八年级上学期轴对称练习题

八年级上学期轴对称练习题精选

解答题

1.如图，△ABC中，O是BC的中点，D是NBAC平分线上的一点，且DOLBC,过点D分别作DM_LAB于M,

DN_LAC于N.

求证：BM=CN.

2.如图，△ABC中，点D在BC上，AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F,若NFAC=NB,

求证：AD平分NBAC.

3.如图，△ABC中，AB>AC,DF垂直平分BC交△BAC的外角平分线AD于点D,F为垂足，DELAB于E,

连接BD,CD.求证：ZDBE=ZDCA.

BFC

4.(2013・荆门)如图1,在△ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，点E在AD上.

(1)求证：BE=CE；

(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF_LAC,垂足为ENBAC=45。，原题设其它条件不变.求证:

△AEF空△BCF.

5.(2013•东营)(1)如图(1),已知：在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD_L直线m,CE±

直线m,垂足分别为点D、E.

证明：DE=BD+CE.

(2)如图(2),将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线m上，并且有

ZBDA=ZAEC=ZBAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；

若不成立，请说明理由.

(3)拓展与应用：如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合)，点F为

ZBAC平分线上的一点，且4ABF和小ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若NBDA=ZAEC=NBAC,试判断

△DEF的形状.

6.（2004・十堰）如图，已知△ABC中，AB=AC,D、E分别是AB和BC上的点，连接DE并延长与AC的延长线

交于点F,若DE=EF,求证：BD=CF.

7.（2012•仪陇县模拟）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA,PB,PC,以BP为边作NPBQ=60。，且

BQ=BP,连接CQ.观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.

8.（2012・泸州）如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE,使点E、A

在直线DC的同侧，连接AE.

求证：AEIIBC.

9.已知：如图，点C为线段AB上一点，AACM,△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E,BM交CN于点F.

（1）求证：AN=BM；

（2）求证：ACEF为等边三角形.

B

10.题目：如图1,△ABD,AAEC都是等边三角形，求证：BE=DC.由已知易证△ABE2△ADC,得BE=DC.

图1图2图3

扩变：

1.如图2,若AABD,△AEC都是等腰直角三角形，ZD=ZE=90°,那么BE=DC吗？

2.如图3,若四边形ABFD、四边形ACGE都是正方形，(1)那么BE=DC还成立吗？(2)

BE±DC.图4图5

3.如图4,若点A在线段BC上，△ABD,△AEC都是等边三角形，那么BE=DC吗？

4.在3题的条件下，若AD与BE交于F点，AE与CD交于G点，如图5.

(1)AF=AG吗？

(2)AAFG是等边三角形吗？为什么？

11.如图，已知NMAN=120。，AC平分NMAN.B、D分别在射线AN、AM±.

(1)在图(1)中，当NABC=NADC=90。时，求证：AD+AB=AC.

(2)若把(1)中的条件“NABC=NADC=90。”改为NABC+NADC=180。，其他条件不变,如图(2)所示.则(1)

12.(2013・六盘水)(1)观察发现

如图(1)：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P,使AP+BP的值最小，做法如下：

作点B关于直线m的对称点连接AB，，与直线m的交点就是所求的点P,线段AB，的长度即为AP+BP的

AD是高，在AD上找一点P,使BP+PE的值

最小，做法如下：

作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P,故BP+PE的最小值

为.

(2)实践运用

如图(3)：已知。0的直径CD为2,AC的度数为60。，点B是AC的中点，在直径CD上作出点P,使BP+AP

的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为

(3)拓展延伸

如图(4)：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M,点N,使PM+PN的值最小，保留作图

痕迹，不写作法.

13.(2009•益阳)如图，△ABC中，已知2BAC=45°,AD_LBC于D,BD=2,DC=3,求AD的长.

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.

请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：

(1)分别以AB、AC为对称轴，画出AABD、AACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F,延长EB、FC相交

于G点，证明四边形AEGF是正方形；

(2)设AD=x,利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.

14.(2008•恩施州)如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB_LBD,ED±BD,连接AC、EC.已知

AB=2,DE=1,BD=8,设CD=x.

（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；

（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小;

（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式值京+J（i2-x）2+9的最小值.

15.（2013•石景山区一模）问题解决：

己知：如图，D为AB上一动点，分别过点A、B作CA_LAB于点A,EB_LAB于点B,联结CD、DE.

（1）请问：点D满足什么条件时，CD+DE的值最小？

（2）若AB=8,AC=4,BE=2,设AD=x.用含x的代数式表示CD+DE的长（直接写出结果）.

拓展应用：

参考上述问题解决的方法，请构造图形，并求出代数式d+J（4.x）2+4的最小值.

16.（2012•青田县模拟）为了探索代数式值［+［（8-x）2+25的最小值，小明巧妙的运用了"数形结合"思想•具

体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB_LBD,ED±BD,连接AC、EC.已知AB=1,

DE=5,BD=8,设BC=x.则CE=V（8-x）2+25f则问题即转化成求AC+CE的最小值.

（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得名居1M作一x）2+25的最小值

等于,此时x=；

（2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式值京Ma2-x）2+9的最小值.

17.（2012•漂水县一模）七年级我们曾学过"两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关

问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：

如图1,已知，A,B在直线1的同一侧，在1上求作一点，使得PA+PB最小.

我们只要作点B关于1的对称点B-（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB'.因此，求AP+BP最小就相当于求

AP+PB，最小，显然当A、P、B，在一条直线上时AP+PB，最小，因此连接AB，，与直线1的交点就是要求的点P.

有很多问题都可用类似的方法去思考解决.

探究：

（1）如图3,正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点，P是BD上一动点.连接EP,CP,则EP+CP的最小值

是;

运用：

（2）如图4,平面直角坐标系中有三点A（6,4）、B（4,6）、C（0,2）,在x轴上找一点D,使得四边形ABCD

的周长最小，则点D的坐标应该是；

操作：

（3）如图5,A是锐角MON内部任意一点，在NMON的两边OM,ON上各求作一点B,C,组成△ABC,使^ABC

周长最小.（不写作法，保留作图痕迹）

18.（2010•江干区模拟）已知A,B两点在直线1的同侧，试用直尺（没有刻度）和圆规，在1上找两点C和D（CD

的长度为定值）使得最短.（不要求写画法）

a,ABC+CD+DB

八I

Ca

19.为庆祝60年国庆圣典，阳光中学八年级（2）班举行一次文艺晚会，桌子摆成两真线（如图：AO,OB）AO

桌子上摆满苹果，BO桌子上摆满桔子，坐在C处的小华想先拿苹果再拿桔子，然后回到座位C处，NAOB小于

90度，请你帮助他设计一条行走路线，使小华所走路程最短.请作出路线图，并用字母表示所走路线.（保留作图

痕迹，不写作法、不必说明理由）

20.作图题：要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论.

（1）如图所示，104国道OA和327国道OB在曲阜市相交于O点，在NAOB的内部有工厂C和D,现要建一个

货站P,使P到OA和OB的距离相等，且使PC=PD,用尺规作出P点的位置.

（2）在图中直线上找到一点M,使它到A、B两点的距离和最小.

•DB

（1）题图（2）题图

21.如图（1）,A,B两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线Li、L2是街道两边沿），现准备合作修建一座过

街人行天桥.

（1）天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短？在图（2）中作出此时桥PQ的位置，简要叙述作法

并保留作图痕迹.（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）.

（2）根据图（1）中提供的数据计算由A经过天桥走到B的最短路线的长.（单位：米）

八年级上学期轴对称练习题精选

参考答案与试题解析

—.解答题（共21小题）

1.如图，△ABC中，O是BC的中点，D是NBAC平分线上的一点，且DO_LBC,过点D分别作DM_LAB于M,

DNJ_AC于N.

求证：BM=CN.

考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质.

专题：证明题.

分析：根据。是BC的中点，DOLBC,可知OD是BC的垂直平分线，那么BD=CD,而AD是NBAC的平分线,

DM_LAB,DN_LAC,根据角平分线的性质可得DM=DN,再根据HL可判定RtZSBMD叁RtACND,从而

有BM=CN.

解答：证明：连接BD,CD,如图，

.0是BC的中点，DOJLBC,

0D是BC的垂直平分线，

BD=CD,

；AD是NBAC的平分线，DM_LAB,DN_LAC,

DM=DN,

在RtABMD和RtACND中，

[BD=CD,

1DM=DN'

RtABMD合RtACND,

/.BM=CN.

D

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的定义以及

性质，掌握角平分线的性质以及具体的应用.

2.如图，△ABC中，点D在BC上，AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F,若NFAC=NB,

求证：AD平分NBAC.

考点：线段垂直平分线的性质.

专题：证明题.

分析：由EF是ADAD的垂直平分线，可得AF=DF,然后由等边对等角，可证得NEAF=NEDF,然后利用三角形

外角的性质与NFAC=ZB,可证得AD平分NBAC.

解答：解：・；EF是ADAD的垂直平分线，

11•AF=DF,

ZEAF=NEDF,

•••ZEAF=NFAC+ZCAD,ZEDF=NBAD+ZB,

又：ZFAC=NB,

ZBAD=ZCAD,

即AD平分ZBAC.

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质以及角平分线的定义.此题难度不大，注意掌握数

形结合思想的应用.

3.如图，△ABC中，AB>AC,DF垂直平分BC交△BAC的外角平分线AD于点D,F为垂足，DE_LAB于E,

连接BD,CD.求证：ZDBE=NDCA.

考点：线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质.

专题：证明题.

分析：过D作DG_LAC,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BD=CD,根据角平分线上的

点到角的两边的距离相等可得DE=DG,然后利用"HL"证明RSDBE和RtADCG全等，根据全等三角形对

应角相等证明即可.

解答：证明：过D作DGJ_AC,

1­•DF是BC的垂直平分线，

二.BD=DC,

,「AD是△ABC的外角平分线，DE_LAB,DG±AC,

DE=DG,

/DE±AB,DG±AC,

/.ZDEB=ZDGC=90°,

,/在RtADBE和RtADCG中，

[BD=DC,

lDE=DG，

RtADBE和RtADCG(HL),

ZDBE=ZDCA.

G

点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相

等的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.

4.(2013•荆门)如图1,在aABC中，AB=AC,点D是BC的中点，点E在AD上.

(1)求证：BE=CE；

(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF,AC,垂足为ENBAC=45。，原题设其它条件不变.求证:

△AEFtABCF.

考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.

专题：证明题.

分析：(1)根据等腰三角形三线合一的性质可得/BAE=ZEAC,然后利用“边角边"证明△ABE和^ACE全等,

再根据全等三角形对应边相等证明即可；

(2)先判定△ABF为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得AF=BF,再根据同角

的余角相等求出NEAF=NCBF,然后利用"角边角"证明△AEF和ABCF全等即可.

解答：证明：(I)'/AB=AC,D是BC的中点，

ZBAE=ZEAC,

'AB=AC

在4ABE和^ACE中，，ZBAE=ZEAC，

,AE=AE

△AB故AACE(SAS),

BE=CE；

(2)ZBAC=45。，BF_LAF,

二△ABF为等腰直角三角形，

AF=BF,

AB=AC,点D是BC的中点，

AD±BC,

ZEAF+zC=90°,

•••BF_LAC,

ZCBF+zC=90°,

ZEAF=ZCBF,

rZEAF=ZCBF

在^AEF和^BCF中，•AF=BF，

,ZAFE=ZBFC=90°

△AEF合△BCF(ASA).

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的判定与性质，同角

的余角相等的性质，是基础题，熟记三角形全等的判定方法与各性质是解题的关键.

5.(2013•东营)(1)如图(1),已知：在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BDJ_直线m,CE±

直线m,垂足分别为点D、E.

证明：DE=BD+CE.

(2)如图(2),将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线m上，并且有

ZBDA=ZAEC=NBAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；

若不成立，请说明理由.

(3)拓展与应用：如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合)，点F为

NBAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若NBDA=NAEC=NBAC,试判断

△DEF的形状.

DAEm

（图1）（图2）（图3）

考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定.

分析：（1）根据BDJ_直线m,CE_L直线m得NBDA=NCEA=90。，而NBAC=90。，根据等角的余角相等得

ZCAE=ZABD,然后根据"AAS”可判断△ADB"△CEA,

则AE=BD,AD=CE,于是DE=AE+AD=BD+CE；

（2）与（1）的证明方法一样；

（3）与前面的结论得到△ADB合△CEA,则BD=AE,NDBA=NCAE,根据等边三角形的性质得

ZABF=ZCAF=60°,贝IJNDBA+ZABF=ZCAE+ZCAF,KUDBF=ZFAE,

利用"SAS”可判断△DBmAEAF,所以DF=EF,NBFD=NAFE,于是

ZDFE=ZDFA+ZAFE=ZDFA+ZBFD=60°,根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形.

解答：证明：（1）BD_L直线m,CEJ•直线m,

ZBDA=NCEA=90°,

ZBAC=90°,

ZBAD+ZCAE=90°,

ZBAD+ZABD=90°,

ZCAE=ZABD,

,/在^ADB和^CEA中

rZABD=ZCAE

,NBDA=NCEA，

AB二AC

△ADB些△CEA（AAS）,

.0.AE=BD,AD=CE,

/.DE=AE+AD=BD+CE；

（2）•/ZBDA=ZBAC=a,

ZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=180°-a,

ZCAE=ZABD,

,/在^ADB和^CEA中

，ZABD=ZCAE

<ZBDA=ZCEA-

AB=AC

△ADBM△CEA(AAS),

AE=BD,AD=CE,

DE=AE+AD=BD+CE；

(3)由(2)知，△ADB2△CEA,

BD=AE,ZDBA=NCAE,

•；AABF和△ACF均为等边三角形，

ZABF=ZCAF=60°,

ZDBA+ZABF=ZCAE+ZCAF,

ZDBF=NFAE,

­,•BF=AF

在^DBF和△EAF中

'FB=FA

,ZFBD=ZFAE，

BD=AE

二△DB碎△EAF(sas),

DF=EF,ZBFD=ZAFE,

ZDFE=NDFA+ZAFE=ZDFA+ZBFD=60",

&DEF为等边三角形.

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有"SSS"、"SAS"、"ASA"、"AAS"；全等三

角形的对应边相等.也考查了等边三角形的判定与性质.

6.(2004・十堰)如图，已知△ABC中，AB=AC,D、E分别是AB和BC上的点，连接DE并延长与AC的延长线

交于点F,若DE=EF,求证：BD=CF.

考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质.

专题：证明题.

分析：过D作DGIIAF交BC于G,证明△DGE合△FCE,得出DG=CF,再证明DB=DG,通过等量代换得至I」BD=CF.

解答：证明：过D作DGIIAF交BC于G,如图，

贝此F=NGDE,DE=EF,ZDEG=NFEC

△DGE2AFCE(ASA),

GD=CF,

AB=AC,

ZB=NACB,

又；DGIIAF,

ZACB=NBGD,

ZB=ZBGD,

..BD=GD,

又「GD=CF,

/.BD=CF.

点评：本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；解题中主要利用全等三角形对应边相等和等角

对等边的性质解答，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，也是难点.

7.（2012・仪陇县模拟）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA,PB,PC,以BP为边作NPBQ=60。，且

BQ=BP,连接CQ.观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.

考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质.

专题：探究型.

分析：先猜想AP=CQ,再在△ABP与ACBQ中，由AB=CB,BP=BQ,ZABC=ZPBQ=60。可得出NABP=NCBQ,

进而可判断出△ABa△CBQ,由全等三角形的对应边相等即可得出结论.

解答：猜想：AP=CQ

证明：在AABP与zlCBQ中，

AB=CB,BP=BQ,NABC=NPBQ=60°,

ZABP=ZABC-ZPBC=ZPBQ-ZPBC=ZCBQ,

二.AABPSACBQ,

AP=CQ

点评：本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，根据题意判断出△ABP合△CBQ是解答此题

的关键.

8.（2012•泸州）如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE,使点E、A

在直线DC的同侧，连接AE.

考点：全等三角形的判定与性质；平行线的判定；等边三角形的性质.

专题：证明题.

分析：根据等边三角形性质推出BC=AC,CD=CE,ZABC=ZBCA=ZECD=60°,求出NBCD=NACE,根据SAS

证^ACE空△BCD,推出NEAC=ZDBC=ZACB,根据平行线的判定推出即可.

解答：证明：•・•△ABC和4DEC是等边三角形，

BC=AC,CD=CE,ZABC=NBCA=ZECD=60°,

ZBCA-ZDCA=ZECD-ZDCA,

即NBCD=ZACE,

,1•在4ACE和^BCD中

'AC=BC

■NACE=/BCD，

CD=CE

△ACE2ABCD(SAS),

ZEAC=NB=60°=NACB,

AEIIBC.

点评：本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，关键是求出△ACE2△BCD,主

要考查学生的推理能力.

9.已知：如图，点C为线段AB上一点，AACM,△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E,BM交CN于点F.

(1)求证：AN=BM；

(2)求证：ACEF为等边三角形.

考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质.

专题：证明题.

分析：(1)由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△ACN2△MCB,结论得证；

(2)由(1)中的全等可得NCAN=NCMB,进而得出NMCF=NACE,由ASA得出△CAE2△CMF,即

CE=CF,又ECF=60°,所以△CEF为等边三角形.

解答：证明：(1)&ACM,ACBN是等边三角形，

AC=MC,BC=NC,ZACM=ZNCB=60°,

ZACM+ZMCN=NNCB+ZMCN,即NACN=ZMCB,

在小ACN和4MCB中，

'AC=MC

ZACN=ZMCB，

,NC=BC

△ACN2△MCB(SAS),

AN=BM.

(2)ACAN号ACMB,

ZCAN=ZCMB,

又ZMCF=180°-ZACM-ZNCB=180°-60°-60°=60°,

ZMCF=ZACE,

在4CAE^HACMF中，

，ZCAE=ZCMF

CA=CM，

,ZACE=ZMCF

，△CAEV△CMF(ASA),

CE=CF,

CEF为等腰三角形，

又丫ZECF=60°,

CEF为等边三角形.

点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟练运用.

10.题目：如图1,△ABD,AAEC都是等边三角形，求证：BE=DC.由已知易证△ABE2△ADC,得BE=DC.

图1图2图3

扩变：

1.如图2,若4ABD,△AEC都是等腰直角三角形，ND=NE=90。，那么BE=DC吗？

2.如图3,若四边形ABFD、四边形ACGE都是正方形，(1)那么BE=DC还成立吗？(2)

BE±DC.图4图5

3.如图4,若点A在线段BC上，△ABD,AAEC都是等边三角形，那么BE=DC吗？

4.在3题的条件下，若AD与BE交于F点，AE与CD交于G点，如图5.

(1)AF=AG吗？

(2)AAFG是等边三角形吗？为什么？

考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质.

专题：证明题.

分析：1、由AABD,△AEC都是等腰直角三角形得到AB=&AD,AC=&AE,NDAB=NEAC=45。，由于

NDAC=NBAE,则可判断△ABE和△ADC不全等，于是BE与DC不相等.

2、(1)根据正方形的性质得到AB=AD,AC=AE,ZDAB=ZEAC=90%则NDAC=NBAE,根据"SAS"可

判断△ABE空AADC,则BE=DC；

(2)由^ABE2△ADC,则NAEB=ZACD,而NBNC=ZANE,于是NACD+ZBNC=ZAEB+ZANE=90°,

即BE±DC；

3、根据等边三角形的性质得到AB=AD,AC=AE,ZDAB=ZEAC=60%则NDAC=NBAE,根据"SAS"可

判断△ABE空△ADC,则BE=DC；

4、(1)由△ABE2△ADC得到NABE=NADC,根据"AAS”可判断△ABF合△ADG(ASA),则AF=AG；

(2)由于AF=AG,而NDAE=60。，根据等边三角形的判定方法可得到△AFG是等边三角形.

解答：解：1.BEwDC.理由如下：

△ABD,△AEC都是等腰直角三角形，

AB=V5^D,AC=V2AE,ZDAB=ZEAC=45。，

ZDAC=NBAE.

△人8£和^ADC不全等，

BE与DC不相等.

2.(1)BE=DC成立.理由如下：

•四边形ABFD、四边形ACGE都是正方形，

AB=AD,AC=AE,ZDAB=ZEAC=90°,

ZDAC=ZBAE,

在^ABEWAADC中

'AB二AD

-NBAE=DAC>

AE=AC

AABEMAADC(SAS),

BE=DC；

(2)BE±DC.理由如下：AC与BE相交于N点，

；AAB室△ADC,

ZAEB=ZACD,ffijzBNC=NANE.

ZACD+ZBNC=ZAEB+ZANE=90°,

BE±DC；

3.BE=DC.理由如下：

•••△ABD,△AEC都是等边三角形，

AB=AD,AC=AE,ZDAB=ZEAC=60o,

ZDAC=NBAE,

在4ABE^HAADC中

'AB=AD

-ZBAE=DAC，

AE=AC

△ABE空△ADC(SAS),

BE=DC；

4.(1)AF=AG.理由如下：

；AAB室AADC,

ZABE=NADC.

在小ABF^HAADG中

'AB=AD

,ZBAF=ZDAG-

,ZABF=ZADG

AABFgAADG(ASA),

AF=AG.

(2)4AFG是等边三角形.理由如下：

AF=AG,

而NDAE=60。，

AFG是等边三角形.

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等;

全等三角形的对应边相等.也考查了等腰直角三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质以及等边

三角形的判定与性质.

11.如图，已知NMAN=120。，AC平分NMAN.B、D分别在射线AN、AM±.

(1)在图(1)中，当NABC=NADC=90。时，求证：AD+AB=AC.

(2)若把(1)中的条件“NABC=NADC=90。”改为NABC+NADC=180。，其他条件不变，如图(2)所示.则(1)

中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

图1图2

考点：全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形.

分析：(1)由题中条件可得，ZDCA=NBCA=30。，在直角三角形中可得AC=2AD,AC=2AB,所以AD+AB=AC.

(2)在AN上截取AE=AC,连接CE,可得△CAE为等边三角形，进而可得△AD8&EBC,即DC=BC,

DA=BE,进而结论得证.

解答：(1)证明：••,NMAN=120。，AC平分NMAN,

ZDAC=NBAC=60°

ZABC=ZADC=90°,

ZDCA=NBCA=30°,

在RtAACD中，NDCA=30。，RsACB中，NBCA=30。

AC=2AD,AC=2AB,

AD+AB=AC；

(2)解：结论AD+AB=AC成立.

理由如下：在AN上截取AE=AC,连接CE,

ZBAC=60°,

△CAE为等边三角形，

AC=CE,ZAEC=60°,

ZDAC=60°,

ZDAC=ZAEC,

•••ZABC+ZADC=180°,ZABC+ZEBC=180",

ZADC=NEBC,

△ADS△EBC,

DC=BC,DA=BE,

AD+AB=AB+BE=AE,

AD+AB=AC.

ABN

图1图2

点评：本题主要考查了30。的直角三角形的边角关系以及全等三角形的判定和性质问题，能够利用其性质求解一些

简单的计算、证明问题.

12.(2013•六盘水)(1)观察发现

如图(1)：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P,使AP+BP的值最小，做法如下：

作点B关于直线m的对称点B、连接AB，，与直线m的交点就是所求的点P,线段AB，的长度即为AP+BP的

最小值.

图(1)图(2)

如图(2)：在等边三角形ABC中，AB=2,点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P,使BP+PE的值

最小，做法如下：

作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P,故BP+PE的最小值

为_V3—•

(2)实践运用

如图(3)：已知OO的直径CD为2,AC的度数为60°,点B是AC的中点，在直径CD上作出点P,使BP+AP

的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为

如图(4)：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M,点N,使PM+PN的值最小，保留作图

痕迹，不写作法.

考点：圆的综合题；轴对称-最短路线问题.

分析：(1)观察发现：利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值；由AB=2,点E是AB的中点，根据等边三角

形的性质得到CE_LAB,NBCE=』ZBCA=30。，BE=1,再根据含30度的直角三角形三边的关系得CE=«；

2

(2)实践运用：过B点作弦BELCD,连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB,根据垂径定理

得至I」CD平分BE,即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP+AP的最小值；

由于蓝的度数为60。，点B是正'的中点得到NBOC=30。，ZAOC=60°,所以NAOE=6(T+3(T=90。，于是可

判断△OAE为等腰直角三角形，则AE=&OA=&；

(3)拓展延伸：分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F,然后连结EF,EF交AB于M、交BC于N.

解答：解：(1)观察发现

如图(2),CE的长为BP+PE的最小值，

,在等边三角形ABC中，AB=2,点E是AB的中点

CE±AB,NBCE」NBCA=30。，BE=1,

__2

CE=V3BE=V3：

故答案为F；

(2)实践运用

如图(3),过B点作弦BE_LCD,连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB,

11•BEJLCD,

.〔CD平分BE,即点E与点B关于CD对称，

•••AC的度数为60。，点B是AC的中点,

ZBOC=30。，ZAOC=60°,

ZEOC=30\

ZAOE=60°+30°=90°,

OA=OE=1,

AE=V^OA=我，

•••AE的长就是BP+AP的最小值.

故答案为J，；

（3）拓展延伸

如图（4）.

点评：本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中经常用到，同

时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称-最短路径问题.

13.（2009•益阳）如图，△ABC中，已知NBAC=45°,AD_LBC于D,BD=2,DC=3,求AD的长.

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.

请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：

（1）分别以AB、AC为对称轴，画出AABD、AACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F,延长EB、FC相交

于G点，证明四边形AEGF是正方形；

（2）设AD=x,利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.

考点：翻折变换（折叠问题）.

专题：综合题.

分析：（1）：先根据△ABD2AABE,△ACD^ACF,得出NEAF=90。：再根据对称的性质得到AE=AF,从而

说明四边形AEGF是正方形；

（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x-2）2+（x-3）2=52,求出AD=x=6.

解答：（1）证明：由题意可得：△ABD合△ABE,△ACD空△ACF.（1分）

ZDAB=ZEAB,ZDAC=ZFAC,又NBAC=45。.

ZEAF=90°.（3分）

又；AD±BC,

ZE=NADB=90°,ZF=NADC=90".（4分）

又1,AE=AD,AF=AD,

AE=AF.（5分）

二四边形AEGF是正方形.（6分）

(2)解:设AD=x,则AE=EG=GF=x,(7分)

BD=2,DC=3,

BE=2,CF=3.

BG=x-2,CG=x-3.(9分)

在RtABGC中，BG2+CG2=BC2

(x-2)2+(x-3)2=52(11分)，

(x-2)2+(x-3)2=52,化简得，x2-5x-6=0.

解得Xl=6,X2=-l(舍)，

所以AD=x=6(12分).

点评：本题考查图形的翻折变换和利用勾股定理，建立关于x的方程模型的解题思想.要能灵活运用.

14.（2008•恩施州）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB_LBD,ED±BD,连接AC、EC.已知

AB=2,DE=1,BD=8,设CD=x.

（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；

（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小；

（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式必存+,（12-x）2+9的最小值.

考点：轴对称-最短路线问题.

专题：综合题；动点型.

分析：（1）由于△ABC和ACDE都是直角三角形，故AC,CE可由勾股定理求得；

（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和〉第三边知，AC+CEAAE,故当A、C、E三

点共线时，AC+CE的值最小；

（3）由（1）（2）的结果可作BD=12,过点B作ABJ_BD,过点D作ED_LBD,使AB=2,ED=3,连接

AE交BD于点C,则AE的长即为代数式疗%+日（12.x）的最小值,然后构造矩形AFDB,

RtAAFE,利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值.

解答：解：mJ（8-x）2+4+必?（2分）

（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；（4分）

（3）如右图所示，作BD=12,过点B作AB_LBD,过点D作ED_LBD,使AB=2,ED=3,连接AE交BD

于点C,设BC=x,则AE的长即为代数值京+J（12-x）2+9的最小值.

过点A作AFIIBD交ED的延长线于点F,得矩形ABDF,

贝|JAB=DF=2,AF=BD=12,EF=ED+DF=3+2=5,

所以AE=7AF2+EF2=V122+52=13,

即2+9的最小值为13.（8分）

点评：本题利用了数形结合的思想，求形如值q+Ja2-x）2+9的式子的最小值,可通过构造直角三角形,

利用勾股定理求解.

15.（2013•石景山区一模）问题解决：

己知：如图，D为AB上一动点，分别过点A、B作CAJ_AB于点A,EB_LAB于点B,联结CD、DE.

（1）请问：点D满足什么条件时，CD+DE的值最小？

（2）若AB=8,AC=4,BE=2,设AD=x.用含x的代数式表示CD+DE的长（直接写出结果）.

拓展应用：

参考上述问题解决的方法，请构造图形，并求出代数式d+,（4一X）2+4的最小值.

考点：轴对称-最短路线问题.

分析：（1）由两点之间线段最短可知：当点D、C、E三点在一条直线上时，CD+DE的值最小；

（2）根据勾股定理计算即可；

（3）过点E作AB的平行线交CA的延长线于点F,再证明四边形AFEB是矩形，根据矩形的性质和勾股

定理即可出代数式（4一X）2+4的最小值.

解答：解：（1）当点D、C、E三点在一条直线上时，CD+DE的值最小，

（2）CD+DE="+16+{（8-X）2+4,

（3）如图，令AB=4,AC=1,BE=2,设AD=x,则BD=