铁人中学2021年高考模拟试题（理科数学）（全解全析）

对于B,〃>>/〃的否认是“VxwR,，错误；

铁人中学2021年高考模拟试题〔理科数学〕全解全析

一、选择题对于c,——=——,因为。vbvO,所以/?一0>0,">0,所以——>0»—>—»错误；

abababab

123456789101112

2jj

:二:二<0,无解，基函数丁=("/一"7-1)父‘""'3在工€(°，+30)上是减函数，那么实

CDBDBAABCBDC{

1.C【解析】因为A={x|2—xN0}={x|xK2},B={x€Z|y=ln(.v+l)}={xeZ|x>-l},所以408={0,1,2}.

数机二-1,错误.

应选C.

7.A【解析】因为f(-X)=空可片==/")，所以/")是偶函数，排除B,D,因为

--5i5i(l+2i)—10+5i

2.D【解析】由(—l+2i)z=151,可传工=_]+5=(]_劣)(]+力)==-2+1.

f(n)=5h>0>排除C,应选A.

3R-3-S

所以口=[(-2>+]2=小.

8.B【解析】y=/_2+」_=(/+1)+」-一322)(产+1)・一一一3=-1,当且仅当『+1=工，即1=0

r+1r+1\r+1/+1

3.B【解析】由题意得6=\^7^=小，得t=啦，又因为双曲线焦点在y轴上，所以渐近线

时.，取等号，取得最小值为—1,此时•，a=(-1,()),/»=(2,-1),那么85〈4力)=点木=不靠=-亭.应选

方程为y=土齐=土乎、.应选B.

B.

4.D【解析】由统计图可知，各月同比全部上涨，平均涨幅为(L7+1.5+2.3+2.5+2.7+2.7+2.8+2.8+

9.C【解析】因为q=1必=27%,所以有4«4=274yn/=27ng=3,因此选项A正确；因为

3.0+3.8+4.5+4.5+5.4)+13xl%=3.09%,超过3%,故A正确；各月环比有涨有跌，平均涨幅为(0.5+

,s+2！(3""+3)2

1.0-0.4+0.1+0.0-0.14-0.4+0.7+0.9+0.9+0.4+0.04-1.4)^13X1%A0.446%,超过0.3%,故B正确：同比S，=RW(3"-1)，所以3+2=m+2=入3”+3)，因为个匕=彳-------=常数，所

1-32S“+2；(3”+3)1+3

涨幅最大的是2021年1月，环比涨幅最大的也是2021年1月，故C正确；环比跌幅最大的是2021年3月，

同比涨幅最小的是2021年2月，故D错误，应选D.以数列{S“+2}不是等比数列，应选项B正确；因为S$=；(3'-1)=121,所以选项C不正确；

x-2y+2>0

5.B【解析】作出不等式组]2%-)，-2工0表示的平面区域，如图中阴影局部所示，设z=2.r+y,那么nn-12

aH=a{-q~'=3>0,因为当〃之3时:lgaw_2+lg«n+2=lg(«n_2-«n+2)=lg«n=21gaw,所以选项D正确.应

选C.

平移该直线，当直线y—+z经过点A时，z取到最大值，由得右，即%2,2),那么2

10.B【解析】f(x)=瓜sinXcosx+41cosx--=—sin2x+41'"cos-A__2_&sin(2x+—),将函J(幻

22226

Za=4+2=6；当直线y=-2x+z经过点C时，？取至U最小值，易得C(—1,—1),那么z011n=-2—1=-3,所以图象上所有点的横坐标缩短为原来的!，纵坐标不变，得到g(x)=&sin(4x+J)①，

2x+.y的取值范围是[-3,6].应选B.

【详解】gg)=&sin(¥+[)=-Vi,故函数g(x)的图象不关于点(三。成中心对称，所以①错误；对于②，由

3363

对于A,函数=—x-l(xeR),(但二e"-l,

ir237t257t

X£(-九兀)得勺33),结合函数图象可得以力在(一九兀)上有8个极值点，所以②正确；对于③,

当，(x)>0得x>L当得x<"(x)v0,666

由得-1詈+J4-当，那么一匹血，所以g(x)的最大值为加,最小值为-，

所以/(工)在;V>1是单调递增函数，在彳<1是单调递减函数,2466622

所以/(“在x=l时有最小值，即/⑴=e°-1—1=44)=/—4—1=/—5>0,所以③正确：对于④，当时，-故函数8(%)在区间(-：,1)上不单调，所以④错

4466644

/(-2)=^-3+2-1=^3+1>0,所以/(X)有两个零点，正确;误.应选B

11.D【解析】连接AC7。，设=连接S”，根据题意可得S”_L平面ABC。.设O为四棱锥

In------r

nr12

因为存在直线/与函数/(外及g(幻的图象都相切，所以所以〃=----7+-

S-ABC。的外接球的球心，那么O在S”上，连接OC,设此四棱锥的外接球的半径为R,那么QS=OC=R,224〃，m

一〃~+a=——

m

正方形ABC。的边长为所以C〃=1,SC=VIS//=1，所以”。重合，即四棱锥的外接球的半径为R=l，

令Z=,(/<0),设/?(。=1，4+2，。<()),那么"⑴=r+2,

所以四棱锥的外接球的外表积为5=4兀2=4K.应选D.m4

当r<-蚯时，函数W)单调递减；当-正<,<0时，力'(。>0,函数〃⑺单调递增,

12.C【解析】设A(N，y)I(X2，x),直线A8的方程为x=/wy+4,与=4x联立得y?-4〃“-16=0,

所以风=以姐=-除所以实数a的最小值为一季.

那么X+%=4〃?，yy=-16,所以。4。5=(川乂+4)(〃明4-4)4-yy=(l+//r)y,y+4〃i(y+j,)+16=-16(1

}2t22三、解答题

+〃/)+]6m2+16=0,所以Q4_LQB,那么I+|O8『=|,所以|04|+|OB区向荷百丽517.(本小题总分值12分)

2

=V2|AB|(当且仅当IQ4ROBI时等号成立)，所以也乜毁的最大值为应.应选c.【解析】（1）在RtZXAHZ）中，由cos/A8D=正，MsinZABD=Vl-cosZABD=-

IA3|33

二、填空题

所以BD==3.（3分）

sinZABD

13.58【解析】根据随机数表的知识可知，抽取的样本的编号依次为18、00、38、58、32、26,

在Z^BCD中，由余弦定理得BC?=BD2+CD--2BDCDcosNBDC=32+42-2x3x4x^=25-12>/3,

故第4个被抽取的样本的编号为58.2

或一【解析】因为=。+々所以的展开式中

14.61(x+l)6(ax—1)21)6(27—2at+1),(x+l)6(ox—1)2所以BC=J25-I26.（6分）

X3的系数是C&+C4一2a)+Ck/2=6a2—30〃+20,.・・6/—30〃+20=56,解得。=6或一1.

（2）设NCBD=x,由NC=ZADC，NBOC=2可得NC=?-x,ZABD=x--,

4666

15.-【解析】将三药分别记为A，B，C,三方分别记为。，b,c,选择…药一方的根本领件如表所示,

在Rt&WD中，因为4）=2,所以8D==—2—,（8分）

共有9个组合，加〃BD新“」）

Bc在中’由正弦定理得黑=用I3D4

ABn即---ZZ--------------

sin（^-x）smx

6

a{A,a}{B，。}{c，M

所以----------------=—^―,整理得《sin?x-2sinx-1=0.（10分）

sin（x」）sin（亚r）sinx

b{A㈤{B，N{c,b]66

由sinx>0得3布入=上且，所以sinNC4O=匕且.112分）

44

c{A,c、}{8，c}{C,c}

18.（本小题总分值12分）

那么两名患者选择药方完全不同的情况有C；C：=24(种)，两名患者可选择的药方共有C；C：=54(种)，所以【解析】(1)因为正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，BC_LAB,所以BC_L平面ABMN、

2444因为MNu平面4BMMBNu平面ABMN,所以BC_LMV,BCA-BN,

尸=才§,故答案为『

由BC=2,CN=2。得BN=JCN?-BC2=2近,由附=45=2,可得Ae_L/W,（3分）

16.-逑【解析】设直线/与函数“*)及g(x)的图象分别相切于A(m工)(m<0),B(",n2+a),

2m

在直角梯形48WN中，可得MN=2五,

11110

因为fXx)=-4.所以函数/(幻的图象在点A处的切线方程为y--=~(x-m),gpy=~x+-,

x~mm~nrm由5M=4,BN=MN=2曰可得BN?+MN2=BM2,所以BNLMN,

因为g\x)=2x,所以函数g(x)的图象在点B处的切线方程为y-/-a=2〃(工-〃)，即y=2以-〃?十。，因为BCCBN=B,所以MN_L平面8CV,

因为MNu平面。MM所以平面DMN_L平面BCN.16分)【解析】⑴1i)样本的平均数为+x(23+2l+22+19+22+19+17+19+21+17)=20，样本的标准差

(2)如图，以8为坐标原点，所在直线分别为卬目轴建立空间直角坐标系"xyz,

为J±x[(23-20y+2x(21—20)2+2x(22—20『+3x(19—20)2+2x(17—20尸]=2,

那么B(0,0,0),C(0,0,2),52,0,2),A/(0,4,0),N(2,2,0),MN=(2,-2,0),OT=(2,2,-2),DN=(0,2,-2),

因此〃=20,b=2.(2分)

n■=0f2x-2v.=0

MN,，即(r--八，(ii)学校7点30分上课，假设该学生7点04分准时从家出发，那么该学生到达教室所花时间最多为

n-CN=0[2x,+2y1-2z1=0

{26分钟，假设该学生7点06分准时从家出发，那么该学生到达教室所花时间最多为24分钟，

取％=1,得〃=(1J2).(8分)

由于尸(Xv26)=P(Xv〃+3cr)=l—；x[(l—P(〃—：krvXv〃+3b)]=l—；x(l—0.9974)=0.9987,

设*是平面ZWN的法向量，那么『黑；，即

2(乂〈24)=2(*<〃+2。)=1一：*[(1一"〃一2(7<*<4+20)]=1-：><(1一0.9544)=0.9772.(4分)

取勺=1,得相=(1,1,1),(10分)所以该学生上学不迟到的概率的范围是(0.9772,().9987).(6分)

设二面角C-MM-D的平面角为6>,那么cosd=上巴-=/lxl+lxl：2xl=迥,(2)把该学生这10天早上从家出发到教室2天，所花时间的差的绝对值为y,那么y的可能值为

Inllml222X2223

V1+1+2V1+1+10,123,4.5,6,

由图可知二面角C-MV-。的余弦值为逑.(12分)

H八、CUC；+d+C；62..C\C\+C\C\62

3DZV

C：。4515C：(,4515

19.(本小题总分值12分)

【解析】(1)设0=〃2-加，由《4之间的距离为6,得2csinE=g,所以。=1，(2分)"=2)=C；C"C§；+C；CL2"=3)=卑—，p(y=4)=堡普」，

3

。45C；o4515Cf045

由椭圆。的离心率为得£=,，所以a=2,b=\la2-c2=G,

2a2"（"）=等=4C'C*2

存‘""）=言=石，"。分）

所以椭圆c的标准方程为£+£=i.仃分)

43

(2)当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为工=±2,点6,用到直线/的距离之积为3；(6分)所以y的分布列是

当直线/的斜率存在时，设其方程为y=6+m,Y0123456

2222142742

联立y=+m及?+g~=l,消去y得(3+4&+8k九r+4/-12=0,(8分)r

15154515454545

y的数学期望是七（y）=0xZ+ixZ+2x匕+3X2+4X2+5X&+6XZ=11?.（12分）

因为直线I与椭圆C只有一个公共点，所以/=(8如?)2-4(3+43)(4〃?2-12)=-48(〃/一4犬-3)=0,

1515451545454545

所以闭2=4/+3.21.(本小题总分值12分)

\-k+m\[原创]/(x)=asinx+x2ex-ax-xexsinx

点耳(一1,0)到直线/：y=kx+m的距离&

点6（1.0）到直线/:y=A+,"的距离4=与士型⑴当/(x)有两个零点时，求。的取值范围；

\Jk2+\

加-㈢|叱+3-犬|⑵当。=1,X>0时，设g(x)=,求证：g(x)>X+1/LV.

所以44==3,（11分）

k2+\"+1x-sinx

【答案解析】

综上可得，假设直线/与椭圆C只有一个公共点，那么点耳,人到直线/的距离之积为3.“2分)

解：⑴由题知，〃x)=(xe*-a)(x-sinx)有两个零点，•.•x-sinx=0时，x=0

20.(本小题总分值12分)

问题⑴

故当第?=0有一个非零实根

考查了利用导数研究函数的单调性，极值，最值，零点，考查了函数的思想和数形结合的思想，考生容易无

视函数的结构特点盲目求导，及后续图像的特点出现多解的情况：

设h(x)=xex,得h\x)=(x+\)ex

问题⑵

法■：观察要证明的不等式，联系指、对数互化式，构造新函数，利用函数函数单调性，极值，最值证明不

〃(x)在(-Q0,-1)上单调递减，在(一1*。)上单调递增.

等式；

法二：证明不等式构造新函数，研究新函数的单调性，求得最值是最常用的思想方法，解答的难点是寻找二

叉M-l)=-』,/?(O)=O,X>O时，/J(0)>0：x<0时，A(0)<0.

e次求导之后的零点关系式，设而不求是常见的解决此类问题的关键。

所以，。的取值范围是a=-1或a>0.6分比拟法■、法二，法•的技巧性强，复合函数应用得当，构造新函数证明简单方便，对学生的创新意识、抽

e象概括能力要求较高；法二入手直接，但证明过程中会遇到一些瓶颈，对应用意识、数据处理能力要求较高。

(2)由题，g(x)=/(X)=xe*T都很好提升了学生的各种核心素养。

jt-sinx【双向细目表】

法一：•/xer-l>x4-lnx=In(xe'),8分22.（本小题总分值10分）选修4-4：坐标系与参数方程

O

【解析】（1）由1=或-可得X/0,

令，=xex>02+1

8

x=-----

令=f--la>0)10分由［2：',消去参数3可得直线/的普通方程为x+,，-4=0（xw0）.（2分）

4/

y=---

H'(t)=1-：=YH(x)在(0,1)上单调递减，在(1,-K»)上单调递增.r2+t

由。=2sin®可得/=2psin。，将y=psin®,/