概率论与数理统计课件：随机变量的数字特征

随机变量的数字特征4.1数学期望4.2方差4.3协方差与相关系数4.4n维正态随机变量习题４

随机变量的分布函数、分布律和概率密度是随机变量概率特性最完整的刻画，但它们在实际中是不易得到的，因而人们转而讨论随机变量某些侧面或某些方面取值的特征，这就是随机变量的数字特征，它在理论和实际应用中都很重要。

4.1数学期望

1.随机变量数学期望的定义例4－1设有10根钢筋的抗拉指标分别为110，

120，

120，

125，

125，

125，

130，

130，

135，140求它们的平均抗拉指标。解由于它们的平均抗拉指标就是这10根钢筋抗拉指标的算术平均，因此它们的平均抗拉指标为

从例4－1可以看出，这里所求的平均抗拉指标并不是这10根钢筋所取的6个不同的抗拉指标值110、120、125、130、135、140的简单平均，而是依次乘以

后的和，其实就是我们熟知的加权平均。

而这6个分数对应的就是不同抗拉指标的权数，由于它们非负，加起来等于1，因而它们有类似于离散型随机变量的分布律，那么以离散型随机变量可能的取值的概率作为其可能的取值的权数进行加权平均，就得到离散型随机变量的数学期望。

定义1设X是离散型随机变量，其分布律为

如果级数i绝对收敛，则称级数的和为随机变量X的数学期望(期望)或均值，记为E(X)或EX

，即

对于连续型随机变量X，如果其概率密度为f(x)，那么X取任一点x∈(-∞，

+∞)的概率元素为f(x)dx，期望元素为xf(x)dx，因此X的数学期望就是，从而我们有如下定义。

定义2设X是连续型随机变量，其概率密度为f(

x

)，如果积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量X的数学期望(期望)或均值，记为E(X)或EX

，

即

例4－2设离散型随机变量X的分布律为

求X的数学期望EX。

解

例4－3设随机变量X服从参数为p的0-1分布，即X~B(1，

p)，求EX。

解由于X服从参数为p的0-1分布，因此X的分布律为

从而

例4－4设随机变量X服从参数为n、p的二项分布，即X~B(n，

p)，求EX。

解由于X~B(n，

p)，因此X的分布律为

从而

例4－5设随机变量X服从参数为λ的Poisson分布，即X~P(λ

)，求EX。

解由于X~P(λ

)，因此X的分布律为

从而

例4－6设随机变量X服从参数为p的几何分布，求EX。

解由于X服从参数为p的几何分布，因此X的分布律为

从而

对于服从参数为N、M、n的超几何分布随机变量X，它的分布律为

它的数学期望为

例4－7设连续型随机变量X的概率密度为

求X的数学期望EX。

解

例4－8设随机变量X在区间(a，

b)上服从均匀分布，即X~U(a，

b)，求EX。

解由于X~U(a，

b)，因此X的概率密度为

从而

例4－9设随机变量X服从参数为μ、σ2的正态分布，即X~N(μ，

σ2

)，求EX。

解由于X~N(μ，

σ2

)，因此X的概率密度为

从而

例4－10设随机变量X服从参数为λ的指数分布，即X~E(λ

)，求EX。

解由于X~E(λ

)，因此X的概率密度为

从而

2.随机变量函数的数学期望

在许多实际问题中，我们经常需要求随机变量函数的数学期望。对于随机变量函数，

前面曾经给出了定义，下面我们不加证明地给出它们的数学期望。

定理1设离散型随机变量X的分布律为P(X=xi)=p

i(i=1，

2，…)，

y=g(x)为已知的连续函数，如果级数

绝对收敛，则

定理2设连续型随机变量X的概率密度为f(x

)，

y=g(x)为已知的连续函数，如果积分绝对收敛，则

定理1、定理2的重要意义就在于当我们求EY

时，不必求得Y的分布律或概率密度，而只需利用X的分布律或概率密度。

定理3设二维离散型随机变量(X，

Y)的联合分布律为P(X=xi

，

Y=yj)=pij(i，

j=1，

2，…)，

z=g(x，

y)为已知的连续函数，如果级数绝对收敛，则

定理4设二维连续型随机变量(X，

Y)的联合概率密度为f(x，

y

)，

z=g(x，

y)为已知的连续函数，如果积分

绝对收敛，则

需要指出的是，本例也可以先求出X、Y的边缘概率密度，再求出EX、EY，不过本例的方法要简单、方便一些。

例4－16设某种商品每周的需求量X是在区间[10，

30]上服从均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间[10，

30]中的某一整数。商店每销售1单位商品可获利500元。若供大于求，则削价处理，每处理1单位商品亏损100元;若供不应求，则可从外部调剂供应，此时1单位商品仅获利300元。为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最小的进货量。

该性质可以推广到有限个随机变量的情况，结合性质2，设X1

，

X2

，…，

Xn

是随机变量，

C1

，

C2

，…，

Cn是常数，则

例4－19一辆载有20位旅客的民航送客车自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并且各

旅客是否下车相互独立。以X表示停车的次数，求EX。

解

例4－21某企业生产线上产品的合格率为0.96，不合格产品中只有3/4的产品可进行再加工，且再加工的合格率为0.8，其余为废品。已知每件合格产品可获利80元，每件废品亏损20元。为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问该企业每天至少应生产多少件产品?

4.2方差

1.随机变量方差的定义我们知道，随机变量的数学期望表示随机变量可能的取值的平均这一数字特征，但在许多实际问题中，还需要考虑随机变量可能的取值与其均值的偏离程度。因此，人们自然想到用E(X-EX)来度量随机变量可能的取值与其均值EX的偏离程度，但由于上式中带有绝对值，破坏了函数的一些分析性质，不便于数学运算，所以为了方便，常用E(X-EX)2来度量，这就产生了随机变量方差的概念。

由方差的定义可以看到，随机变量的方差DX是随机变量X的函数的数学期望，因此当X是离散型随机变量时，其分布律为P(X=xi)=pi

(i=1，

2，…)，则

当X为连续型随机变量时，其概率密度为f(x

)，则

由方差的定义，结合随机变量数学期望的性质，容易得到

事实上

例4－23设随机变量X服从参数为p的0-1分布，即X~B(1，

p)，求DX。

解由于X服从参数为p的0-1分布，因此X的分布律为

因为EX=p

，而

所以X的方差为

所以X的方差为

例4－32设随机变量X~N(1，

3)，

Y~N(1，

4)，且X、Y相互独立，求Z=X-2Y的概率密度。

解由于X、Y相互独立且都服从正态分布，因此Z=X-2Y服从正态分布，又由于

故Z~N(-1，

19)，从而Z的概率密度为

4.3协方差与相关系数

1.协方差的定义和性质对于二维随机变量(X，

Y)，往往需要讨论它们之间的相关关系，比如线性关系。这样，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需要讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征，为此，我们引入以下定义。

例4－34设二维离散型随机变量(X，

Y)的联合分布律为

求cov(X，

Y)。

解由于

因此图4－1

例4－36设二维离散型随机变量(X，

Y)的联合分布律为

求cov(X-Y，

Y)。

例4－38设二维离散型随机变量(X，

Y)的联合分布律为

且P(X+Y=1X=0)=1/3，试求:

(1)常数a，

b;

(2)cov(X，

Y)。

(2)由(X，

Y)的联合分布律可得X、Y、XY的分布律分别为

例4－39箱中装有6只球，其中红、白、黑球的个数分别为1、2、3，现从箱中随机地取出2只球，记X为取出的红球数，

Y为取出的白球数。试求:

(1)二维离散型随机变量(X，

Y)的联合分布律;

(2)cov(X，

Y)。

(2)由(X，

Y)的联合分布律可得X、Y、XY的分布律分别为

2.相关系数的定义和性质

定义2设X、Y是随机变量，若DX>0，

DY>0，则称

为X与Y的相关系数。

例4－40设箱中装有100件产品，其中一等品、二等品和三等品分别为80件、10件和10件，现随机地抽取1件。记

试求随机变量X1

与X2

的相关系数。

解先求二维离散型随机变量(X1、X2

)的联合分布律。X1、X2

可能的取值为0、1，且

即(X1、X2

)的联合分布律为

再求

X1

与X2

的相关系数。由(X1、X2

)的联合分布律可得X1、X2

的分布律分别为

从而

故

定理1设二维连续型随机变量(X，

Y)~N(μ1

，

μ2;σ21

，

σ22;ρ)，则

ρXY=ρ。

定理1说明，二维正态随机变量(X，

Y)的联合概率密度中的参数ρ就是X与Y的相关系数，因而二维正态随机变量的分布完全可由X、Y各自的数学期望、方差以及它们的相关系数所确定。

解(1)由于二维正态随机变量的两个边缘概率密度都是一维正态随机变量的概率密度，因此由题设知，φ1(x，

y)和φ2(x，

y)的两个边缘概率密度均为标准正态随机变量的概率密度，从而

同理可得

(3)由于

因此(X，

Y)的联合概率密度为

证明(1)由ρ的定义知，要使ρ=0只需当且仅当P(AB)=P(A)P(B

)，即A与B相互独立的充分必要条件是其相关系数ρ=0。

(2)定义随机变量X与Y如下:

则X与Y都服从0-1分布，其分布律分别为

由于

因此

所以随机变量X与Y的相关系数就是事件A与B的相关系数，即ρXY=ρ，又由于ρXY≤1，故ρ≤1。

即(X，

Y)的联合分布律为

3.不相关及其条件

相关系数ρ

XY的实际意义就在于它是用来刻画随机变量X、Y之间有没有线性关系、线性关系强弱的一个数字特征。它的绝对值越大，

X、Y之间的线性关系就越强；反之，它的绝对值越小，

X、Y之间的线性关系就越弱。当X、Y之间不存在线性关系时，我们有以下定义。

定义3设X、Y是随机变量，若ρ

XY

=0，则称X与Y不相关。

定理3若随机变量X、Y相互独立且方差均大于零，则X、Y不相关，但反之不然。

证明设X、Y相互独立且方差均大于零，由相关系数的性质2知

ρ

XY

=0，则X、Y不相关。

例4－47设二维离散型随机变量(X、Y)的联合分布律为

问X、Y是否相关?X、Y是否相互独立?

定理4若二维连续型随机变量(X、Y)服从二维正态分布，则X、Y不相关的充要条件是X、Y相互独立。

证明不妨设(X、Y)~N(μ1，

μ2;σ21

，

σ22;ρ)，由定理1知ρXY=ρ，又由于X、Y相互独立的充要条件是ρ=0，故X、Y不相关的充要条件是X、Y相互独立。

定理5设X、Y是方差均大于零的随机变量，则

(1)X、Y不相关的充要条件是cov(X、Y)=0;

(2)X、Y不相关的充要条件是E(XY)=EX·EY;

(3)X、Y不相关的充要条件是D(X±Y)=DX+DY;

(4)X、Y不相关的充要条件是D(X+Y)=D(X-Y)。

4.4n维正态随机变量

1.矩的概念

定义1设X、Y是随机变量，