高等数学典型例题

第一章函数、极限和连续

【典型例题】

【例1-11求复合函数.

X

1.设/(%)=二丁，求/"(%)].

1-2%

解：求/[/(%)]就是用/(x)代替％然后化简,得

X

_xx

/"(初二I"、

1-2-^-1—2x—2xl-4x

1-2%

2

0<x<l

2.设/(X)=<g(x)=ex,求/[g(x)].

3%,1<x<2

解：当OWe*<1即％WOB寸，f[g(x)]=(ex)2=e2x,

当1<靖W2即0<xWIn2时，/[g(%)]=3ex,

0,%<0

故/[g(%)]=,

3",0<x<In2

【例1-2】求函数的定义域.

1./(%)=Jarcsin(2%-1)+ln(l-%).

解：由arcsin(2%-l)可得一1<2x-l<1,即OWxWl；由Jarcsin(2%-1)可

得arcsin(2%—1)20,即由ln(l-%)可得1一%>0,

即X<1,故原函数的定义域为三部分的交集，即[；/).

2./(%)=-,%~~-——Farccos(2-x).

x—x~/2

解：由Jx-l可得％—120,即％21；由％2一%―2W0即(x+l)(%-2)W0可

得％W-1且xw2；由arccos(2—X)可得一1W2—％W1,1<A:<3,故原函数

的定义域为三部分的交集，即为[1,2)U(2,3].

【例1-3]判断函数的奇偶性.

1.设/(%)和g(%)为任意函数，定义域均为(-8,+8)，试判定下列函数的奇偶性.

⑴f(x)+f(-x)+g(x)+g(-X)

解：由奇偶性的判定可知，/(%)+/(—％)与g(x)+g(—X)均为偶函数，故其和亦为

偶函数.

(2)/(X)-/(-X)+g(X)+g(-X)

解：由奇偶性的判定可知，/(%)一/(-1)为奇函数，g(%)+g(—X)为偶函数，故其

和为非奇非偶函数.

2.判定函数/(%)=ln(%+J]?+1)的奇偶性.

解：因/(一%)—ln(—x+J(-+1)—ln(—x+J-+1)

=In。/,1；---=-ln(J%2+1+%)=-f(x),故原函数为奇函数.

yjX~+1+X

【例1-4】计算下列极限.

「/I2n

1.lim(—+—+•••+—).

'18n-fl-

解：当〃―8时，此题是无限个无穷小之和，不能直接求极限，先变形化简再计算:

—n(l+n)

±+…+=)=lim1+2+…+”]_

=lim

〃T8

"78nnnn~2

2.lim(

〃一>8

nil1n

r

解：因~"IH—/H------1—]<~i",并且

yjn2+nyjn2+1J//+2yjn2+n+1

Yl.Yl

lim—i—1,lim—,—1,故原极限值为1.(夹逼准则)

22

3.lim(l+-+—)\

〃》n7T

QIQn।，广〃(2〃T

W.：lim(l+-+4r=lim(l+^^r=lim(l+^^)^^

"T8nn-"78n-"f8n-

2"3

4.lim(

〃一»oo2n+Y

2〃+l-4〃

解：lim(^^)"=lim(l+-4-4

-------)”=lim(l+-------)-42〃+l_"2

〃T82n+l"Too2n+1-----"-82n+l

【例1-5］计算下列极限.

sin%

i.lim------.

18x

1

解：当x->8时，一为无穷小，sin1虽没有极限但却是有界函数，故根据无穷小与有

X

..sinx八

界函数的乘积仍为无穷小，可得hm------=0.

…％

.1

说明：本极限与hvmxsin—意义是一样的.

go%

X+X"+…+x〃一〃

2.lim

x-»lx—1

「x+x2+,,,+x,z—ri.x—1+x2—1+,,•+九〃一1

解：lim------------------------=lim--------------------------------

nx-1nx-1

—lirn[l+(x+1)+(%2+%+1)+,,,+(x,?]+xn*-+,•-+x+1)]

,cc+1)

=l+2+3d-----\-n=---------.

2

说明：此题也可用洛必达法则(见第三章)求解，过程如下：

lim-Y+—+-"+—=lim(l+2x+…+nx"-})=--(/?+1).

11x-1-2

sin®'-1)

3.lim

A->03x

解：因当％->0时，sin(e'—1)~—1.e、一1~x,

..sin(ex-1)「ex-11

故hm-------------=lim-------=-.

3xio3X3

说明：本题可以使用洛必达法则求解如下：

]而包㈣a=hmCOS(d'J

xro3X1033

x八sinx

P—P

4.lim----------

iox-sinx

-XcSinx-Sinx/cX-sinxi\

〃ve-ee(e-1)1

解：lim-----------=lvim-------------------=1(x—>0时,靖-sin”〜x—sinx).

Dx-sinxXT°x-sinx

3+X)2x

5.lim(

X—>8

a*4-Y1,1(2+x)与

解：皿(上-产

1=lim(l+——产=lim(l+——)2+x

x—82+xx-82+x182+x

6.lim(sin—+cos—)A

18xx

-------------x(sin—4-cos——1)

xx

解：lim(sini+cosI|sin—+cos-1

-)A=lim[l+(sin—+cos——1)]x*

XT8XxX*XX

.1

sin—COS--1

T+1汕1+lim

[XTaX—>8

XXe'+0

【例1-6】已知/(x)是多项式，且lim"'I2，-=2,lim1")=3,求/(%).

x—>ooX，X—OJQ

解：利用前-极限式可令/(x)=2%'+212+ar+0,

再利用后一极限式，得3=lim"^=lim(a+2),则。=3,b=O,

x->0xx-»Ox

故/(x)=2x3+2x2+3x.

【例1-7】当x-O时，比较下列无穷小的阶.

1.X2ktl-COSX.

I?X1

解：因lim——----=lim-——=2,故x?与l-cos%是同阶无穷小.

101-COSXX-012

一X

2

2.X?比Jx+1—1.

尤2______

解：因lim-=lim」=0,故-2是比J=+1—1高阶的无穷小.

1。Jx+1—l1。1丫

一x

3.Jl+L—J1—L比X.

Jl+x—Jl-X..(J1+x-J1—X)(J1+%+J1—X)

解：因hm-------------=lim-----------,....--j----------

xiox(Vl+x+Vl-x)

=lim--j=——.-----=1,故Vl+x-A/1-X与x是等价无穷小.

5X(V1+X+V1-JC)

2.

4.x比tanx—sin%.

X2X2COSXX

解：因lim----------=lim-------------=lim

1。tanx-sinxsinx(l-cosx)XTO

2

故x?是比tanx-sinx低阶的无穷小.

说明：本题中的四个题目均可用洛必达法则求解.

【例1-8］讨论下列分段函数在指定点处的连续性.

25/x,0<^<1

1./(%)=,1,%=1在％=1处的连续性.

1+x,x>1

解：因/(1)=1,y(r)=lim/(x)=lim2Vx=2,

x->rx->r

/(l+)=lim/(x)=lim(l+x)=2,从而lim/(x)=2W/(I),故函数在

XT1+XT1+XT1

X=1处不连续.

2.f(x)=<e，%<0在％=0处的连续性.

ln(l+x),x>0

解:因/(0)=0,/(0~)=lim/(x)=lim^x=0,

XT0~X->0"

/(€)+)=lim/(%)=limln(l+X)=0,从而lim/(x)=0=/(0),故函数在

io+XT0+XTO

%=0处连续.

2x—a,x<0

【例1-9】当常数。为何值时，函数/(%)=1ln(l+x)在％=0处连续？

----------,x>0

解：因/(0)=-a,/(CT)=lim/(%)=lim(2x-q)=—。，

XT。-XT。-

+

/(0)=lim/(x)=lim"(l'x)_j_|ng+%)=]imln(l+xy=1,

+++

x->0x-»0Xx-»0XXT()+

故由连续性可得，/(()-)=/(()+)=/(O),即一4=1,故。=一1.

【例1-10]求下列函数的间断点并判断其类型.

2

1.7(%)=*.

解：所给函数在x=0处无定义，故x=0是间断点.又lime"=+oo,lime"=0,

10+x-»o-

故R=0是/(x)的第二类间断点.

一、X

2-fM=--.

sinx

解：所给函数在1=左乃(k=0,±1,±2,・・・)处无定义，故x=0、x=kjr

尤

(攵=±1,±2,•-)是间断点.又lim------=1,故x=0是第一类间断点，且是可去

a。sin%

间断点；lim------=8,故％=4乃是第二类间断点，且是无穷间断点.

x—k£sinx

1

Px—1

3./(X)=^—.

ex+1

ex-1

解：所给函数在％=0处无定义，故％=0是间断点.又/(0+)=丘111-n——=1,

10+-

ex+1

_ex-1

f(0~)=lim———=-1,故％=0是f(%)的第一类间断点且是跳跃间断点.

i(r-

ex+1

1

arctan—,n

4./(%)={X

0,%=0

八11

解：该题是分段函数的连续性问题，因XW0时arctan一是初等函数，故arctan—在

xx

XW0时是连续的，所以该题主要考虑分界点％=0处的连续性.

\711TC

由/(0)=limarctan—=—,f(0)=limarctan—=---,可知x=。是

io+%2'x-o-x2

f(x)的第一类间断点且是跳跃间断点.

【例1-11］证明方程-412+1=0在区间(0,1)内至少有一个根.

证：函数/(%)=—4%2+1在闭区间［0,1］上连续，又/(0)=1>0,

/(1)=-2<0,根据零点定理，在(0,1)内至少有一点?，使得/(J)=0,即

f3-4^2+l=0(0<^<1),该等式说明方程］3-412+1=0在区间(0,1)内

至少有一个根是?

【例1"2】证明方程％•2*=1至少有一个小于1的正根.

证：由题意，函数=-1在区间［0,1］上连续，又/(0)=—1<0,

/(1)=1>0,根据零点定理，在(0,1)内至少有一点4，使得/(y)=0,即

^■2^-1=0（0<^<1）,该等式说明方程％•2、=1在区间（0,1）内至少有一个小

于1的正根?.

【历年真题】

一、选择题

C7X+1

1.(2010年，1分)函数y=一-arccos----的定义域是()

2

(A)[-3,1](B)[-3,-1](C)[-3,-1)(D)[-1,1]

l-x2>0

-1<X<1-1<X<1

解:因<故<所以

X1-2<x+l<2-3<x<1

-1<X<L故选(D).

sin3%

2.(2010年，1分)极限hm-------等于()

八।1

(A)0(B)1(C)-(D)3

3

sin3%3%c

解：lim-----=lim—=3,故选(D).

X—>0JQX—>0/

「71+(—1)"

3.(2009年，1分)极限hm--------=()

"78n

(A)1(B)0(C)oo（D）不存在

.[.n+(-1);/...(-l)n(一1)"

解：lim--------=lim[lr4=l+=1+0=1,故选(A).

“Toonnn

x-1,x<0

4.(2009年，1分)若/(%)=<0,x=0,则lim/(x)=()

.10

X+1,%>0

(A)-1(B)0(C)1（D）不存在

解:因lim/(x)=lim(x-1)=-1,limf(x)=lim(x+1)=1,

戈->0-XT。—X—»0+XT。+

limf(x)Wlimf(n),故lim/(%)不存在,选(D).

10一,r-»0+10

兀JQ

5.(2009年，1分)1=一是函数>=-----的()

2tan%

(A)连续点(B)可去间断点(C)跳跃间断点(D)第二类间断点

X7TX

解：因lim——=0,故x=一是函数y=^—的可去间断点，选(B).

x^>—tanx2'tanx

2

6.(2008年，3分)设/(x)=xsin—,则lim/(%)等于()

rx-»8

（A）0（B）不存在（C）8（D）1

.1

jsin—

解：lim/（x）=limxsin—=lim--^-=1,故选（D）.

X-8X—>8XXT81

X

7.（2008年，3分）当%一0时，312是51112%的（）

（A）高阶无穷小（B）同阶无穷小，但不等价

（C）低阶无穷小（D）等价无穷小

解：因lim———=lim——=3,故选(B).

xr°sin-xx

8.（2007年，3分）当％TOH寸，tan2x是（）

（A）比sin3%高阶的无穷小（B）比sin3%低阶的无穷小

（O与sin3x同阶的无穷小（D）与sin3%等价的无穷小

tan2x2x2

解：因lim-----=lim——=一，故选(C).

iosin3xa。3x3

x—兀〉x<0

9.(2006年，2分)设/(x)=sin%，g(x)=<%〉。,则加（创=

X+7T,

()

(A)sin%(B)COSX(O-sin%(D)-COSX

解：当％<0时，f[g(x)]=f(x-7T)=sin(x-7V)=-sin(^-x)=-sinx；

当X>0时，=/(%+〃■)=sin(%+;r)=-sin%,故选(C).

io.(2005年，3分)设lim(l—=e2,贝i」m=()

A->0

(A)——(B)2(C)-2(D)-

22

._.--------(-_ry

解：由lim(l-/篦1厂=lim[l+(-mx)]_,MV=e~"'=e,得加=-2,选(C).

X70x70

ii.（2005年，3分）设y=e*是无穷大，则％的变化过程是（）

(A)X-)0+(B)X-0(C)%7+8(D)X——8

1

…11

解：x—》0时:一T+8,---->—OO,e*—>0；

XX

11

x—>0时，一—»-8,----->4-00,e*T+8；故选(B).

XX

二、填空题

—lx+1,x<1

1.（2010年,2分）若函数/（X）=<在X=1处连续，则G=

x-a,X>1

解：lim/(%)=lim(-2%+1)=-1,lim/(x)=lim(%-a)=l-a,

XT「XT「XT1+X-»l+

因/(%)在点％=1处连续，故lim/(x)=lim/(x),即-1=1-。，a=2.

x-^rxf+

2.（2010年，2分）1=0是函数/（X）=XCOS—的第类间断点.

解：因lim/QOnlimxcos'nO,故％=0是函数/（x）的第一类间断点.

X—>0XT。JQ

1,忖<1

3.(2009年,2分)设/(X)=<0,=1,g(x)=e*，则g"(ln2)]=

一1,冈>1

解：因0<ln2vl,故/(In2)=1,所以g[f(In2)]=g(Y)=e=e

4.（2009年，2分）y=sin—在％=0处是第类间断点.

X

解：因x->0时，!一8,sin-没有极限，故％=0是第二类间断点.

XX

5.（2008年，4分）函数y=Inx+arcsinx的定义域为.

x>0

解：由题意，《，故原函数的定义域为（0,1].

6.（2008年，4分）设数列％”有界，且limy,=0,则limx“y“=

"―>8n—>«>

解：数列可看作特殊的函数，因数列％”有界，数列y“为无穷小，所以根据无穷小与有界函

数的乘积仍然是无穷小可得，limx,j”=O.

“T8

7.（2008年，4分）函数y=4%+1的反函数为.

解：由y=t%+l可得,y'=x+l,x=y3-1,故反函数为y=x3-1.

.2x-l

8.（2007年，4分）函数y=arcsin---的定义域为.

2x—1

解：由一1W3得，一3<2%—143,即一l〈xW2,所以定义域为[-1,2].

9.（2007年，4分）lim（-——）2，=_____.

XT8X

lim（-）2x=lim（l+—）2x=lim（l+匚产）=]

x->8JQx—»ooXX—»ooJQ

2

1—2x1+~7

(--------)A九>0n

10.(2006年，2分)若函数/(%)=/1+X2'在1=0处连续，则

lx-a,x<0

a=.

解：limf(x)=lim(2x-a)=-a,

XT。-XT。-

22

1_2V]Jr]+，.(_3)

-3a23

lim/(x)=lim(-----—),=]im(lH-------2-)'=e~>

*zo+1+/，.10+1+X

因/(%)在x=0处连续，故lim/(%)=lim/(%),即一。="、故Q=-e".

XT(Tx->o+

三、计算题

Z、x

x+c

1.（2010年，5分）求极限lim其中c为常数.

X—>oo(x—c.

Z、X

x+c2c、

解：lim=lim1-+

XT8X—8x-c?

tanx-x

2.(2010年，5分)求极限hm----；——

xrO%3

tan%—xsec-x-1tan-x1

解：lim----------=lim--------——=lim------=—.

-0%3I3/103/3

说明：此题也可多次使用洛必达法则，解法如下：

tanx-xsec2x-12secx-secxtanx1

lim-----------=lim-------；——=lim-----------------------=—

x53%io6%3

3.（2009年，5分）求极限lim---------------

1-x3J

解：此题为“8—8”型的极限，解法如下：

3।..1+x+x--3「(x—1)(%+2)

lim----------=lim----------------=lim--------------------=-1.

3

xT\1—X1-xJ-1-xXT(1-％)(l+x+；r)

4.(2009年,5分）求极限

A-»0sinx

..e-e..e+e2

解：lim-------=hm-------=—=2.

a。sinxXT。cos%1

sin2x

5.(2008年，5分)求极限hm---------.

XT：cos(〃-x)

sin2%2cos2x.

解：lim---------=lim----------------=-2.

xr：|cos(万一%)x-5-sin(九一%)•(-1)

6.(2007年，5分)求极限lim(--------).

aw%ex-l

解：limp———)=lime~]~X=lim^~\~X=lim^—]_

xx

i°%e-lx(e-l)x—°厂x—o2x2

说明：x—>0时，e'—1~x.

11、

7.(2006年，4分)求极限limCOtX(z--------).

sinxx

M：limcotx(—'―1、cosx(x-sinx)x-sinx

—)=lim--------------=lim-----——

1°sinxxioxsin-xiox'

_l%2

1-cosx2

=lim=r

XTO3三103x~6

H-cosx?X'Xf(X)

8.(2006年，4分)设/(1)=[sinrdt,g(x)=---1---，求-----.

必561。g(x)

M-cosx9XX

解：因x-0时，f(x)=]sintdt->0,g(x)=——l———0,

且/'(%)=([sin/力)'=sin%sin(l-cosx)2,^z(x)=x4+x5,

f(x)sinxsin(l-cosx)2A:(1-COSX)2

故二lim---=hm-------------—二hm————

XT。g(x)XT0g(x)10x+x,10/+15

z12\214

X

X(~)171r

=lim—/———=lim—■--=—lim----=0.

x—ox+x10x+x4x-0]+%

11

9.（2005年，5分）求极限lim（).

x-1Inx

.11、「Inx-x+1

解:lim(---------)=lim---------=lim——r------

—Ix-lInxn(%-l)lnX—1x-1

x

1-x—1

=hm-----------=lim---------

xfxlnx+x-1-Inx+1+12

第二章导数与微分

【典型例题】

【例2-D以下各题中均假定了'(玉))存在，指出A表示什么.

1.lim』33一)(%。)=A.

zoAx

解：根据导数的定义式，因Ax->0时，-AxrO,故

lim”演…-小。)"Tim=_/(%°),

Ax一AX

即

A=-fXx()).

2.设lim"^=A,其中/(0)=0,且/彳0)存在.

xT)x

解：因/(0)=0,且/<0)存在，故

/w/u)-/(o)

lim=lim=r(o),即A=r(O).

xrOx-0%-0

3.lin/(x-(i=A.

小0h

解：根据导数的定义式，因/?->()时，-h7U,故

/(x0+//)-/(x0-/z)_/(x0+//)-/(x0)+f(x0)-f(x0-h)

11111—111T1

八一。h20h

_*"%。+田一"%。)一"(%。一田一〃工)]

-iiin

…h

_1-/(^o+^-Z^o),1•--一/(%)

一mil।mu

h人一。—h

=/'(%)+/(％)=2/(%),即A=2f(x0).

【例2-2】分段函数在分界点处的导数问题.

—X,%41

1.讨论函数/(x)=J3在％=1处的可导性.

x2,%>1

解：根据导数的定义式，

23_2

“八r/(%)-/⑴r31322八c

f_(1)=lim--------:-----=lim--------=—lim(x-+%+1)=2,

X—lXT「％—131「

《⑴二也二=

1mlH=+8,

XT1+X-lXT1+X—1

故/(%)在x=l处的左导数£(1)=2,右导数不存在，所以/(%)在x=l处不可导.

x2sin—,xwO

2.讨论函数/(%)={x在X=0处的可导性.

0,%=0

x~sin----0

解：因f(0)=lim--------------=lim--------------=hm%sin—=0,

x-0XT°xXT°X

故函数/(%)在％=0处可导.

3.已知函数/(%)=<在％=1处连续且可导，求常数。和Z7的值.

[ax+b,x>1

解：由连续性，因/'(1)=1,f(广)=lim/(x)=lim/=1,

XT厂XT1一

/(1+)=limf(x)=lim(6tx+h)=a+b,从而a+b=\.....①

XT#XT1+

〃小f(%)—/⑴x2-1「/1、c

再由可导性，f(1)=lim-------:------hm--------=hm(x+l)=2,

.r->rX-lXT「X-lXT「

/+'⑴=lim""，")=lim"x+"]，而由①可得b=1-。，代入⑴,

xfi+%—1xf+x-l

/(x)-/⑴=ax-a

得了:⑴二呼lim-a,再由斤(1)=力^(l)可得。=2,

x-ln+X-1

代入①式得。=一1.

sinx,jr<0,

【例2-3]已知/(%)=<、八，求/(%).

%,x>0

解:当％<0时，J、'(x)=(sinx)'=cos],当%20时，/'(%)=(%)'=1,当％=0

时的导数需要用导数的定义来求.

,，/八、1-/(%)—/(0)sinx1

f_(0)=hm~=lim-----=1,

KT(Tx-01。一X

f，s、/(x)-/(0)x-01

f(0)=lrim~=rhm-----=1,

XT0+x—0XT0+X

斤(0)=/；(0)=1,故/(0)=1,从而f\x)=(C0S"，:，

1,x>0

【例2-4】求下列函数的导数.

1.y=e'(sinx+cosx).

解：y'=(e*)'(sinx+cosx)+ex(sinx+cosx)’

=e'(sinx+cosx)+/(cos%-sinx)

=2excosx.

.2x

2.y=sin-----.

1+x27

,(.2x、2x(2%]

解:y=sin------=COS--------7

I1+x21+x2

7

2x2(1+/)—(2x)2

COS--------7---------------------------

1+x(l+x_)

2(1-x2)2x

=------cos------.

(1+x-)-l+x

3.y=Incos(e').

解：y，=「lncos(/)]=——5----Fcos(e')"|

'L」cos(")L」

ir

=——•一sin(e')•(?')'

cos(e)L」

二嬴byEsi”)"

=-extan(e').

4.y=ln(x+Jl+%2).

解：y/=fln(x+A/1+x2)=-----,-(x+y/l+x2/

L」x+Vi77

_i「2(")'-

x+A/1+x~_2A/1+%-_

],工

1+,

X+Jl+vl+x2_

1X+Jl+厂

______.------------------

x+Jl+%271+x2

_1

1+x2

【例2-51求下列塞指函数的导数.

i.y=xs,nv(x〉0).

解：了=(rnx)/=(/nxlnx)，=^in.vln,,6由1ln%)，

=*xEx,(cos%lnx+sinJ

X

sin//isinX.

=x(cosxlnxd--------).

X

说明：本题也可采用对数求导法，即：对塞指函数y=两边取对数，得

Iny=sinxlnx,该式两边对％求导，其中y是尤的函数，得

--y=cosx\nx+sinx-,

yX

/,sin/、

故y'=y(cosxInx+sinx•—)=xsinv(cosxlnxH--------).

xx

(XX

2.y=(x>0).

l+x

(X、xx\n-^—X%、

l+x

解:y=ei+x-%In

l+x>1+%,

X1+x(%、

In------1-x------

1+xx1+%,

xln-^-1+X1+%—X

eIIn-------+x-

1+xx(l+J

(、X

(x1)

In—

\+X)1+x1+xJ

/、X

x1

说明：本题也可采用对数求导法，即：对幕指函数y=两边取对数，得

1+

Iny=xln-------,该式两边对x求导，其中y是x的函数，得

1+x

x1+x「X、1

+x--------=ln—

y1+XX1+xy1+X1+X

1、(XX1、

故y-yInIn

\+xl+x?、1+%1+x1+x,

【例2-6］用对数求导法求下列函数的导数.

1.yx=xy(x>0).

解：等式两边取对数，得xlny=ylnx,两边对％求导，注意)是%的函数，得

Iny+—•>'=yInx+—,整理得(----In-In,

yxyx

y

2

,XIn)y-Xy]ny

则y=2--------=J--~.

二-Inxx—孙Mx

y

......................,।£+1i,l+i

解：等式两边取对数，得Iny=In]-,——In—/，

2

即21ny=In,+l)-[ln(%2+2),

也即lOlny=51n(x2+l)-ln(%2+2),

10,10x2x

两边对％求导，注意y是％的函数，得

(10x2x

故上，，、

y'=

10U+1X2+2)

【例2-7)求下列抽象函数的导数.

1.已知函数丁=/(%)可导，求函数y=f(e赤)的导数虫

dx

熹(1

sinx

ii

一cosxcosxgsinx/(^sinx)

sin2xsin2x

2.设函数/(X)和g(x)可导，且/2(x)+g2(x)WO,试求函数

丁=际诉的导数言

72(x)+g2(x)]Z

解:

242(%)+屋。)

2f(x)f/(x)+2g(x)g/(x)f(x)f/(x)+g(x)g/(x)

242(1)+/(工)j/2(x)+/(%)

【例2-8］求由下列方程所确定的隐函数y=y(x)的导数.

1.%?一孙+V=0.

c办cdy八

解：方程两边分别对％求导，得2x-y-%—一+2y•上=0,

dxdx

,八、dy八dy2x-y

整理得(x-2y)——=2x-y,故——=------.

dxdxx—2y

说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设尸(％,y)=%2—％y+y2,

则dy_F：_2x-y_2x-y

则....-----------------------------------•

dxF、-x+2yx-2y

2.y=l+xey.

解：方程两边分别对％求导，得^-=0+ey+xey­—,

dxdx

dyey

整理的(\-xeyey,故=

dx\—xey

说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设尸(％,y)=l+xe＞一丁，

dyFeyey

JlJ—=---j------：-----------.

y

dxFyxe-11—xe-

【例2-9］求由下列参数方程所确定的函数)，=y(x)的导数.

力

一

=力

不

一(2d)'2,2/，

力

包

山

=石

一