阅读与思考概率与密码

第九章计数原理与概率、随机变量及其分布

第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1备考基础・查清忆知识I明误区I悟方法I必备知识总动员I

□卜必记缪⑥知识点忆一忆填-填

1.分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有，“种不同的方法，在第2类方案中有〃

种不同的方法.那么完成这件事共有N=〃?+”种不同方法.

2.分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有机种不同的方法，做第2步有〃种不同的方法，

那么完成这件事共有N=〃?X”种不同的方法.

必明易误点想一想试一试

1.分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类

之间是独立的.

2.分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未

完成这件事，步步之间是相关联的.

［试一试］

1.从0,123,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数

有（）

A.30B.20

C.10D.6

解析：选D从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数

都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理

得共有N=3+3=6种.

2.从集合｛0,1,2,3,4,5,6｝中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有（）

A.30个B.42个

C.36个D.35个

解析：选C历为虚数，../二。，即b有6种取法，〃有6种取法，由分步乘法计

数原理知可以组成6X6=36个虚数.

自卜必会会⑥方法悟一悟练一练

1.应用两种原理解题

（1）分清要完成的事情是什么？

（2）分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系;

（3）有无特殊条件的限制；

（4）检验是否有重漏.

2.混合问题一般是先分类再分步，分类时标准要明确，做到不重复不遗漏.

［练一练］

1.（2013•郑州模拟）在2012年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中

甲、乙、丙三人必须在123,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的

方式共有种

解析：分两步安排这8名运动员.

第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排....安排方式有4X3X2=

24（种）.

第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有

5X4X3X2X1=120（种）.

安排这8人的方式有24X120=2880（种）.

答案：2880123

2.（2014・湖南长郡中学、衡阳，、中等十二校一联）用红、黄、蓝三种颜'S,

色去涂图中标号为1、2、…、9的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有III

公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1、5、9的小正方形涂相同的颜色，则符合

条件的所有涂法共有种.

解析：把区域分为三部分，第一部分1、5、9,有3种涂法.第二部分4、7、8,当5、

7同色时，4、8各有2种涂法，共4种涂法；当5、7异色时，7有2种涂法，4、8均只有1

种涂法，故第二部分共4+2=6种涂法.第三部分与第二部分一样，共6种涂法.由分步乘

法计数原理，可得共有3X6X6=108种涂法.

答案：108

赵|热点命题■悟通考什么|怎么考|怎么办|命题角度全扫描I

考点一分类加法计数原理〉自主练透型

1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有（）

A.50个B.45个

C.36个D.35个

解析：选C利用分类加法计数原理：8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）.

2.五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服.由于灯光暗

淡，看不清自己的外衣，则至少有两人拿对自己的外衣的情况有（）

A.30种B.31种

C.35种D.40种

23

解析：选B分类：第一类，两人拿对：2XC5=20种；第二类，三人拿对：C5=10

种；第三类，四人拿对与五人拿对一样，所以有1种.故共有20+10+1=31种.

3.（2013・三门峡模拟）有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测

时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有（）

A.8种B.9种

C.10种D.11种

解析：选B设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班分别为a,b,c,d,假设A

监考"则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c,d时，也分别有

3种不同方法，由分类加法计数原理共有3+3+3=9（种）.

［类题通法］

利用分类加法计数原理解题时应注意

（1）根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏;

（2）分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.

师生共研型

考点二分步乘法计数原理►•

［典例］

（2014•本溪模拟）如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正

三棱柱ABC-AiB^组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染

色（底面不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有

.种.

［解析］先涂三棱锥P-ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面,共有cixclxcl

乂&=3*2*1*2=12种不同的涂法.

［答案］12

［类题通法］

利用分步乘法计数原理解决问题时应注意

（1）要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.

（2）各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事.

（3）对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定.

［针对训练］

在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序4只能出现在第一步

或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（）

A.24种B.48种

C.96种D.144种

解析：选C第一步安排A有2种方法；第二步在剩余的5个位置选取相邻的两个排8,

C,有4种排法，而B,C位置互换有2种方法；第三步安排剩余的3个程序，有A3种排法,

共有2X4X2XA33=96种.

〉师生共研型

考点三两个原理的综合应用

［典例］(2014・黄冈质检)设集合/={1,2,3,4,5}.选择集合/的两个非空子集A和B,若集

合B中最小的元素大于集合A中最大的元素，则不同的选择方法共有()

A.50种B.49种

C.48种D.47种

［解析］从5个元素中选出2个元素，小的给集合A,大的给集合B,有Cg=10种选择

方法；从5个元素中选出3个元素，有C3=10种选择方法，再把这3个元素从小到大排列,

中间有2个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合4,一边给集合B,方法种数是2,故此时

有10X2=20种选择方法；从5个元素中选出4个元素，有Cg=5种选择方法，从小到大排

列，中间有3个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A,一边给集合8,方法种数是3,故

此时有5X3=15种选择方法；从5个元素中选出5个元素，有Cg=l种选择方法，同理隔

开方法有4种，故此时有1X4=4种选择方法.根据分类加法计数原理，总计为10+20+15

+4=49种选择方法.故选B.

［答案］B

本例中条件若变为"A={1,2,3,4},8={5,6,7},C={8,9}现从中取出两个集合,

题

多再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合”，则可以组

变

成多少个集合？

解：(1)选集合A,B,有Ck，=12;

(2)选集合A,C,有C1Q=8;

(3)选集合B,C,有©Q=6:

故可以组成12+8+6=26个集合.

［类题通法］

在解决综合问题时，可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，

分步的方法可能会采取分类的思想求.分清完成该事情是分类还是分步，“类”间互相独立,

“步”间互相联系.

［针对训练］

上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，

其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的

种数为.

解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有QG种情况，若3人中没有甲企业的，则共

有&种情况，由分类加法计数原理可得，这3人来自3家不同企业的可能情况共有C1CH

&=16（种）.

答案：16

面|迁移应用・练透全能演练大冲关

［课堂练通考点］

1.已知两条异面直线”，力上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面

个数为（

A.40B.16

C.13D.10

解析：选C分两类情况讨论：

第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；

第2类，直线b分别与直线”上的5个点可以确定5个不同的平面.

根据分类加法计数原理知，共可以确定8+5=13个不同的平面.

2.如图所示，从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2

条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地经

乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为（）

A.6,8B.6,6

C.5,2D.6,2

解析：选A从甲地经乙地到丙地，分两步：

第1步，从甲地到乙地，有3条公路：

第2步，从乙地到丙地，有2条公路.

根据分步乘法计数原理，有3X2=6种走法.

从甲地到丙地，分两类：

第1类，从甲地经乙地到丙地，有6种走法；

第2类，从甲地不经过乙地到丙地，有2条水路，即有2种走法.

根据分类加法计数原理，有6+2=8种走法.

3.（2014•临沂模拟）如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方~~~~~—

格组成，我们称这样的图案为L型（每次旋转90。仍为L型图案），彩衫一

型图案的个数是（）

A.16B.32

C.48D.64

解析：选C每四个小方格（2X2型）中有"L”型图案4个，共有2X2型小方格12个，所

以共有"L”型图案4X12=48（个）.

4.（2013・济南模拟）集合尸={x,l},Q={y,\,2］,其中x,yG{l,2,3,…，9},且PUQ.

把满足上述条件的一对有序整数对（x,y）作为一个点的坐标，则这样的点的个数是（）

A.9B.14

C.15D.21

解析：选B当x=2时，xWy,点的个数为1X7=7（个）；当x#2时，x=y,点的个数

为7X1=7（个），则共有14个点,故选B.

5.现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边/?

界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有多少种？

解：先给最上面的一块着色，有4种方法，再给中间左边一块着色，，

有3种方法，再给中间右边一块着色，有2种方法，最后再给下面一块着

色，有2种方法，根据分步乘法计数原理，共有4X3X2X2=48种方法.

［课下提升考能］

第I组：全员必做题

1.（2014•福州模拟）高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何

工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有（）

A.16种B.18种

C.37种D.48种

解析：选C三个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案

共3?种，因此满足条件的不同的分配方案共有43—33=37种.

2.如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一

个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是

（）

A.60B.48

C.36D.24

解析：选B长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6X6=36个，6个对角面构成

的“平行线面组”有6X2=12（个）.故共有36+12=48（个）.

3.有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人

承担这项任务，不同的选法有（）

A.1260种B.2025种

C.2520种D.5040种

解析：选C第一步，从10人中选派2人承担任务甲，有Clo种选派方法；第二步，从

余下的8人中选派1人承担任务乙，有C』种选派方法；第三步，再从余下的7人中选派1人

承担任务丙，有C｝种选派方法.根据分步乘法计数原理，知选法为C彳（rChC）=2520种.

4.将甲、乙、丙、丁四名实习老师分到三个不同的班，要求每个班至少分到一名老师,

且甲、乙两名老师不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）

A.28B.24

C.30D.36

解析：选C法一：分成两种情况，①甲和丙丁中的一人被分到同一个班或乙和丙丁中

的一人被分到同一个班共有2cLM=24种分法；②丙和丁两人被分到同一个班共有A3=6种

分法.于是所求的分法总数为24+6=30.

法二：将4名老师分到3个不同的班，有C]C!A3,甲、乙两名老师分到同一个班有CgA幺

满足要求的分法有CiCiA?-C.U?=30.

5.（2013•山东高考）用0,1,…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）

A.243B.252

C.261D.279

解析：选B能够组成三位数的个数是9X10X10=900,能够组成无重复数字的三位数

的个数是9X9X8=648,故能够组成有重复数字的三位数的个数是900—648=252.

6.如图所示，在A,8间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导—

致断路，则电路不通.今发现A,8之间电路不通，则焊接点脱落的A

不同情况有（）

A.9种B.II种

C.13种D.15种

解析：选C按照焊接点脱落的个数进行分类:

第1类，脱落1个，有1,4,共2种;

第2类，脱落2个，有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),共6种;

第3类,脱落3个，有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共4种；

第4类，脱落4个，有(1,2,3,4),共1种.

根据分类加法计数原理，共有2+6+4+1=13种焊接点脱落的情况.

7.（2014・南充模拟）一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P

点处进，。点处出，沿图中线路游览A,B,C三个景点及沿途风景，

则不重复（除交汇点O外）的不同游览线路有（）

A.6种B.8种

C.12种D.48种

解析：选D从P点处进入结点O以后，游览每一个景点所走环形路线都有2个入口（或

2个出口），若先游览完A景点，再进入另外两个景点，最后从。点处出有（4+4）X2=16种

不同的方法，同理，若先游览8景点，有16种不同的方法，若先游览C景点，有16种不同

的方法，因而所求的不同游览线路有3X16=48种.

8.（2013•深圳调研）我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2013是“六

合数”）,则“六合数”中首位为2的“六合数”共有（）

A.18个B.15个

C.12个D.9个

解析：选B依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成

3个数分别为400、040、004;由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031;

由2、2、0组成3个数分别为220、202、022;由2、1、1组成3个数分别为211、121、112.

共计：3+6+3+3=15个.

9.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双

打，共有种不同的选法.

解析：“完成这件事”需选出男、女队员各一人，可分两步进行：第一步选一名男队员，

有5种选法；第二步选一名女队员，有4种选法，共有5X4=20（种）选法.

答案：20

10.如果把个位数是1,且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1,2,3,4

四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有个.

解析：当相同的数字不是1时，有eg个；当相同的数字是1时，共有aa个，由分类

加法计数原理知共有“好数"c[+c』a=i2个.

答案：12

11.（2013•沈阳模拟）三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数是.

解析：另两边长用x,y表示，且不妨设iWxWyWll,要构成三角形，必须x+y212.

当），取11时，x可取1,2,3,…，11,有11个三角形；当y取10时，x可取2,3,…，10,有

9个三角形；…；当y取6时，x只能取6,只有1个三角形.

.•.所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36.

答案：36

12.（2014•泉州质检）如图所示，一环形花坛分成A,B,C,。四块，/

现有四种不同的花供选种，要求在每块花坛里种一种花，且相邻的两块/\

花坛里种不同的花，则不同的种法共有种.

解析：法一：按所种花的品种多少分成三类：种两种花有苗种种法：

种三种花有2Al种种法；种四种花有A3种种法.所以不同的种法共有A3+2A1+A才=84种.

法二：按A-B-C-Z）的顺序种花，可分A,C种同一种花与不种同一种花两种情况，共有

4X3X(1X3+2X2)=84种不同的种法.

答案：84

第II组：重点选做题

1.标号为A,B,C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，8袋中有2个不同的白色小

球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球.

(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？

(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？

解：(1)若两个球颜色不同，则应在4,B袋中各取一个或A,C袋中各取一个或8,C袋

中各取一个.

.,.应有1X2+1X3+2X3=11(种).

(2)若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个.

.,.应有1+3=4(种).

2.编号为A,B,C,D,E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能

放一个小球，且A球不能放在1,2号，3球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有

多少种？

解：根据A球所在位置分三类：

(1)若A球放在3号盒子内，则8球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C,D,

E,则根据分步乘法计数原理得，3X2X1=6种不同的放法；

(2)若A球放在5号盒子内，则8球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C,D,

E,则根据分步乘法计数原理得，3X2X1=6种不同的放法；

(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下

的三个盒子放球C,D,E有A^=6种不同的放法，根据分步乘法计数原理得，3X3X2X1

=18种不同方法.

综上所述，由分类加法计数原理得不同的放法共有6+6+18=30种.

第二节排列与组合

1备考基础・查清忆知识|明误区|悟方法|必备知识总动员|

□卜必记招G知识点忆一忆填一填

I.排列与排列数

(1)排列:

从n个不同元素中取出皿个元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元

素中取出，〃个元素的一个排列.

(2)排列数:

从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中

取出m个元素的排列数，记作A：；1.

2.组合与组合数

（1）组合：

从〃个不同元素中取出讯，/W"）个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出in个元素

的一个组合.

（2）组合数:

从n个不同元素中取出皿个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中

取出，"个元素的组合数，记作驾.

3.排列数、组合数的公式及性质

组合数公式

排列数公式A机

—Cm

公AA=〃（〃-1）（九—团+1）

〃(12—1)•••(〃-〃?+1)

式

n\m!

nl

tn\(n-ni)1

⑴c2=i；

性(l)A^=nl；

⑵c-L；

质(2)0!=1

⑶C7+C厂=C；M

备

注

国卜必明哥⑥易误点想一想试一试

I.易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺

序有关，组合问题与顺序无关.

2.计算A；?时易错算为"（〃一1）（〃一2）…（〃一，”）.

3.易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排

列的个数，是一个正整数.

［试一试］

1.电视台在直播2012伦敦奥运会时要连续插播5个广告，其中3个不同的商业广告和

2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连播.则

不同的播放方式有（）

A.120B.48

C.36D.18

解析：选C有C£!A§=36（种）.

2.2010年上海世博会某国将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作

品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相

邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品不同的方案有种.（用数字作答）

解析：将2件必须相邻的书法作品看作一个整体，同1件建筑设计展品全排列，再将2

件不能相邻的绘画作品插空，故共有A3A3AW=24（种）不同的展出方案.

答案：24

自卜必会会⑥方法悟一悟练一练

1.排列问题与组合问题的识别方法：

识别方法

若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素

排列

顺序有关

若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素

组合

顺序无关

2.组合数的性质中（2）的应用主要是两个方面，一个简化运算，当机〉鄂寸，通常将计算

C夕转化为计算C「".二是列等式，由C=G；可得x=y或x+y=〃.性质⑶主要用于恒等变形简

化运算.

［练一练］

1.（2013•河北教学质量监测）有A,B,C,D,E五位学生参加网页设计比赛，决出了第

一到第五的名次.4,B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第

一名；又对8说：你是第三名.请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为（）

A.6B.18

C.20D.24

解析：选B由题意知，名次排列的种数为CjAg=18.

2.5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有种.（用数字作答）

解析：先排甲、乙之外的3人，有A*种排法，然后将甲、乙两人插入形成的4个空中，

有Ai种排法，故共有A*A1=72（种）排法.

答案:72

昌热点命题.悟通考什么|怎么考|怎么办|命题角度全扫描|

考点一排列问题〉自主练透型

1.数列｛斯｝共有六项，其中四项为1.其余两项各不相同，则满足上述条件的数列｛如｝

共有（）

A.30个B.31个

C.60个D.61个

解析：选A在数列的六项中，只要考虑两个非1的项的位置，即得不同数列，共有AV

=30个不同的数列.

2.（2013•东北三校联考）在数字1,2,3与符号“+”，“一”这五个元素的所有全排列中，

任意两个数字都不相邻的全排列方法共有（）

A.6种B.12种

C.18种D.24种

解析：选B本题主要考查某些元素不相邻的问题，先排符号“+”，“一”，有A3种

排列方法，此时两个符号中间与两端共有3个空位，把数字1,2,3“插空”，有A?种排列方

法，因此满足题目要求的排列方法共有A?A?=12种.

3.（2013・西安检测）8名游泳运动员参加男子100米的决赛，已知游泳池有从内到外编号

依次为123,4,5,6,7,8的8条泳道，若指定的3名运动员所在的泳道编号必须是3个连续数字

（如：5,6,7）,则参加游泳的这8名运动员被安排泳道的方式共有（）

A.360种B.4320种

C.720种D.2160种

解析：选B法一：先从8个数字中取出3个连续的数字共有6种方法，将指定的3名

运动员安排在这3个编号的泳道上，剩下的5名运动员安排在其他编号的5条泳道上，共有

6AM?=4320种安排方式.

法二：先将所在的泳道编号是3个连续数字的3名运动员全排列，有A3种排法，然后把

他们捆绑在一起当作一名运动员，再与剩余5名运动员全排列，有A&种排法，故共有A《Ag=

4320种安排方式.

［类题通法］

求解排列应用题的主要方法

直接法把符合条件的排列数直接列式计算

优先法优先安排特殊元素或特殊位置

捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列

对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元

插空法

素排列的空档中

先整体

“小集团”排列问题中先整体后局部

后局部

定序问题

对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列

除法处理

间接法正难则反，等价转化的方法

考点二组合问题〉师生共研型

［典例］（2013・重庆高考）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗

震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是（用数

字作答）.

［解析］直接法分类，3名骨科，内科、脑外科各1名；3名脑外科，骨科、内科各1名；

3名内科，骨科、脑外科各1名；内科、脑外科各2名，骨科1名；骨科、内科各2名，脑

外科I名;骨科、脑外科各2名，内科1名.所以选派种数为c*clC+ac©+c*ckcJ

+aGC+CiCg©+CgCg=590.

［答案］590

［类题通法］

组合两类问题的解法

⑴“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不

含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.

（2）“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键

词的含义，谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解.通常用直接法分类复杂时，考

虑逆向思维，用间接法处理.

［针对训练］

（2013・四平质检）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其

中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）

A.70种B.80种

C.100种D.140种

解析：选A法一（间接法）：当选择的3名医生都是男医生或都是女医生时，共有Cg+

C［=14种组队方案.当从9名医生中选择3名医生时，共有C$=84种组队方案，所以男、

女医生都有的组队方案共有84-14=70种.

法二（直接法）：当小分队中有1名女医生时，有ClCg=40种组队方案；当小分队中有2

名女医生时，有Crg=30种组队方案，故共有70种不同的组队方案.

考点三分组分配问题>多维探究型

分组分配问题是排列、组合问题的综合应用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分

组后分配。归纳起来常见的命题角度有：

（1）整体均分问题;

(2)部分均分问题；

(3)不等分问题.

角度一整体均分问题

1.国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，

毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学

校去任教，有种不同的分派方法.

解析：先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，

有A$=6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C鳖之A$=90种分派方法.

答案：90

角度二部分均分问题

2.将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有

种.(用数字作答)

解析：把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种.

①有1组3本，其余3组每组I本，不同的分法共有种；

Cdr-lcl

②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有紫•第=45种.

所以不同的分组方法共有20+45=65种.

然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有65XA才=1560种.

答案：1560

角度三不等分问题

3.将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有种不

同的分法.

解析：将6名教师分组，分三步完成：

第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C2种取法；

第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有Cg种取法；

第3步，余下的3名教师作为一组，有Cg种取法.

根据分步乘法计数原理，共有CACgC3=6O种取法.

再将这3组教师分配到3所中学，有AS=6种分法，

故共有60X6=360种不同的分法.

答案：360

［类题通法］

解决分组分配问题的策略

1.对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分

组后一定要除以A；；（〃为均分的组数），避免重复计数.

2.对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有〃，组元素个数

相等，则分组时应除以，加，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排

列数.

3.对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所

以不需要除以全排列数.

迁移应用•练透对点练|综合练|创新练|全能演练大冲关|

［课堂练通考点］

I.（2014•开封模拟）我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼

-15飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同

的着舰方法有（）

A.12种B.18种

C.24种D.48种

解析：选C将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有种排

法.而后将丙、丁进行插空，有3个空，有Ag种排法，故共有A}A%Ag=24种排法.

2.（2013・四川高考）从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为“，b,共

可得到1g1g6的不同值的个数是（）

A.9B.10

C.18D.20

解析：选Clg“-lgb=lg与1g£有多少个不同值，只要瑞不同值的个数，所以共有

Ag—2=20—2=18个不同值.

3.（2013・台州模拟）甲、乙两人计划从4,B,C三个景点中各选择两个游玩，则两人所

选景点不全相同的选法共有（）

A.3种B.6种

C.9种D.12利।

解析：选B本题用排除法，甲、乙两人从A,B,C三个景点中各选两个游玩，共有

C*Cg=9种，但两人所选景点不能完全相同，所以排除3种完全相同的选择，故有6种，选

B.

4.（2014•江西，、校联考）将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息,

假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且这

2个房间不相邻的安排方式的种数为.

解析：先将5人分成三组（1,1,3或2,2,1两种形式），再将这三组人安排到3个房间，然后

将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可，故安排方式共有

（嚅+喑1）次G=9。。（种）.

答案：900

5.（2014•浙江高考）将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排，且A,B均在C的同侧，

则不同的排法共有种（用数字作答）.

解析：“小集团”处理，特殊元素优先，mA2A>480.

答案：480

［课下提升考能］

第I组：全员必做题

1.（2013・开封模拟）把标号为1,2,3,4,5的同色球全部放入编号为1〜5号的箱子中，每个

箱子放一个球且要求偶数号的球必须放在偶数号的箱子中，则所有的放法种数为（）

A.36B.20

C.12D.10

解析：选C依题意，满足题意的放法种数为A&A^=12,选C.

2.（2013•昆明重点高中检测）某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求

甲、乙2人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的

发言顺序种数为（）

A.720B.520

C.600D.