边AB的中点，DE平分∠ADF，求BF的长．

【分析】（1）在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝62+72＝85，在Rt△DCF中，DF2＝DC2+CF2＝82+22＝68，在Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2＝12+42＝17，得出DF2+EF2＝DE2，即可得出结论；（2）作EH⊥DF于H，则∠A＝∠DHE＝90°，证明△AED≌△HED（AAS），得出DA＝DH＝6，EA＝EH＝4，得出EH＝EB＝4，证明Rt△EHF≌Rt△EBF（HL），得出BF＝HF．设BF＝x，则HF＝x，CF＝6﹣x，得出DF＝DH+HF＝6+x，在Rt△CDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明；∵C