2024年新高考模拟卷数学试题（九省联考题型）

2024年新高考模拟卷数学试题（九省联考题型）一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.某校高一年级个班参加艺术节合唱比赛,通过简单随机抽样,获得了个班的比赛得分如下:,,,,,,,,,,则这组数据的分位数为()A. B. C. D. 2.已知双曲线的离心率,则的取值范围是()A. B.C. D.3.已知向量,,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知数列是等差数列,是它的前项和,,则()A. B. C. D. 5.已知是两条不同直线,是三个不同平面,则下列说法正确的是()A.,则 B.,则

C.,则 D.,则6.中国是世界上最早发明雨伞的国家,伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞,其伞面被伞骨分成个区域,每个区域分别印有数字,,,,.现准备给该伞面的每个区域涂色,要求每个区域涂一种颜色,相邻两个区域所涂颜色不能相同,对称的两个区域(如区域与区域)所涂颜色相同.若有种不同颜色的颜料可供选择,则不同的涂色方案有()

A.种 B.种C.种 D.种7.已知,求()A. B. C. D. 8.设椭圆的左,右焦点分别为,直线过点,若点关于的对称点恰好在椭圆上,且,则的离心率为()A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知表示集合的整数元素的个数,若集合,,则()A. B.

C. D.10.已知直线与圆,则下列结论正确的是()A.直线恒过定点

B.直线与圆相交

C.若,直线被圆截得的弦长为

D.若直线与直线垂直,则11.已知函数的定义域为,且,,则()A. B.有最小值

C. D.是奇函数三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.复数(为虚数单位),则的虚部为__________,__________.13.已知直四棱柱的所有棱长均为,,以为球心,为半径的球面与侧面的交线长为__________.14.如图,在平面凸四边形中,,,,,为钝角,则对角线的最大值为__________.

四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.设数列的前项和为,.

(1)求数列的通项公式;

(2)数列满足,求的前项和.

16.如图,在直三棱柱中,,,,点是线段的中点,

(1)求证:

(2)求点到平面的距离;

17.俗话说:“人配衣服,马配鞍”.合理的穿搭会让人舒适感十足,给人以赏心悦目的感觉.张老师准备参加某大型活动,他选择服装搭配的颜色规则如下:将一枚骰子连续投掷两次,两次的点数之和为的倍数,则称为“完美投掷”,出现“完美投掷”,则记;若掷出的点数之和不是的倍数,则称为“不完美投掷”,出现“不完美投掷”,则记;若,则当天穿深色,否则穿浅色.每种颜色的衣物包括西装和休闲装,若张老师选择了深色,再选西装的可能性为,而选择了浅色后,再选西装的可能性为.

(1)求出随机变量的分布列,并求出期望及方差;

(2)求张老师当天穿西装的概率.

18.在直角坐标系中,点为抛物线()上一点,点、为轴正半轴(不含原点)上的两个动点,满足,直线、与抛物线的另一个交点分别为点、.

(1)求直线的斜率;

(2)求面积的取值范围.

19.若函数在上有定义,且对于任意不同的,都有,则称为上的“类函数”.

(1)若,判断是否为上的“类函数”;

(2)若为上的“类函数”,求实数的取值范围;

(3)若为上的“类函数”,且,证明:,,.

答案和解析第1题：【答案】B【解析】将比赛得分从小到大重新排列:,,,,,,,,,,

因为,

所以这组数据的分位数第个数与第个数的平均值,即.

故选:B.

第2题：【答案】A【解析】由已知可得双曲线的焦点在轴上,,,

所以

,由,解得.

故选:A.

第3题：【答案】C【解析】若,等价于,等价于,所以“”是“”的充要条件.故选:C.

第4题：【答案】B【解析】设等差数列的公差为,则,即有,

由,得,解得,因此,所以.故选:B.

第5题：【答案】C【解析】对于A:因为,所以或或与相交,故A错误;

对于B:因为,所以或,故B错误;

对于C:两个平面平行,一个平面中的任意一条直线平行于另外一个平面,故C正确;

对于D:因为,所以或,故D错误;

故选:C.

第6题：【答案】B【解析】由题意可得,只需确定区域,,,的颜色,即可确定整个伞面的涂色.

先涂区域,有种选择,再涂区域,有种选择,

当区域与区域涂的颜色不同时,区域有种选择,剩下的区域有种选择;

当区域与区域涂的颜色相同时,剩下的区域有种选择,

故不同的涂色方案有种.

故选:B.

第7题：【答案】D【解析】由题意知,

即,

故,

即,

故,

即

,

故选:D.

第8题：【答案】D【解析】设,

由已知可得,,

根据椭圆的定义有,

又,

所以,

在中,由余弦定理可得,

,

即,

即,

化简得,则,

所以,

解得或(舍去),

所以.

故选:D.

第9题：【答案】B,C【解析】因为,,

所以,,,,

故选:BC.

第10题：【答案】B,C【解析】直线,即,则直线恒过定点,故A错误;

因为,所以定点在圆内部,∴直线与圆相交,故B正确:

当时,直线,即圆心到直线的距离,

直线被圆截得的弦长为,故C正确

若与直线垂直,故,则或,故D不正确;

故选:BC.

第11题：【答案】A,C,D【解析】对于A中,令,可得,所以A正确;

对于B中,令,且,则,

可得,

若时,时,,此时函数为单调递增函数;

若时,时,,此时函数为单调递减函数,

所以函数不一定有最小值,所以B错误;

对于C中,令,可得,

即,

所以,,,,

各式相加得,所以,所以C正确;

对于D中,令,可得,可得,

即,所以函数是奇函数,所以D正确;

故选:ACD.

第12题：【答案】,【解析】因为,所以的虚部为,,

故填:;.

第13题：【答案】【解析】如图:取的中点,连接,

结合题意:易得为等边三角形,

因为为的中点,所以

因为在直四棱柱中有面,且面,

所以,又因为,且面

所以面,结合球的性质可知为该截面圆的圆心,

因为直四棱柱的所有棱长均为,,

所以,,,,

故以为球心,为半径的球面与侧面的交线为:以为圆心,为半径的圆所成的圆弧.

所以.

故答案为:.

第14题：【答案】【解析】设,中

,,

又,

,

中,

,当且仅当时等号成立,.

第15题：【答案】见解析【解析】(1)由,得(),

两式相减得:(),即(),

当时,,得,所以(),

故是首项为,公比为的等比数列.从而.

(2)由(1)得.

所以

第16题：【答案】见解析【解析】(1)中,,,,所以,

在直三棱柱中,平面,平面,所以,

又因为,平面,平面,

所以平面,平面,所以.

(2)由(1)知,平面,平面,平面,

所以,,又,如图建立空间直角坐标系,

则,,,,

,,,

设平面的一个法向量为,

则,解得,令,则,

设到平面的距离为,得.

第17题：【答案】见解析【解析】(1)将一枚骰子连续投掷两次共有基本事件种,

掷出的点数之和是的倍数有:

,种;

则掷出的点数之和不是的倍数有种,

随机变量的取值为,,

,

所以的分布列为:

.

;

(2)设表示深色,则表示穿浅色,表示穿西装,则表示穿休闲装.

根据题意,穿深色衣物的概率为,则穿浅色衣物的概率为,

穿深色西装的概率为,穿浅色西装的概率为,

则当天穿西装的概率为.

所以张老师当天穿西装的概率为.

第18题：【答案】见解析【解析】(1)设,因为在抛物线上,所以,所以,所以,不妨设在的左边,过作垂直于轴交于点,如下图,

因为,所以,因为,

所以,所以直线的倾斜角互补,所以,

显然不与关于轴的对称点重合,所以,又因为,,

所以,所以,所以,

所以,即直线的斜率为;

(2)设,联立可得,

所以,且,所以,

若与重合,此时,由上可知,

又,

且到直线的距离,所以,

令,所以,

所以在上单调递增,且,所以的面积取值范围是,即为.

第19题：【答案】见解析【解析】（1）对于任意不同的,

有,,所以,

,

所以是上的