河南省周口市太康县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

-2024学年河南省周口市太康县八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在实数−1，2，−0.5，5中，无理数有(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.下列计算正确的是(

)A.a6÷a3=a2 B.3.下列线段能构成直角三角形的是(

)A.8，6，10 B.3，4，8 C.5，6，10 D.2，5，64.用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB.做法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是(

)A.SAS B.SSS C.ASA D.HL5.下列命题的逆命题是假命题的是(

)A.直角三角形的两锐角互余 B.全等三角形的对应角相等

C.两直线平行，内错角相等 D.等腰三角形的底角相等6.如图是我市某景点6月份内1～10日每天的最高温度折线统计图，由图信息可知该景点这10天中，气温26℃出现的频率是(

)A.3 B.0.5 C.0.4 D.0.37.下列说法中，正确的个数是(

)

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；

③有两个角为60°的三角形是等边三角形；

④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD的长为(

)A.52

B.25

C.2

9.一只蚂蚁从长为2cm，宽为1cm，高是4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是(

)

A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm10.如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=30°，D为AB的中点，P为CD上一点，E为BC延长线上一点，PA=PE.下列结论：①∠PAB+∠PEB=30°；②△PAE为等边三角形；③AC=CE+DP；④S四边形AECP=S△ABCA.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.计算：(−2+3a)2=12.(−10)213.如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是______.(写一种即可)

14.如图所示：已知两个正方形的面积，则字母A所代表的正方形的面积为______．

15.如图，已知等边三角形ABC的边长为8cm，∠A=∠B=60°，点D为边BC上一点，且BD=3cm.若点M在线段CA上以2cm/s的速度由点C向点A运动，同时，点N在线段AB上由点A向点B运动．若△CDM与△AMN全等，则点N的运动速度是______cm/s．

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)

计算：

(1)16−327+217.(本小题8分)

尺规作图.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)求作线段AB的垂直平分线；

(2)求作∠BAC的角平分线．18.(本小题8分)

先化简，再求值：(ab3−2a2b219.(本小题8分)

如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB=DE，AC/​/DF，BC//EF.求证：BC=EF．20.(本小题9分)

如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F．

(1)若DE=6，BC=4，求线段AE的长；

(2)已知∠D=35°，∠C=60°，求∠AFD的度数．21.(本小题10分)

某中学为了增强学生体质，计划开设A：跳绳，B：毽球，C：篮球，D：足球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，对部分学生进行抽样调查(每人只能选择一种体育活动)，并绘制成如图所示的两幅不完全的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：

(1)求这次抽样调查的学生有多少人？

(2)求出B所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；

(3)若该校有800名学生，请根据抽样调查结果估计喜欢B的人数．22.(本小题10分)

为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路.如图，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC，AD和AB，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC=9千米，AB=15千米，BD=5千米．

(1)求公路CD、AD的长度；

(2)若修公路DH每千米的费用是2万元，请求出修建公路DH的费用．23.(本小题12分)

(1)问题发现

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．

填空：

①∠AEB的度数为______；

②线段AD，BE之间的数量关系为______．

(2)拓展探究

如图2，∠ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上.CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系.并说明理由．答案解析1.【答案】A

【解析】解：在实数−1，2，−0.5，5中，5是无理数，−1，2，−0.5是有理数，

故选：A．

根据无理数的定义：无限不循环的小数为无理数，可知52.【答案】D

【解析】解：A、a6÷a3=a3≠a2，不符合题意；

B、2a2与3a3不是同类项，不能合并，不符合题意；

C、a3.【答案】A

【解析】解：A、82+62=102，故是直角三角形，故选项符合题意；

B、32+42≠82，故不是直角三角形，故选项不符合题意；

C、54.【答案】D

【解析】解：在Rt△POM和Rt△PON中，

OP=OPOM=ON，

∴Rt△POM≌Rt△PON(HL)，

∴∠POM=∠PON，

∴OP平分∠AOB，

故选：D．

根据全等三角形的判定方法解决问题即可．

本题考查作图−5.【答案】B

【解析】解：A、C、D中命题的逆命题是真命题，故A、C、D不符合题意；

B、对应角相等的三角形不一定全等，故B符合题意．

故选：B．

由全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，即可判断．

本题考查命题与定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，掌握以上知识点是解题的关键．6.【答案】D

【解析】解：由折线统计图知，气温26℃出现的天数为3天，

∴气温26℃出现的频率是3÷10=0.3，

故选：D．

用气温26℃出现的天数除以总天数10即可得．

本题主要考查频数(率)分布折线图，解题的关键是掌握频率的概念，根据折线图得出解题所需的数据．7.【答案】D

【解析】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确．

②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；正确．

③有两个角为60°的三角形是等边三角形；正确．

④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形；正确．

故选：D．

根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断；

本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8.【答案】A

【解析】解：∵∠A=90°，AB=3，AC=4，

∴BC=AB2+AC2=32+42=5，

∵将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，

∴AB=A′B=3，∠A=∠BA′D=90°，AD=A′D，

∴A′C=5−3=2，

∵CD2=A′D2+A′C2，

∴CD9.【答案】C

【解析】解：将长方体展开，如图1所示，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB=5(cm)，

如图2所示，(4+1)2+22=29(cm)，

如图3所示，12+(4+2)2=37(cm)10.【答案】C

【解析】解：如图，连接BP，

因为AC=BC，∠ABC=30°，点D是AB的中点，

所以∠CAB=∠ABC=30°，AD=BD，CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=60°，

所以CD是AB的中垂线，

所以AP=BP，

且AP=PE，

所以AP=PB=PE，

所以∠PAB=∠PBA，∠PEB=∠PBE，

所以∠PBA+∠PBE=∠PAB+∠PEB，

所以∠ABC=∠PAB+∠PEB=30°，故①正确；

因为PA=PE，

所以∠PAE=∠PEA，

因为∠ABC=30°，

所以∠BAE+∠BEA=180° −∠ABC=150°，

因为∠PAD+∠PEC=∠ABC=30°，

所以∠PAE=∠PEA=150°−30°2=60°，

所以△PAE是等边三角形，故②正确；

过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG=CP，

因为CG=CP，∠BCD=60°，

所以△CPG是等边三角形，

所以∠CGP=∠PCG=60°，

所以∠ECP=∠BGP=120°，

在△ECP和△BGP中，∠ECP=∠BGP=120°∠PCE=∠PGBEP=BP,

所以△ECP≌△BGP(AAS)，

所以CE=GB，

所以AC=BC=BG+CG=EC+CP，

因为CP不一定等于DP，故③错误；

因为∠ABC=30°，AF⊥BM，

所以AF=12AB=AD，

因为S△ACB=12CB·AF=12(EC+CP)·AF=12EC·AF+12CP·AD=S四边形AECP，

所以S四边形AECP=S△ABC.故④正确．

所以其中正确的结论是①②④．

故选：11.【答案】4−12a+9a【解析】解：原式=(−2)2+2×(−2)⋅3a+(3a)2=4−12a+9a2．12.【答案】10

【解析】解：原式=|−10|=10，

故答案为：10．

利用 a2=|a|进行化简即可．13.【答案】AC=BD

【解析】解：可添加AC=BD，

∵AC⊥BC，AD⊥BD，

∴∠C=∠D=90°，

在Rt△ABC和Rt△BAD中，

∵AB=BAAC=BD，

∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，

故答案为：AC=BD．

根据直角三角形全等的判定即可求解．14.【答案】64

【解析】解：由图形可知，字母A所代表的正方形的面积=289−225=64，

故答案为：64．

根据勾股定理结合正方形的面积公式即可求解．

本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．15.【答案】2或52【解析】解：设点M、N的运动时间为t s，则CM=2tcm．

∵三角形ABC是等边三角形，

∴∠C=∠A=60°，

∴当△CDM与△AMN全等时，分两种情况：

①如果△CDM≌△AMN，那么AN=CM=2tcm，

∴点N的运动速度是2tt=2(cm/s)；

②如果△CDM≌△ANM，那么CM=AM=12AC=4cm，

AN=CD=BC−BD=5cm，

∴点M的运动时间为：42=2(s)，

∴点N的运动速度是52cm/s．

综上可知，点N的运动速度是2或52cm/s．

故答案为：2或52．

由于∠C=∠A，所以当△CDM与△AMN全等时，分两种情况：①△CDM≌△AMN；16.【答案】解：(1)原式=4−3+94+3

=4−3+32+3

=112；

(2)原式【解析】(1)先把带分数化为假分数，再利用二次根式的性质计算，然后进行开方运算，最后进行有理数的加减运算；

(2)先分成两组，前面一组利用完全平方公式分解，然后利用平方差公式分解因式．

本题考查了因式分解−分组分解法：分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．也考查了实数的运算．17.【答案】解：(1)如图，DE为所作；

(2)如图，AF为所作．

【解析】(1)利用基本作图作AB的垂直平分线即可；

(2)利用基本作图作∠BAC的平分线即可．

本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．18.【答案】解：(ab3−2a2b2−a3b)÷ab+(a+b)(a−b)

=b2−2ab−a【解析】根据多项式除单项式法则进行整式的化简，再将a=−1，b=2代入−2ab计算即可．

本题考查了整式的化简求值，熟练掌握多项式除单项式是解答本题的关键．19.【答案】证明：∵AC/​/DF，BC/​/EF，

∴∠A=∠FDE，∠CBA=∠E，

∵AB=DE，

∴△ABC≌△DEF(ASA)，

∴BC=EF．

【解析】利用平行线的性质可得∠A=∠FDE，∠CBA=∠E，从而利用ASA证明△ABC≌△DEF，然后利用全等三角形的性质即可解答．

本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．20.【答案】解：(1)∵△ABC≌△DEB，DE=6，BC=4，

∴AB=DE=6，BE=BC=4，

∴AE=AB−BE=6−4=2；

(2)∵△ABC≌△DEB，∠D=35°，∠C=60°，

∴∠DBE=∠C=60°，∠A=∠D=35°，∠ABC=∠DEB，

∴∠ABC=180°−∠A−∠C=85°，

∴∠DEB=85°，

∴∠AED=95°，

∴∠AFD=∠A+∠AED=35°+95°=130°．

【解析】(1)根据全等三角形的性质得到AB=DE=6，BE=BC=4，结合图形计算，得到答案；

(2)根据全等三角形的性质得到∠DBE=∠C=60°，∠A=∠D=35°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，计算即可．

本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．21.【答案】解：(1)由统计图可知，36÷30%=120(人)，

答：这次抽样调查的学生有120人；

(2)360°×42120=126°，120×20%=24(人)，

答：B所在扇形圆心角的度数为126°，补全条形统计图如图所示：

(3)800×42120=280(人)，

答：估计喜欢【解析】(1)根据A的人数和所占的百分数求解即可；

(2)根据B占圆周角的百分数求解即可；求出C的人数即可补全条形统计图；

(3)由该校人数乘以B所占的百分数即可求解．

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．用样本估计总体等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．22.【答案】解：(1)∵∠C=90°，AC=9千米，AB=15千米，

∴BC=AB2−AC2=12千米，

∵BD=5千米，

∴CD=7千米，

∴AD=AC2+CD2=130千米；

(2)∵DH⊥AB【解析】(1)根据勾股定理得出BC=AB2−AC2=12千米，再求出CD=723.【答案】60°

AD=BE

【解析】解：(1)①∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，

∴∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，