高中数学必修五2.4等比数列(一)

2．4等比数列〔一〕主备人：高秀娟副备人：魏本忠课前小练数列等差数列定义同一常数通项公式性质

an+1-an=dd叫公差

an=a1+(n-1)d

an=am+(n-m)d如果一碗面由256根面条组成,请问需要拉面师傅拉几次才能得到?我国古代学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”即一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完，这样每天剩下的局部都是前一天的一半。如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是如果每一轮每一台电脑都感染20台电脑，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的电脑数构成的数列是：1，20，202，203，…，20n-1，…拉面时前9次拉伸成的面条根数构成一个数列:

这些数列有什么共同特点?从第二项起,每一项与前一项的比都等于同一个常数。1,2,4,8,16,32,64,128,2561,2,4,8,16,32,64,128,256名称等差数列等比数列定义如果一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,

这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示.如果一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示1.等比数列定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。或其数学表达式：1、判断以下数列是否为等比数列。假设是，那么公比是多少，假设不是，请说明理由：(1)

16，8，4，2，1，…；(2)

5，-25，125，-625，…；

(4)

2，2，2，2，2，…；(3)1，0，1，0，1，…；是，公比是0.5是，公比是-5

不是是，公比是1(5)x=0时，不是；否那么，是.公比为x注意【预习自测】（1）即等比数列的每一项都不为0；（2）即等比数列的公比不为0；（3）为非零常值数列；

2、等比数列的通项公式：

法一：递推法〔不完全归纳法〕……由此归纳等比数列的通项公式可得：等比数列等差数列……由此归纳等差数列的通项公式可得：类比累乘法……共n–1项×〕等比数列法二：迭加法……+）等差数列类比2、等比数列的通项公式：

3.性质：可得可得等差数列等比数列类比4、等比中项如果在a,b中插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a,b的等比中项.如果G是a与b的等比中项,那么,即

G2=ab,因此,【预习自测】【课内探究】〔展示〕

解：〔1〕〔2〕〔3〕例2、某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84％.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?〔放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期〕解：设这种物质质量是1，答：这种物质的半衰期约为4年.小结数列等差数列等比数列定义同一常数通项公式性质

an+1-an=dd叫公差

an=a1+(n-1)d

an=am+(n-m)d你还知道等差数列有什么性质吗?你能类比写出等比数列的性质吗?q叫公比

an=a1qn-1

an=amqn-m【反响检测】D4、某地为了保持水土资源实行退耕还林，如果2013年退耕8万公顷，以后每年比一年增加10%，那么2018年需退耕多少万公顷？〔结果保存到个位〕解：答：2018年需退耕约13万公顷.解：由等比数列的通项公式的特点可得：q=10,a1=-30解：n=1a1=21=2n=2a2=22=4可得：q=2nAn+Ba=（等差）nA×Bna=（等比）例3：由下列等比数列的通项公式，求首项与公比（1）an=2n(2)an=3×10n

思考:你能判断它们的增减性吗?猜一猜给你一张足够大的纸，假设其厚度为0.1毫米，那么当你把这张纸对折了51次的时候，所到达的厚度有多少？

猜一猜：把一张纸折叠51次，得到的大约是地球与太阳之间的距离！图〔１〕是一个边长为１的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图〔２〕，如此继续下去，得图〔３〕……试求第ｎ个图形的边数,边长和周长．应用拓展思考按照此题作法形成的图形也称为雪花曲线．可以发现，当ｎ增大时，这个图形的边长越来越小，但周长却越来越大，你还能发现这个图形其他有趣的性质吗？

要计算第ｎ个图形的周长，只需计算第ｎ个图形的边数．第１个图形的边数为３，因为从第２个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的４倍，所以，第ｎ个图形的边数为３×４ｎ－１．因此，解：设第ｎ个图形的边长为ａｎ．由题意知，