初中九年级数学课件-27.3 垂径定理

27.3垂径定理

问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？O观察现象：想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：你能得到什么结论？圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。它有无数条对称轴●O垂直于弦的直径

1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径

1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径

1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径

1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径

1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径

1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径

1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？（A）BDCOEA垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。（A）BDCOEA2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.●OABCDM└CD⊥弦AB,如图∵CD是⊙O的直径（⊙O中，CD经过点O）,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.AM=BM⊙O

中CD为直径CD⊥AB于M⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.符号语言：判断下列图形，能否使用垂径定理？【解析】定理中两个条件（直径、垂直于弦）缺一不可，故前三个图均不能，仅第四个图可以！【定理辨析】CCOABDOEABCODABODABC应用垂径定理的几个基本图形请结合图形说出符合垂径定理的条件和结论。O探究：ABDCE如图，若直径CD平分弦AB交AB于E时，你认为都有哪些结论成立？ABDCOEABOECDAB是弦，但不能是直径时，才有垂直AB，平分AB所对的两条弧。·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧垂径定理及其的推论：直线CD（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的劣弧（5）平分弦所对的优弧以上五个中只要符合两个条件，就能得到其它三个结论。APDCBO┓定理辨析1、填空：如图，在⊙O中

（1）若MN⊥AB，MN为直径；则（ ），（ ），（ ）；（2）若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则（ ），（ ），（ ）；（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则（ ），（ ），（ ）；（4）若AM＝BM，MN为直径，则（ ），（ ），（ ）。练习COBAMN2、判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………..()（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……..()（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分…………...()（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………()（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）×√××√例1：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝，圆心O到AB的距离为3㎝，求圆O的半径.EOAB【解析】根据题意得，AE=4cmOE⊥ABOE=3cm在Rt△OEA中，根据勾股定理得：AO2=OE2+AE2=32+42=25，AO=5cm.【例题】问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？

赵州桥主桥拱的半径是多少？

ABODC解：用AB表示主拱桥，设AB所在圆的圆心为O，过点O作AB的垂线交AB于C。由垂径定理可知，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高。AB=37.4，CD=7.2，∴AD=18.7，设OA=OC=ROD=OC-CD=R-7.2.在Rt△AOD中，OA2=AD2+OD2即R2=18.72+(R-7.2)2解得R≈27.9因此，赵州桥的主桥拱的半径约为27.9米。例3

已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AC与BD相等吗？为什么？P.ACDBO注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法．1.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）A．AE＝OE B．CE＝DE CEC．OE＝D．∠AOC＝60°B【解析】连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定理求得BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3,所以AB=6.答案：62.（毕节·中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是

．3.（安徽·中考）如图，⊙O过点B，C.圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为（）A.B.C.D.【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB，根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3.又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，则AD==3,∴OD=3-1=2,∴OB=通过本课时的学习，需要我们：1．理解