研究生矩阵论课后习题答案全习题三

习题三

1.证明下列问题：

（1）若矩阵序列｛A,,,｝收敛于A，则卜二｝收敛于A',｛4“｝收敛于A；

（2）若方阵级数仁4人"'收敛，则$（A"".

m=0\m=0/rn=O

证明：（1）设矩阵

A"=（碟"）"*"，加=1,2,…，

4=（町黑,，4=（常黑,,，加=1,2,…，

H无=（玛）亦”，

若矩阵序列｛A,“｝收敛于A,即对任意的i,/=l,2,…有

lim*=%,

mfsJ

则

lima=a..,lim4，）=a..,z,j=1,2,•••,/?,

m—>ooJJJJ

故｛4｝收敛于Al伍“｝收敛于限

（2）设方阵级数fq“4"的部分和序列为

/w=0

m

其中S0f=c0+ciA+--+cmA.

若Zq/1"'收敛，设其和为s,即

m=0

m

YcmA=S,或limS,“=S,

ni=O

则

limS;=ST.

/«—>00

而级数的部分和即为S,3故级数£或（47广收敛，且其和为s',

/n=0m=0

即

住""[=春，，（"）"'•

\/n=0Jm=0

2.已知方阵序列｛A,“｝收敛于A,且｛落:｝，都存在，证明：

（1）lim|A„,|=|A|；（2）lim｛A,：｝=AT.

ntfX）l111MT8\

证明：设矩阵

An=（甯"）„xn,in=1,2,…，A=（%）g"

若矩阵序列｛A,“｝收敛于A,即对任意的i,/=l,2,有

lima*"』

（1）由于对任意的力〃2,有

lim喈>=a：,k=1,2,•••,/?,

m->00JkkJk

故

圾Z（T）W）甯蜀）…甯=拉…”

而

闻=Z（T）W%%黑…曙，

JiJr'Jn

H=Z（T严&，

故

阳闻=叫

（2）因为

方=由（甯））向1=后（4）“皿

其中4M，&分别为矩阵Am与A的代数余子式.

与（1）类似可证明对任意的i,/=1,2,…,〃，有

limA产=4,

zn->ooJ

结合

㈣闻=间,

有

业向c=%&'"'

即

lim{Aj=Al

，”一、，

3.设函数矩阵

cost

砥）=2

03

其中”0,计算图明⑦⑴,》”),纲)|,8

解：根据函数矩阵的极限与导数的概念与计算方法，有

limsinzlimcos，limr-

z->0/->0-010一

..sinr

(1)limA(Z)=lim----lime'lim产—110

-07->0f-030

limllimOlim广100

L—or->0-0」

(sin，)'(cost)'cost-sinr1

⑵”A(f)=(―)(fcos,一sinf

(e'Y(产)'d2t

dttt2

V0，(「)'003t2

2-sinf-cosr0

(3)—7A(f)=—(—A(Z))=(2-r)sinZ-2?cos/er2

drdtdt

006t

sin/costt

/、diA/、isin，

(4)—AW=——e't2

dtt

10t3

=e'\3t2sint+t3(sinr+cosr)-/-1]+f(2cosf-rsint)-r(sin2r+cos2z)

cost-sinf1

,、d、tcost-sint._

(5)一A(f)=-----；-----e'2t

dtr

003t2

-3t2e'cos/+3sinf(rcost-sint).

4.设函数矩阵

xexx1

2e2x0

00

计算［A(x)dx和

解：根据函数矩阵积分变限积分函数的导数的概念与计算方法，有

[xexdx[x2dx

JoJo

2x

(1)A(x)dx=(2edx0

Jo

O0

I

3

0

0

5.设丁=(%(。,当(。，…，/⑺尸，A为〃阶常数对称矩阵，/(y)=yZy，

证明：

迓=2/A型；

(1)

dtdt

aM=2y也

(2)

dt72,dt

证明：(1)=(yrAyy=(y')'Ay+yrAy'=((yT)'Ay)T+yTAyr

at

=2yTAy'=2y'A^,

⑵1M=《W)=2y哼.

dt1,2dtdt

6.证明关于迹的下列公式：

d

。T

/XXh小

充"l<

(1)\

XX

耿

arx(心

丁

z户BD

一"(-

(2)\

欣->

dri+

zxArM

一"l

(3)"\Ax-

其中X=(%)mx„B=(4)"X,",A=(他),„x„,.

证明：(1)因为

〃

tr(XXT)=tr(XTX)=43

i=l闫

而

故

—tr(XXT)=—tr(XTX)=2X

dXdX

(2)因为

BX="j%Xkj)…，

k=\

则

MBX)=tr(XTBT)=ZZ%税,

j=lk=]

而

冢■(£.bjlcXkj)=bji，

GXi)；=14=1

故

-tr(BX)=-tr(X'Br)=Br.

clXdX

(3)因为

X\\X2\***Xm\

X\2X22…Xin2

XlnX2n・••小

nimm

田2"

2=14=1k=}

^ja2kXk\£。2出2，…Z。2Ht〃

AXk=\k=lk=\

tn，〃

z/%•

,k=\k=\k=l

故

/AX)=Z(/Z。伙如)+…+Z(%Z秋为)+…+X(否nZaikXkn)

/=]k=\1=1k=\/=!k=\

则

aamm

—tr(X1AX)=-—(X(/£%%))

OX"OXjj[=1k=l

力u之即%+"天'(之

1=1OXijk=l0Xjj*=]

_〃，—〃L

E/^kXq+£1a“Xg

k=l1=1

故

—tr(XTAX)=AX+ATX=(A+AT)X.

7.证明:

drdadb

(ab)=b'lx7

其中a(X),伏X)为向量函数.

证明：

设

rT

a(X)=(a,(X),a2(X),--；am(X)),b(X)=(bx(X),b2(X),---,bm(X)),

则

/(X)优X)=Z%(X)白(X),

/=!

故它是X的数量函数，设

/（X）=/（X）"（X）,

有

与（/（XM（x））=（普普…

dXox}dx2

m血Xy丫一“、地(X)tn弧(X)7、的(X)

=z-4-4(X)+4(X)送一，…,E-4—4(X)+q(X)-4—

Ii=l(dx}dx})/=1dxn

这手仇（X戊耳斗（X）,…S警用X））

/=1朋i=l&2/=1氏

的（X）

+(Z4(X)$(X)吟.±(X)整？

X

/=!dxy/=]砒2j=l^n

,Tda7db

=b——-+a

dXT~dX7

8.在之中将向量（冷々），表示成平面直角坐标系王,々中的点（%》2）‘，分

别画出下列不等式决定的向量全体所对应的几何图形:

⑴闻WL⑵网2<1，⑶同84L

解：根据

|必=国+同<1，|司2=收+君41,M=ma&3同}<1,

作图如下：

9.证明对任何x,yeC",总有

/y+/x=g（|x+y|；Tk_y|：）.

证明：因为

Ik+=（元+y）r（x+y）=XTX+亍'y+yTx+yTy

|x-y|；=（x-y）T（x-y）=xTx-xTy-yTx+yTy

故

g（|x+y|；_|k_y||；）=Ky+Vx

10.证明：对任意的XGC”,有

证明：设X=（X],X2,…,X"）'，则

IWL=max｛xj,同,…,同｝,

H2=和/+^♦+…+k,/）

14=归|+同+…+叫

由于

（max忖,同,…,同｝）2引才+|々『+…+|居『«（|七|+|引+…+|“）2，

故

IUMW^IK-

即

卜月儿引乩

11.设。],々2,…，。〃是正实数，证明：对任意乂=（5,工2,…，了〃）‘£。"，

（«A2

|x|=£小小9

I/=]7

是C"中的向量范数.

证明：因为

1

(n\2

(I)||x||=2>同NO,且||X|=0oX=0；

3=17

\_\_\_

⑵网=%则[2=佃2支岫/]一=仅住讣,|12叫*卜

\/=1)\/=17\i=l7

⑶对于丫=(%，%,…，券)丁0"，

T

X+y=Oq+y，w+y2,…，xn+yn),

则

|x+琛=±a]Xi+城<%周2+以|城+2||x||||y||=(冈+即

/=1/=1/=1

故

MMPW-

1

因此|X||二是c〃中的向量范数.

Ii=l)

12.证明：

nmaxa；；I

M=l<i,y<nl11

是矩阵A=(%.),*”的范数，并且与向量的1—范数是相容的.

证明:因为

⑴|囿=〃严?同20,且4=0o网=0;

⑵陷I=〃则阿I诽小蝴％卜Whii；

⑶M+M=嘈/%+得>nmax"

J।+〃出管瓦HN+I邳

(4)设X=(X],々X")’，则

AX=（Za\jXj，Z02jXj，…,Z%j，j）'

j=lj=iy=l

故

|AX|=+SXx+…+E%Xj

J=1j=lj=l

〃〃〃

4爆料区同+爆粗叵闻+...+跷料区同

/=1,/=17=1

«噌/%囱当卜网M

j=l

因此|国=对％|是与向量的1—范数相容的矩阵范数.

13.设4eC"、"，且A可逆，证明：

IKhwr'

证明:由于

A4-'=/.||/||=1,

I=||Z||=||A4-1||<||A||||A-1||,

k'hMr1.

14.设AwC"*",且|川<1,证明:1-A可逆,而且有

⑴心㈤上由；

⑵他一"一张禺

证明：（i）由于

(/—A)'=/+(/-A)TA,

故

||(Z-A)-J<||Z||+1|(/-A)-A||<||/||+1|(/-A)-IlA||,

即ll(/"Ar'll-TZp-

(2)因为

(1+A)-/=A,

两边右乘(/+A)-1,可得

1-(1+A)-'=A(I+A)-',

左乘A,整理得

A(/+A)T=A-AA(I+A)T,

则

IA(1+A)T|=b一A4(/+A)-11|<||A|+||A|||A(Z+A)-'||,

即…T|局.

15.设证明:

(1)e(k+l)A,特别地e八尸=e-A；

(2)当=网时，eAeB=eBeA=eA+B；

(3)—eA,=AeA,=eA,A；

dt

(4)当AB=SA时，sin(A±fi)=sinAcosB±cosAsinB.

证明：(1)

e(k+l)A

n=0几n=0加Lw=O

1(/+rn)!

(W4)

m=01=0V+m)-m=01=0(/+iri)!Ilml

8001/OP[OP1\

=ZZ^(4"(A)，=Z：7(=*e"-

,,=o/=。/!加l，"=0初(公)"人'/工=0〃乂))'

又因为

I=e°=eA+(-A)=eAe-A,

故

(eW.

(2)当AB=BA时，二项式公式

(4+B)"=汽C："A"='"B'"

in=0

成立，故

=l^(A+8)"=fUte；"，8”

“=o"!»=o«!U=oJ

0000100OO1

n-m=lYY--一C；：„,A'Bm=YY—A1B,n

£6(/+加)•ni=01=0〃初

=回(白大/!丫人£石加"〕)=eV*

同理，有

em=住(念_1初*"[入住£U/!)]=e2

故

A-BB一八A+B

81

(3)由于基级数A。”对给定的矩阵A,以及任意的，都是绝对收敛的，且

对任意的f都是一致收敛的，因此科可对此幕级数逐项求导，则

A"尸,A

—eA,|y---------=-------=AeA

勺爪〃！1=乙占/!

dt〃=i(n-D!

同理，有

故

(4)因为

e'A=1+iA+—A2——+—A4-----

2!3!4!

24

=(1-—A+-A-…)+i(A」A3+1A5_...)

2!4!3!5!

=cosA+isinA

故

sinA=—

2z

又当45=84时,

eAe8=eBeA=eA+B

则

sin(A+6)=、(e"A+8)-二⑶团)=\(小暧-""")

=-[(cosA+isinA)(cos3+isin8)-(cosA-isinA)(cosB-zsinB)]

2/

=sinAcosB+cosAsinB

同理，可得

sin(A_B)=sinAcosB-cosAsinB

A2

16.求下列三类矩阵的矩阵函数cosAsinAe

(1)当A为鼎等矩阵(42=A)时；

(2)当A为对合矩阵(]=/)时；

(3)当A为幕零矩阵(A?=。)时.

解:(1)A?=A,设矩阵A的秩为r,则A的特征值为1或0,A可对角化为

O

P-'AP=

O

sinA=Psin/K=p

=(sinl)尸/尸=(sinl)A,

cosA=PcosJP1=P

cosl-1

cosl-1

p-'+P

0

/+(cosl-l)PJ/^'=/+(cosl-l)A

=/+(e-l)/V/।=/+(e—l)A

(2)当4=/时，矩阵A也可对角化,A的特征值为1或-1,A可对角化为

P-'AP=

其中1有相个.

则

sinl

sinA=PsinJP'=

-sinl

-sinl

=(sinl)P/pi=(sinl)A

cosl

cosl

cosA=PcosJP-1=PP-}=(cosl);

cosl

cosl

(3)当A2=O时，A的特征值均为0,则存在可逆矩阵P，使得

PTAP=J,A=PJP\

4

其中1/=,

.J,n.

又4=O,则

A2=PJ2P'=O,

于是

故Jordan块4的阶数最多为2,不妨设

Jk=0(k=i,--,r),Jk==B(k=r+1,・・•/%),

e'Jk=1,e~,，k=1(A：=1,­­•,r);

1i1-i

,ek=(k=r+l,---,m).

01J[01

e'Jk-e~,Jt=O(Z:=,

「02i~\1

e'Jt-eJk==—B(k=r+\,---,m),

0Oj2i

e'Jk+e~'Jt=2(1=1,…,r),

20

=21(k-r+1,

02

因此

—J

万

B

所以

sinA=—(eiA-e-iA)=—P(eiJ-e-iJ)P''=--(2i)PJP-1=A,

2i2i2i

cosA=；(e*+e-iA)=1P(e"+e~iJ)P-'=1-2P1P-'=I,

17.若矩阵A的特征值的实部全为负，则

limeA,=0.

If+x>

证明：设A的特征值为4=Q,+4),/=口,q<0,则存在可逆矩阵P,使

得

p-'AP^j^^pjr',

「，14••1

其中1/=,Ji=

则

e"

*=P*pT=P

I

e'1te———小

(H,-D!

,e如招即

其中e〃=..

te^

又

lime"=lime'"*，""=lime'"(cos》/+jsinaf),

Z—>ooToor->oo

且《<0,故lim/=O,因此lime"=0,则lim/'=O.

18.计算e"和sin4,其中:

200

(1)A=010

011

-0-1o'

(2)A=101

010

010

(3)A=001

-6-11-6

10

解：(1)设4=2,(=]]，则

0sinf0

,sinJt=

e'2〜tcostsinr

则

e2'00rsinIt00

0e'0,sinAt=0sinz0

0te'e'0tcostsint

(2)该矩阵的特征多项式为

A10

夕(4)=-1A-1=方,

0-12

最小多项式为〃/(为二万.

19.计算下列矩阵函数:

221

(1)A131，求胪；

122

42-5

(2)A=64—9，求e"；

53-7

(3)A=,求arcsin—；

_44J4

168-]

(4)4=&4，求(/+A)T及A?

20.证明：

22A+2m,A

sinA+cosA-1,e=e,

其中A为任意方阵.

证明:(1)因为

iAiA

sinA=—(e-e*),cosA='(e+6一"),

2z2

故

sin2A=--(eiA-e-iA)2=--(e2iA+e-2iA

44

cos2A=-(eiA+e"'A)2=-(e2M+e-2iA+2/),

44

则

sin2A+cos2A=I.

(2)因为矩阵2加7的特征值均为2疝，故存在可逆矩阵P，使得

e2M

则

e2

21.若A为反实对称(反Hermite)矩阵，则"为实正交矩阵.

证明：因为

JAk

eA=y

k=0K：k=Qk\7k!,

故

S)*=>

当A为