第三章2010一二阶系统的暂态响应分析1

第三章自动控制系统的时域分析(12学时)信息学院二○○九年九月2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析系统分析方法:时域、频域什么是时域分析？指控制系统在典型输入信号作用下，根据输出响应的时域表达式，分析系统的稳定性、动态性能和稳态性能。优点：时域分析是直接在时间域中对系统进行分析的方法，从时域响应曲线上能直接得到系统时间响应的全部信息，具有直观和准确的优点，便于建立系统性能指标

。2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析缺点：难以判断系统结构和参数对动态性能的影响，很难用于系统的设计。对于高阶系统，系统分析的工作量将急剧增加，不易确定其性能指标。必须借助计算机实现。系统分析的目的：是找出系统的结构和参数与系统性能之间的关系，从而指导我们对控制系统进行设计。2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析

自动控制系统的时域指标一阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应高阶系统的阶跃响应自动控制系统的代数稳定判据稳态误差主要内容2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析了解典型信号和自动控制系统时域指标的定义；掌握一阶和二阶系统分析与暂态性能指标计算方法；建立系统参数与系统暂态响应之间的对应关系；了解系统参数对系统暂态性能指标的影响，能够定性分析高阶系统的暂态响应过程；理解和掌握线性控制系统稳定的充要条件，会用劳斯判据判断系统的稳定性；理解稳态误差的概念，了解系统参数对系统误差的影响，熟练掌握误差传递函数和稳态误差的计算方法。学习重点2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析3.1自动控制系统的时域指标

（1）系统应是稳定的；（2）系统达到稳定时，应满足给定的稳态误差的要求；（3）系统在暂态过程中应满足暂态品质的要求。1、对控制性能的要求

稳定性稳态特性暂态特性三性2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析为了能对不同的控制系统的性能用统一的标准来恒量，通常需要选择几种典型的外作用。典型输入（测试）信号选取原则：（1）简单的时间函数，便于数学分析和试验研究。（2）在现场及实验室中容易获得。（3）实际信号可由这些典型信号组合而得。控制工程中常用典型输入（测试）信号：

阶跃信号，斜坡信号，抛物线信号，脉冲信号。2.自动控制系统的典型输入(测试)信号2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析2.自动控制系统的典型输入(测试)信号A=1时称为单位阶跃信号（1）阶跃信号(stepinputsignal)2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析（2）斜坡信号(速度信号）rampinputsignalA=1时称为单位斜坡信号2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析（3）抛物线信号（加速度信号）accelerateinputsignal当A=1/2时，称为单位抛物线函数2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析（4）脉冲函数pulseinputsignal理想单位脉冲函数R为脉冲函数的幅值，R=1时称为单位理想脉冲函数脉冲函数定义：2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析当A=1时，称为单位脉冲函数

（t）脉冲信号或实际脉冲信号2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析（5）正弦函数02024/2/19第三章自动控制系统的时域分析

本章主要以单位阶跃函数作为系统的输入量来分析系统的暂态响应。

2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析

当输入信号突然跳变时，输出量还处在原有的平衡状态，这样就出现了偏差，这个偏差控制输出量达到新的平衡，这就是一个调节过程。t01Ｘr(t)t01Ｘc(t)12理想的调节过程实际3、系统响应过程2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析整个调节过程分为两个阶段:a.暂态过程反映系统的动态特性。输出量处于激烈变化之中，用暂态性能指标来评价它。b.稳态过程反映系统的稳态特性。输出量稳定在新的平衡状态，并保持不变。提供有关稳态误差的信息，用稳态性能指标来评价它。t01Ｘc(t)12理想的调节过程实际2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析在工程上，许多高阶系统常常具有近似一、二阶系统的时间响应。因此，深入研究一、二阶系统的性能指标，有着广泛的实际意义。2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析3.2一阶系统的阶跃响应

1.一阶系统的数学模型

2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析2.一阶系统的单位阶跃响应2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析

3.

一阶系统的阶跃响应曲线由解析式和曲线图可以得出以下结论：初始斜率为1/T；可以用时间常数T去度量系统的输出量的数值；确定T值的方法之一实验确定T值、系统是否是一阶系统的理论依据2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析上升时间tr调节时间ts

4.一阶系统的性能指标动态性能指标定义上升时间tr2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析动态性能指标调节时间

ess=输出期望值-输出实际值=1-xc(∞)=1-1=0稳态性能指标上升时间结论：T（惯性）越小，调节时间ts越小，响应过程的快速性越好。2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析例3.1、一阶系统的结构如下图所示。试求该系统单位阶跃响应的调节时间ts

；如果要求ts(5%)

0.1(秒)，试问系统的反馈系数应取何值？2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析解：（1）首先由系统结构图写出闭环传递函数得T=0.1（s），取5%误差带得调节时间

ts

=3T=0.3(s)

2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析（2）求满足ts

(5%)

0.1（s）的反馈系数值。假设反馈系数Kt(Kt>0)，那么同样可由结构图写出闭环传递函数由闭环传递函数可得T=0.01/Kt根据题意要求ts

(5%)

0.1（s）则ts

=3T=0.03/Kt

0.1(s)所以Kt

0.32024/2/19第三章自动控制系统的时域分析1.典型二阶系统的数学模型

闭环传函：3.3二阶系统的阶跃响应二阶系统标准型典型二阶系统标准形式开环传函：：自然频率(无阻尼振荡频率)：阻尼比重要2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析2.典型二阶系统的单位阶跃响应特征根：特征方程：特征根的性质取决于的大小；二阶系统的时间响应取决于和两个参数，按以下情况来研究二阶系统的时间响应。2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析过阻尼（

>1）系统的特征根为二不等负实根特征根（闭环极点）：2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析输出量的拉氏变换：2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析输出响应的时间函数：谁衰减的更快？2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析⑴系统响应为单调上升；

⑵

稳态分量为1；⑶

暂态分量由两部分组成，极点距虚轴越近，对系统响应影响越大。⑷

当时，第二项的衰减指数远比前一项大得多，所以第二项暂态分量只是在响应的前期对系统的输出有影响，后期的影响很小，第二项可以忽略，此时的二阶系统的响应可近似为一阶系统响应。结论：具有负实极点2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析时的响应曲线。一定时，随的增大，系统的响应速度变慢。结论：⑸上升时间tr2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析时的响应曲线。结论：

（6）

一定时，随的增大，系统的响应速度变快。2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析二相等负实根（2）临界阻尼（

=1）系统的特征根为输出量的拉氏变换：输出响应为：2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析一对左半S面一对共轭复根（3）欠阻尼（）系统的特征根为2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析输出量的拉氏变换：拉式反变换后可得：式中：阻尼角，阻尼振荡频率

2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析重点，理解性记忆2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析结论：1、欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为衰减振荡曲线。2、稳态分量为1；3、暂态分量为一按指数衰减的简谐振动时间函数，形态与和有关；2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析分别为1、2、3、4时的响应曲线。

一定时，系统的超调量不变。随的增大，响应速度加快。结论：2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析时的响应曲线。0.20.30.10.40.8振荡程度与

有关：

一定时，随的增大，系统的响应速度变慢，超调量减小。

越小，超调量越大，振荡越剧烈2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析（4）无阻尼（

=0）

系统的特征根为

输出量的拉氏变换为

二阶系统的暂态响应为一对位于虚轴上共轭虚根结论：输出Xc(t)为一条在0和2之间不衰减的等幅振荡曲线。2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析（5）

<0（负阻尼）系统的特征根为:右半S平面的二根结论：当

<0时系统具有二右半面的特征根，输出

响应为一发散形式的曲线。2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析小结一阶系统的响应是单调上升的过程，品质由时间常数T来表证。二阶系统的响应由这两个特征参数来决定。暂态响应暂态响应稳态响应稳态响应2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析（1）系统的响应由两部分组成：稳态响应＋暂态响应。由闭环极点或特征根决定。2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析（2）极点在S平面上的位置分布对系统响应的影响。a.当极点位于S平面的左半面时，系统响应收敛。

b.系统极点位于S平面的右半面或虚轴上，响应发散。c.极点离虚轴越近，对系统响应影响越大，极点离虚轴越远，对系统响应影响越小。2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析二阶系统的闭环极点分布特征根：四种运动模态2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析d.极点的实部决定着系统暂态响应是否收敛与衰减的快慢；虚部决定着系统暂态响应的振荡情况。衰减系数2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析在不同的阻尼比时，二阶系统的暂态响应有很大的区别，因此阻尼比

是二阶系统的重要参量。当

≤0时，系统不能正常工作，而在

≥1时，系统暂态响应进行的又太慢（退化为一阶系统）。所以，对二阶系统来说，欠阻尼情况（）是最有实际意义的。

2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析当时，典型二阶系统的输出响应为3.二阶系统暂态特性指标

典型二阶系统2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析时间tr上升峰值时间tmAB超调量σ%=AB100%调节时间ts二阶系统暂态特性指标定义快速性：上升时间tr

，调节时间ts、峰值时间tｍ．平稳性：超调量σ

%，2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析令t=tr

时，xc（t

r）=1，得（1）上升时间tr

----系统的输出第一次达到稳态值的时间取n=1，得：2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析结论：1、当

n一定时，阻尼比越小，则上升时间

tr

越短；

2、当阻尼比一定时，

n越大，则tr

越短。2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析最大超调量发生在第一个周期中t=tm

时刻。令得峰值时间（2）最大超调量σ%输出最大值相对于输出稳态值的误差。计算公式为2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析即因此因为在n=1时出现最大超调量，所以有峰值时间为：2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析将代入1、只与有关，随的减小而增大。2、结论：得输出最大值为2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析定义：系统的输出与稳态值之间的偏差达到允许范围（一般取5%～2%）而不再超出的暂态过程时间。（3）调节时间根据调节时间的定义，设误差带为：得：2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析x2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析由此求得调节时间为：结论：1、调节时间与闭环极点的实部成反比。2、保持不变，增大可在不改变超调量的情况下减小ts。2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析4.二阶系统特征参数与暂态性能指标之间的关系阻尼比是二阶系统的一个重要参量，由值的大小可以间接判断一个二阶系统的暂态品质。2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析（1）最大超调量只与阻尼比这一特征参数有关。因此，通常可以根据允许的超调量来选择阻尼比。（2）调节时间与系统阻尼比和自然振荡角频率的乘积成反比。为了限制超调量，并使调节时间较短，阻尼比一般应在0.4～0.8之间，这时阶跃响应的超调量将在1.5%～25%之间。2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析令5.二阶工程最佳参数2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析例3-2位置随动系统结构如图所示，其中Kk

=4。求1）自然振荡角频率；2）系统的阻尼比；3）超调量和调节时间；4）如果要求，应怎样改变系统参数Kk

。2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析解：

系统的闭环传递函数为写成标准形式

对照标准型得（1）自然振荡角频率2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析（3）超调量

调节时间（4）当要求时

（2）阻尼比2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析例3-3为了改善例3-2系统的暂态响应性能，满足单位阶跃输入下系统超调量的要求，今加入微分负反馈，如下图所示。求微分时间常数。2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析系统闭环传递函数为

时间常数形式解：系统的开环传递函数为

2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析为了使，令由可求得并由此求得开环放大系数为2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析由例3-3可知：当系统加入局部微分负反馈时，相当于增加了系统的阻尼比，提高了系统的平稳性，但同时也降低了系统的开环放大系数，提高了系统稳态精度。2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析(1)二阶系统加极点的暂态响应系统传递函数当时，特征方程式的三个根为惯性，积分环节6.零、极点对二阶系统暂态性能的影响2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析因此得

系统输出响应为

式中是负实数极点与共轭复数极点的负实部之比。2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析结论（1）具有负实数极点的三阶系统，振荡性减弱，调节时间增长，超调量减小。极点的加入相当于加入了积分环节，起惯性延缓作用。

（2）极点距虚轴越近，影响越大（对应暂态分量衰减越慢，系数越大）。2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析式中：——时间常数。系统的传递函数为：(2)具有零点的二阶系统的暂态特性分析比例微分环节(PD调节器)零点单位阶跃响输入时：分析12024/2/19第三章自动控制系统的时域分析结论：1、零点的加人会削弱极点的作用，但不影响暂态分量的个数，只影响暂态分量的系数A。令，则分析22024/2/19第三章自动控制系统的时域分析设

则在初始条件为零时，取拉氏反变换为2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析

结论：（2）闭环零点的存在，起微分加快的作用，使输出响应加快，超调增大。2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析结论：（3）零点离虚轴越近，对系统响应的影响越大，越远，影响越小。当零点离虚轴无穷远时，影响为零。2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析3.4高阶系统的暂态响应

式中：

——系统闭环零点，又称系统零点；

——系统闭环极点，又称系统极点。三阶以上的系统高阶系统的闭环传递函数形式：将分子和分母分解成因式----首1形式：2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析

假设：1、系统稳定，且全部极、零点互不相同。

2、包含实极点和共轭复数极点。则:单位阶跃响应的拉氏变换为式中：n=q+2r；q为实数极点的个数，r为共轭极点的对数。

2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析拉氏反变换得单位阶跃响应为：2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析结论：高阶系统（1）响应曲线类型由闭环极点决定（发散，等幅振荡，衰减振荡，单调）（2）响应曲线的形状和闭环极点和零点有关。闭环极点负实部的绝对值越大(极点距虚轴愈远)，

则其对应的响应分量(模态)衰减的越迅速，否则，衰减的越慢。(和极点有关)在留数的计算过程中，要用到Xc(s),而Xc(s),中包含有闭环的零点，因此不可避免地要影响到留数的值。(和零点有关)2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析a.零极点相互靠近，则对应的Aj

就越小，且离虚轴较远(衰减速度快)，它们对Xc(t)影响越小；b.零极点很靠近，它们对Xc(t)几乎没影响；c.零极点重合——偶极子，它们对Xc(t)

无任何影响；d.极点pj附近无零点，且靠近虚轴，则此极点对

Xc(t)影响大。主导极点进一步理解2024/2/19第三章自动控制系统的时域分析（3）高阶系统没有零点，且距离虚轴最近的极点其实部小于其它极点的实部的1/5，可以认为系统的暂态响应主要由这一极点决定。这些对暂态响应起主导作用的闭环极点，叫作主导极点。主导极点的作用