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朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页第10章线性代数第一节方阵的行列式1．阶行列式有关概念（1）定义：设是阶方阵，称数为方阵的行列式，记为。异常地，对于二阶、三阶行列式，有（2）转置行列式：行列式的行列互换所得的行列式称为原行列式的转置行列式，即=这里是的转置矩阵。（3）余子式与代数余子式。将阶行列式中元素所在的第行和第列的元素划掉，剩余的元素按原位置次序所构成的阶行列式，称为元素的余子式，记为，即而称为元素的代数余子式。2．行列式的性质性质1：，即行列式与其转置行列式的值相等。性质2：两行（列）互换位置，行列式的值变号。推论：两行（列）元素相同，行列式的值为零。性质3：某行（列）的公因子可提到行列式符号外。推论：某行（列）元素全为零，行列式的值为零。性质4：两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零。性质5：倘若某行（列）的所有元素都是两个数的和，则该行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式的这一行（列）的元素分离为对应元素的两个加数之一，其余各行（列）的元素与原行列式相同。性质6：某行（列）各元素的倍加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。【例题10-1】设其中，则。（A）（B）（C）（D）解：从中每行提一个公因子3可得，故，应选C。【例题10-2】设是三维列向量，则与相等的是：(A)(B)(C)(D)解：将第一列的倍加到第二列和第三列，得，再将所得行列式第二列的倍加到第三列，。其它三个选项都不能等于，故选(D)。3．重要结论（1）上三角行列式的值等于对角线上元素的乘积，即（2）设是阶方阵，则（3）设都是阶方阵，则，由该公式可推得，及注：（4）形如(其中都是方阵)的矩阵称为分块对角阵，对于分块对角阵有。【例题10-3】设是阶矩阵，是阶矩阵，行列式等于：(A)(B)(C)(D)解：从第行开始，将行列式的前行逐次与后行交换，共交换次可得,故选(D)。4．行列式展开设，为的代数余子式，则有其中,称为按行展开公式，其中,称为按列展开公式。【例题10-4】设行列式，表示行列式元素的代数余子式，则等于：(A)(B)(C)(D)解：由代数余子式定义，，对这个三阶行列式按第一行展开，有；同理可得，故，应选(A).5．阶行列式计算（1）行列式计算的第一个思路是：利用行列式的性质，将行列式化为上三角行列式，再对角线上元素相乘，从而得到结果。这种主意常用于行列式中元素罗列比较有逻辑的情形。【例题10-5】行列式的值是：(A)12(B)24(C)48(D)36解：由行列式的性质,将第一行分离加到第二、三、四行，得故选C。（2）行列式计算的第二个思路是：利用行列式的性质，将行列式的某一

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