高考试题-立体几何

2010高考题分类汇编一一空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和

体积

一、选择题

1.(2010全国卷2理)(9)已知正四棱锥S-A6c。中，S4=26,那么当该棱锥的体积最大时，它的

高为

(A)1(B)6(C)2(D)3

【答案】C

【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.

vLh4"山

3

【解析】设底面边长为a,则高所以体积3V二

设-2，则y'=4Sa：-3a"当y取最值时，y'=4S"-3a=°,解得a=o或a=4时，体积最大,

h=J12~—=2

此时V-，故选C.

2.(2010陕西文)8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

(A)2(B)1

(C)-(D)-

33

【答案】B

解析：本题考查立体图形三视图及体积公式

如图，该立体图形为直三棱柱

所以其体积为LX1X/X血=1

2

3.(2010辽宁文)(11)已知S,4,8,C是球。表面上的点，平面ABC,AB1BC,

SA=AB=1,BC=血,则球。的表面积等于

(A)4%(B)3%(C)2%(D)%

【答案】A

【解析】选A.由已知，球。的直径为2R=SC=2,.•.表面积为4万川=4万.

4.(2010安徽文)(9)一个儿何体的三视图如图，该几何体的表面积是

(A)372(B)360

(C)292(D)280

【答案】B

【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的

全面积加上面长方体的4个侧面积之和。

5=2(10x8+10x2+8x2)+2(6x8+8x2)=360.

【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出

直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。

5.（2010重庆文）（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点

（A）只有1个（B）恰有3个

（C）恰有4个（D）有无穷多个

【答案】D

【解析】放在正方体中研究,显然，线段。。「EF、FG、GH、

HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等，

所以排除A、B、C,选D

亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等二一।

6.（2010浙江文）（8）若某儿何体的三视图（单位:

则此儿何体的体积是

352&3203

(A)-----cm(B)-----cm

33

224,1603

(C)-----cm'(D)-----cm

33

【答案】B

【解析】选B,本题主要考察了对三视图所表达示的空间儿何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题

7.（2010北京文）（8）如图，正方体ABCD-ABGD的棱长为2,动点E、F在棱AR上。点Q是CD的

中点，动点P在棱AD上，若EF=1,DP=x,A|E=y（x,y大于零），则三棱锥P-EFQ的体积:

（A）与x,y都有关；（B）与x,y都无关；

（C）与x有关，与y无关;（D）与y有关，与x无关;

【答案】C

8.（2010北京文）（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的

正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该

集合体的俯视图为：

正（主）视用侧（左）视图

答案：C

9.（2010北京理）（8）如图，正方体ABCD-4gCQi的棱长为2,动点E、F在棱4与上，动点P,Q分别在

棱AD,CD上，若EF=1,AE=x,DQ=y,DP=

（A）与x,y,z都有关

（B）与x有关,与y,z无关

（C）与y有关,与X,z无关

（D）与z有关,与X,y无关

【答案】D

10.（2010北京理）（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如

【答案】C

11.（2010广东理）6.如图1,△ABC为三角形，A4f//BB'//CC,CC，平面ABC且

3

3AA=—BB'=CC=AB,则多面体4ABC-A'B'C'的正视图（也称主视图）是

2

【答案】D

12.（2010广东文）

9.如田，为正三角形，平面且，唠多面体的正视图，包称主视图）是

解：由“张氏”垂点法知,选D

13.（2010福建文）3.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于（)

A.B.2

C.2百D.6

【答案】D

【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2,高为1的正三棱柱,

,侧面积为3x2x1=6,选D.

【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。

14.（2010全国卷1文）（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的

体积的最大值为

⑻竽(0273⑼空

【答案】B

【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生

的空间想象能力及推理运算能力.

【解析】过CD作平面PCD,使ABJ.平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为人,则有

'4WWABCD-|X2X|X2X//=|/?（当直径通过AB与CD的中点时，hma=2后丁=2#,故嗑，=手

二、填空题

1.（2010上海文）6.已知四棱椎P-ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA，底面ABCD，且PA=8,

则该四棱椎的体积是____________O

【答案】96

【解析】考查棱锥体积公式V=Lx36x8=96

3

2.（2010湖南文）13.图2中的三个直角三角形是一个体积为20cmz的几何体的三视图，则h=______cm

3.（2010浙江理）（12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是cm\

解析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中|,2.4巾2.|

所给公式计算得体积为144,本题主要考察了对三视图所表达示II

的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题/\3/\

（第12题）

4.（2010辽宁文）（16）如图，网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则

这个多面体最长的一条棱的

p

长为.

解析：填2百画出直观图：图中四棱锥P-ABCO即是,lD

B

所以最长的一条棱的长为PB=26.[来源:Z#xx#k.Com]

5.（2010辽宁理）（15）如图，网格纸的小正方形的边长是1,

出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为

【答案】2G

【命题立意】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，

识图能力以及由三视图还原物体的能力。

【解析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方

的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为

722+22+22=273

6.（2010天津文）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积

为___________

【答案】3

【解析】本题主要考查三视图的基础知识，和主题体积的计算，

属于容易题。

由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图

可知该几何体的高为1,结合三个试图可知该几何体是底面为直

角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为2（1+2及k*

2

【温馨提示】正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可

以确定几何体底面的形状，本题也可以将儿何体看作

是底面是长为3,宽为2,高为1的长方体的一半。

7.（2010天津理）（12）一个几何体的三视图如图所

何体的体积为

…小10

【答案】一

3

轲R山

【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体积的计算，属于容易题。

由三视图可知，该儿何体为一个底面边长为1,高为2的正四棱柱与一个底面边长为2,高为1的正四棱锥

144

组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为2,正四棱锥的体积为-x4xl=-,所以该儿何体的体积V=2+—=

333

10

T

【温馨提示】利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何体的形状，求锥体

体枳时不要丢掉!哦。

3

三、解答题

1.（2010上海文）20.（本大题满分14分）本题共有2个小题第1小题满分7分，第2

小题满分7分.

如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，

总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下

（不安装上底面）.

（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该

最大值（结果精确到0.01平方米）；।।

（2）若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作,出

I二一7一二、

用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.七三二;卷三7

解析：⑴设圆柱形灯笼的母线长为1,则7=1.2-2r（0<X0.6）,

5=-3万（广0.4）'+0.48乃,所以当

r=0.4时:S取得最大值约为1.51平方米；

（2）当仁0.3时，7=0.6,作三视图略.

2.（2010陕西文）18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥—48（力中，底面/以力是矩形为，平面被力，仍留上於2,E,F分别是咫"■的中点.

（I）证明：价1〃平面PAD；

（II）求三棱锥〜/a'的体积V.

解（I）在△咏1中，E,尸分别是心，尸。的中点，.•."'〃比：

又BC//AD,J.EF//AD,

又平面PAD,EAZ平面PAD,

...斯〃平面PAD.

(H)连接施〃；制过£作用〃必交48于点G,

则平面ABCD,且除工序.

2

/y

在△为8中，AD-AB,ZPAB°,小2,二A六A^42,EG=—.

2

=

SA/IK=—AB*BC^—X5/2X2"\/2,

22

11

,EG=—X

33

3.(2010安徽文)19.(本小题满分13分)

如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF〃AB,EF_LFB,NBFC=90°,BF=FC,H为BC

的中点,

(I)求证：FH〃平面EDB;

(II)求证:AC_L平面EDB;

(111)求四面体B—DEF的体积;

【命题意图】本题考查空间线面平行、线面垂直、面

面垂直的判断与证明，考查体积的计算等基础知识,

同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.

【解题指导】(1)设底面对角线交点为G,则可第(19)题图以

通过证明EG〃FH,得产〃〃平面£08；(2)利用

线线、线面的平行与垂直关系，证明FHL平面ABCD,得FH_LBC,FHXAC,进而得EGLAC,ACJ_平面EOB；

(3)证明BFL平面CDEF,得BF为四面体B-DEF的高，进而求体积.

⑴证：设点交方正，则为G的中点，超由于为的需GG/敝HBC

又幽掘为兜行四边肱『G"

=2

EG//FH,而爬她平面:DB；.FH//EDB

(口)证：由四边形ABCD为正方形，有AB_LBC。

又EF//AB,EF±BC。而EF±FB,EF_L平面8FG…EFLFH

HFH.又BF=FG,以为8派中点，.：阳_LBC.

FH_L平面加CD

/.FH±AC又FH11EG,AC_LEG.5LAC_LBD,EGr>BD=G

ACJL平面即E~

(III)解：：EF_L履,NEFC=90°,:8F_L平面CO曲.

BF为四面体B-D后碓高，又BC=AB=2,：,BF=FC=^

%血F=g*g*l*点*应=g.

【规律总结】本题是典型的空间几何问题，图形不是规则的空间几何体，所求的结论是线面平行与垂直以及

体积，考查平行关系的判断与性质.解决这类问题，通常利用线线平行证明线面平行，利用线线垂直证明线

面垂直，通过求高和底面积求四面体体积.

4.(2010四川理)(18)(本小题满分12分)己知正方体48(力一〃的棱长为1,点历是棱力力的中

rv

点，点0是对角线9的中点.

(I)求证：0M为异面直线AA,和BD的公垂线；

匚二、。/

(II)求二面角M-BC-B的大小；

(III)求三棱锥,〃一〃%的体积.

本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体枳等基础知识，并考查空间想象能

力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。

解法•：(1)连结小，取4c中点4,则人为勿的中点，连结0K

因为"是棱4/'的中点，点。是劭'的中点

年

所以4W〃LDD'〃0K

=2=

所以MO/JAK由AA'YAK,得以J_44'

因为AKLBD,AKA_BB',所以4£L平面8"'B'

所以/也加'

所以加LL加'

又因为Q"是异面直线AA'和BD'都相交故为异面直线AA和BE)的公垂线

(2)取防'中点M连结物V',则物归_平面比fB'

过点片作/切工8(7于〃，连结物/

则由三垂线定理得6C'LMH

从而，/杨便为二面角M-BC-B'的平面角

M2\,NH=BnsiiA5"=—

224

在RtXMNH中，tan/M眠四=3=272故二面角M-BC-B'的大小为arctaiil42

NHV2

7

(3)易知，SAWSAM",且△。a'和△arD'都在平面及"A'内

点。到平面物'D'距离力=4

2

V*OB^小MD'—@"rD'--5k.«rffh=—

324

解法二：

以点〃为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz

则4(1,0,0),8(1,1,0),。(0,1,0),4'(1,0,1),。'(0,1,1),〃'(0,0,1)

OMA.AA',OMLBD'

又因为加与异面直线4T和劭'都相交

故为/为异面直线AA,和BU的公垂线.........................4分

(2)设平面BMC的一个法向量为〃]=(x,%z)

BM-(0,-1,—),BC'—(—1,0,1)

2

n.BM=0-y+^Z=0

」―,即

〃i6C'=0

一x+z=0

取z=2,则x=2,y=l,从而％=(2,1,2)

取平面BCR的一个法向量为n2=(0,1,0)

九］n21

COS<72j,n>=

2V91

\n{\\n2\3

由图可知，二面角如BC-8的平面角为锐角[来源:Zxxk.Com]

故二面角上BC-B的大小为arccos—9分

3

(3)易知，5&asr——SABCBK——1-\/2=——

444

设平面。比t的一个法向量为a=（汨,n,zi）

BD'=(-1,—1,1),BC=(—1,0,0)

［温昉=0即厂x「M+4=0

BC=01一芯=0

取Z1=1,得力=1,从而〃3=(。，1，1)

次的距离d=篙嗓邛"一

点M到平面

1„1V2V2_1

言由"=§彳彳=五12分

2010高考题分类汇编一一点、线、面的位置关系

一、选择题

1.（2010浙江理）（6）设/,机是两条不同的直线，a是一个平面，则下列命题正确的是

(A)若/_1_m，mc:a,贝(B)若/_La,l//m,贝

（C）若///a,mcza,则〃（D）若///a,m//a,则///m

【答案】B

解析：选B,可对选项进行逐个检查。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定

定理.，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题

2.（2010江西理）10.过正方体ABCD-A,的顶点A作直线L,与棱

AB,AD,A4所成的角都相等，这样的直线L可以作

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】D

【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类：通过点A位

于三条棱之间的直线有一条体对角线AG.第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条,

合计4条。

3.（2010山东文）（4）在空间，下列命题正确的是

A.平行直线的平行投影重合

B.平行于同一直线的两个平面平行

C.垂直于同一平面的两个平面平行

D.垂直于同一平面的两条直线平行

【答案】D

【解析】由已知，AB=2R,BC=R,故tanZ.BAC=—

2

275

cosZBAC=----

5

连结0M,则△力M为等腰三角形

4-754石

AM=2A0cos乙BAC=」一R,同理AN=R,且MN//CD

55

而AC=下用CD=R

故物的CD=AN:AC

4

=>MN=­R,

5

连结〃伙ON,有0M=0N=R

OM2+0N2-MN217

于是cos/MON=

20MON25

17

所以."、N两点间的球面距离是Rarccos—

25

5.（2010全国卷1文）（6）直三棱柱ABC—44G中，若NBAC=90。，AB^AC^AAt,则异面直线8劣

与AG所成的角等于

（A）30°（B）45°（060°（D）90°

【答案】C

【命题意图】本小题主要考查直三棱柱ABC-A4G的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求

法.

【解析】延长CA到D,使得AO=AC,则AD4G为平行四边形，ND4］就是异面直线

8A与AG所成的角，又三角形为等边三角形，・・•/。48=60°

6.（2010湖北文）4.用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题：

①若a//b,b//c,则。〃c；②若al.b,bA.c,则a_Lc；

③若a//y,b//y,则a〃b；④若aA.y,b1.y,则a〃b.

A.①②氏②③C.①④D.③④

【答案】C

【解析】根据平行直线的传递性可知①正确；在长方体模型中容易观察出②中a、。还

可以平行或导面；③中，、匕还可以相交；④是真命题，故C正确

7.（2010山东理）（3）在空间，下列命题正确的是

（A）平行直线的平行投影重合

（B）平行于同一直线的两个平面平行

（C）垂直于同一平面的两个平面平行

（D）垂直于同一平面的两条直线平行

【答案】D

【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案。

【命题意图】考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。

8.（2010安徽理）8、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为

A、280B、292C、360D、372

【答案】C

【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全

面积加上面长方体的4个侧面积之和。

5=2（10x8+10x2+8x2）+2（6x8+8x2）=360.

【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易

知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体

的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。

二、填空题

1.（2010四川理）（15）如图，二面角1一/一万的大小是60°,线段ABua.Bel,

A3与/所成的角为30°.则AB与平面夕所成的角的正弦值是.

【答案】—

4

【解析】过点/作平面£的垂线，垂足为C,在尸内过C作1的垂线.垂足为D

连结有三垂线定理可知

故为二面角a—/—£的平面角，为60。

又由已知，4ABD=30°

连结CB,则为AB与平面尸所成的角

BD

设/〃=2,贝CD=\

心磊=4

AB4

三、解答题

1.（2010湖南文）18.（本小题满分12分）

如图所示,在长方体ABCT）-A[8]GA中，AB=AD=1,AAi=2,M是棱CG的中

点

（I）求异面直线AM和CD所成的角的正切值；

（H）证明：平面ABML平面ABM

解gl）如图，因为GR〃44,所以/必用为异面直线

4M与CQ,所成的角.

因为4片_L平面BCC,B,，所以N4B|M=90°.

而44=1,8tM=JB\C；+MC：=",故

tanNM1tBi=努-=&.

即异面直线4M和C,D,所成的角的正切值为6.

（II）由44J.平面BCC4，8A/U平面8CG耳.得J.8M.①

由（I）知，耳〃=五，又BM久BC、CM，=丘,B}B=2,所以

22

B{M+BM=则,从而BMLB.M.②

又4耳再由①，②得6Ml平面44时・而BMu平面因此

平面X5”1平面44时.

2.（2010浙江理）（20）（本题满分15分）如图，在矩形A8CD

2

中，点E,歹分别在线段A8,4。上，AE=E8=AF=1ED=4.

沿直线E尸将NAEF翻折成VAEF,使平面

AEF±平面BE/.

(I)求二面角A—ED—C的余弦值；

(II)点V,N分别在线段尸上，若沿直线MN将四边形MNCO向上翻折，使C与A重合，求线段

FM的长。

解析：本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能

力和运算求解能力。

(I)解：取线段EF的中点H,连结AH，因为A'E=A'F及H是

EF的中点，所以A'HLEF,FH

又因为平面A'EF_L平面BEF./JN

如图建立空间直角坐标系A-xyz//

步一一/c

则A'(2,2,20),C(10,8,0),7'-

、(第

F(4,0,0),D(10,0,0).

故FA'=(-2,2,2V2),FD=(6,0,0).

设n=(x,y,z)为平面AFD的一个法向量，

〃_2x+2y+2,\/2z-0

所以<

6x=0.

取2=亚，则方=(0,—2,0)。

又平面BEF的一个法向量比=(0,0,1),

u/___、ninV3

故COS<H,m)=er=­o

\n\3

所以二面角的余弦值为且

3

(H)解：设FM=尤，则M(4+x,0,0),

因为翻折后，。与A重合，所以。

故，(6—尤)2+8z+02=(>24k2+22+2722,得方=一，

4

经检验，此时点N在线段8c上，

21

所以FM=—。

4

方法二：

(1)解：取线段的中点“，AF的中点G,连结

A'G,A'H,GH。

因为A'E=A'F及”是EF的中点，

所以4'”

(把20起)

又因为平面A'E/J.平面3EF,

所以A'"J_平面BEF,

又AFu平面BE/，

故A'”±AF,

又因为G、H是AF、EF的中点，

易知G“〃A6,

所以GH1AF,

于是AE，面A'G",

所以NA'GH为二面角一。的平面角，

在即4G"中，A'"=2&,G”=2,A'G=2g

所以cos/A'G”=—.

3

故二面角A'-DF-C的余弦值为—。

3

(H)解：设FM=x,

因为翻折后，。与4重合,

所以CM=A'M,

而CM2=℃2+DM2=82+(6-X)2,

A'M2=A'H2+MH2=A'H2+MG2+GH2=(2回2

经检验，此时点N在线段BC上,

21

所以77M

T

3.(2010全国卷2)(19)如图，直三棱柱A8C-44G中，AC=BC,AAl=AB,3为34的中点,

E为AB】上的一点，AE=3>EB].(■(.

(I)证明：OE为异面直线与8的公垂线；\\\

(H)设异面直线4片与CD的夹角为45°,求二面角/二火)

At—ACt—Bt的大小.

【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考

生的空间想象与推理计算的能力.

【参考答案】

(19)解法一：

(I)连接AB,记AR与ABi的交点为F.

因为面AABBi为正方形，故ABLAB”且AF=FB”又AE=3EB”所以FE=EB”又D为BB1的中点，故DE〃BF,

DEXAB,.............3分

作CG_LAB,G为垂足，由AC=BC知,G为AB中点.

又由底面ABC_L面AABB.连接DG,则DG〃AB”故DE_LDG,由三垂线定理，得DEJ_CD.

所以DE为异面直线AB.与CD的公垂线.

(II)因为DG〃ABi,故NCDG为异面直线ABi与CD的夹角,ZCDG=45°

作BiHLAG,H为垂足,因为底面ABC」面AACG,故8田_1_面AAQC.又作HKLAC,K为垂足，连接BiK,

由三垂线定理,得BiK±AC„因此NBiKH为二面角ALACLBI的平面角.

一说法一百2&

,AG一石.

HCX=JBC-BW=y,

.3+(用

//K=AALXWGSS2^

Ag3V7

=幽=8.

HK

所以二面角A-AG-8]的大小为arctan4?....

解法二：

(1)以8为坐标原点，射线明为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角4

B-xyz.

设AB=2,则4(20.0).5,(0,2,0),0(0.1.0),£(1,-,0).

22

又设C(I,0,c3则读=(；.；,0),8]=(2-20),DC=(L-U).…”

于是瓦•百K=0.DEDC=Q.

故DE1.B.A,DEIDC.

所以DE为异面真线相与CD的公垂线.....

<H>因为〈不.反〉等于异面直线因与CD的夹角，

故雨衣=1而II反Icos450.

即2近xjc、2x三=4.

2

M得c=&,故/X-L0.a).

又双=瓯=(020),

所以公尸而+羽=(-12&).

设平面仪G的法向依为m»(x,y,z)»

JWmXC,*0.m-AAjsO.

即-x+2y+&z=0li2y=0.

令x=4i、则z=l，y=0.故所=(a.0.1).

设平面Afi^G的法向收为/i^(p.q,r),

则n-AQ=0»“闺/=0,

即-p+2^+y/lr=0»2p—2q-Q.

令p=G.,则q=近，r=-1>故”=(&.a.T).

所以cos(m,n)=-^-^-ss-JL.

ImllnlV15

由于〈mm〉等于二面角A-4CJ-居的平面角，一

所以二面角A,-4G的大小为arccos坐.

【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，

同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡

化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立

体几何问题的独到之处.

4.(2010北京文)(17)(本小题共13分)

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂

EF//AC,AB=V2,CE=EF=1

(I)求证：AF〃平面BDE；

(II)求证:CFL平面BDF;

证明：(I)设AC于BD交于点G。因为EF〃AG,且

所以四边形AGEF为平行四边形

所以AF〃EG

因为EGu平面BDE,AF(Z平面BDE,

所以AF〃平面BDE

(II)连接FG。因为EF〃CG,EF=CG=1,

行四边形CEFG为菱形。所以CF_LEG.

因为四边形ABCD为正方形，所以BD_LAC.又因为平面ACEF1.平面ABCD,且平面ACEF。平面ABCD=AC,

所以BD_L平面ACEF.所以CF±BD.又BDAEG=G,所以CF_L平面BDE.

5.(2010天津文)(19)(本小题满分12分)

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FAJ_平面ABCD,BC/7AD,CD=1,AD=,ZBAD=Z

CDA=45°.

(I)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；

(II)证明CD_L平面ABF；

(III)求二面角B-EF-A的正切值。

【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础

知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力.满分12分.

⑴解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA//ED.故NCEO为异面直线CE

与AF所成的角.

因为FAJ_平面ABCD,所以FAJ.CD.故ED_LCD.

__________2j2

在RtZ\CDE中，CD=1,ED=2-72,CE=Jc。？+ED，=3,故cosNCED=:—=—

CE3

所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为—.

3

(H)证明：过点B作BG//CD,交AD于点G,则ZBGA=ZCDA=45°.由NBAD=45°,可得BG1AB,从

而CD_LAB,又CD_LFA,FAcAB=A,所以CD_L平面ABF.

(in)解：由(II)及已知，可得AG=JL即G为AD的中点.取EF的中点N,连接GN,则GN_LEF,因为

BC//AD,所以BC//EF.过点N作NM1EF,交BC于M,则4GNM为二面角B-EF-A的平面角。

历

连接GM,可得AD,平面GNM,故AD_LGM.从而BC1GM.由已知，可得GM=—.由NG//FA,FA_LGM,得

2

NG1GM.

在RtZ\NGM中，tanNGNM=当=1,

NG4

所以二面角B-EF-A的正切值为

4

6.(2010天津理)(19)(本小题满分12分)

如图，在长方体ABC。—A4G2中，E、尸分别是棱BC,CG>>.才，I

上的点，AB=2CE,=1:2:4

(1)求异面直线EF与4。所成角的余弦值;

d-----------------

(2)证明4EJ.平面\ED

(3)求二面角4—ED-尸的正弦值。

【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立

体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分12分。

方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，

点A为坐标原点，设AB=1,依题意得。(0,2,0),

“1,2,1),4(0,0,4),0〕

(1)解：易得呼=(o,g,l),而=(0,2,-4)

于是cos(瓯而)=i£留

\/怛川4。|5

3

所以异面直线EF与4。所成角的余弦值为-

15

(2)证明：已知衣=(1,2,1),两=(—1,—1,4)防=1—

于是赤•可=0,而•丽=0.因此，又EAcED=E

所以AF_L平面AtED

-[UEF=O；y+z=。

(3)解：设平面EfO的法向量M=(x,y,z)，则《_____，即

uED—011八

I3»-x+—y=0

I2，

~》—>

不妨令X=l,可得〃=(1,2—1)。由(2)可知，AF为平面A|ED的一个法向量。

—>—>―

于是卜平绅=彳，从而sin(〃，A>F)¥

\'帽AFI\/3

所以二面角A,-ED-F的正弦值为—

13

方法二：(1)解：设AB=1,可得AD=2,AAi=4