复变函数与场论简明教程：解析函数

复变函数

2.1解析函数的概念2.2函数解析的充要条件2.3初等函数

2.1解析函数的概念

1.复变函数的导数

1)导数的定义

定义设函数w=f(z)定义于区域D内，点z0∈D，且z0+Δz也在D内。当z0+Δz→z0（即Δz→0）时，若极限存在，则称f(z)在z0可导。该极限值称为f(z)在z0的导数，

记作(2.1.1)定义表明，对于任意给定的ε>0，相应地存在一个δ(ε)>0，使得当0<|Δz|<δ时，有［例1］判断下列函数是否可导。

（1)f(z)=z2;(2)f(z)=2x+yi。

解(1)对复平面上任意一点z，极限所以f(z)=z2在复平面内处处可导，并且其导数为

f′(z)=2z(2)对复平面上任意一点z，当z+Δz沿着平行于x轴的直线趋向于z时(见图2.1)，Δy=0，极限但是，当z+Δz沿着平行于y轴的直线趋向于z时，Δx=0，极限z+Δz沿不同方向趋于z时，极限不同，所以f(z)=2x+yi的导数不存在。图2.1

2)可导与连续

先考虑f(z)在一点z0可导的情况。由在z0可导的定

义，对于任意给定的ε>0，存在一个δ(ε)>0，使得当0<|Δz|<δ时，有令(2.1.2)则有由式(2.1.2)有(2.1.3)所以即f(z)在z0连续。

3）求导法则

与复变函数中导数的定义及极限运算法则一样，复变函数具有和实变函数相同的求导法则，如下：

(a)(c)′=0，其中ｃ为复常数;

(b)(zn)′=nzn－1，其中n为正整数;

(c)［f(z)±g(z)］′=f′(z)±g′(z);是两个互为反函数的单值函数，且φ′(w)≠0。

4)微分的定义

和导数一样，复变函数的微分定义在形式上与实变函数的微分定义完全一样。

设函数w=f(z)在z0可导，则由式(2.1.3)知

Δw=f(z0+Δz)－f(z0)=f′(z0)Δz+ρ(Δz)Δz

其中

因此，|ρ(Δz)Δz|是|Δz|的高阶无穷小量，而f′(z0)Δz是函数w=f(z)的改变量Δw的线性部分。称f′(z0)Δz为函数w=f(z)在点z0的微分，记作

dw=f′(z0)Δz

(2.1.4)

若函数在z0的微分存在，则称函数f(z)在z0可微。

由于dz=Δz，于是式(2.1.4)写作

dw=f′(z0)dz即(2.1.5)可见，函数w=f(z)在z0可导与在z0可微是等价的。若f(z)在区域D内处处可微，则称f(z)在D内可微。

2.解析函数

定义若函数f(z)在z0及z0的邻域内处处可导，则称f(z)在z0处解析。若f(z)在区域D内每一点都解析，则称f(z)在

D内解析，或称f(z)是D内的一个解析函数（全纯函数或正则函数）。

若f(z)在z0不解析，则称z0为f(z)的奇点。［例2］研究下列函数的解析性：

(1)f(z)=z2;

(2)f(z)=2x+yi;

(3)f(z)=|z|2;

(4)f(z)=1/z。

解由解析函数的定义与本节的［例1］可知，f(z)=z2在复平面内是解析的，而f(z)=2x+yi却处处不解析。对于函数f(z)=|z|2，由于易知，若z0=0，则当Δz→0时，上式的极限为零;若z0≠0，令z0+Δz沿直线y－y0=k(x－x0)趋于z0，有由于k的任意性，上式不趋于一个确定的值。

定理

(1)在区域D内解析的两个函数f(z)与g(z)的和、差、积、商（除去分母为零的点）在D内解析。

（2）设函数h=g(z)在z平面上的区域D内解析，函数w=f(h)在h平面上的区域G内解析，若对任意z∈D，都有h=g(z)∈G，则复合函数w=f［g(z)］在D内解析。

2.2函数解析的充要条件

定理一设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内，则f(z)在D内一点z=x+iy可导的充要条件是：u(x,y)与v(x,y)在该点可微，并且在该点满足柯西－黎曼方程：证明首先证明必要条件。

由式(2.1.3)可知，对于充分小的|Δz|=|Δx+iΔy|>0，有f(z+Δz)－f(z)=f′(z)Δz+ρ(Δz)Δz

其中令则有从而有因此u(x,y)与v(x,y)在z点可微，而且满足方程现在来证明它的充分性。由于又因为u(x,y)与v(x,y)在ｚ点可微，可知由柯西-黎曼方程有故有或所以即函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy处可导，并且导数公式为(2.2.2)定理二函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内解析

的充要条件是：u(x,y)与v(x,y)在D内可微，并且满足柯

西－黎曼方程（即式(2.2.1)）。［例1］判定下列函数在何处可导，在何处解析：

（1)f(z)=z；

（2)f(z)=zRe(z)；

（3)f(z)=ex(cosy+isiny)。

解(1)f(z)=z=x－iy，故u=x,v=－y，从而有不满足柯西-黎曼方程，所以f(z)=z

在复平面内处处不可导，处处不解析。

(2)f(z)=zRe(z)=x2+ixy，故u=x2,v=xy，从而有这四个偏导数是处处连续的，但仅当x=y=0时，才满足柯西-黎曼方程，故f(z)仅在z=0处可导，在复平面内处处不解析。

(3)u=excosy,v=exsiny，从而有故［例2］证明：若f′(z)在区域D内处处为零，则

f(z)在D内为一常数。

证明因为所以可见u和v均为常数，所以f(z)在D内为常数。［例3］证明：若f(z)=u+iv为一解析函数，且f′(z)≠0，则曲线族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必相互正交，

其中c1，c2为常数。

证明由于，故uy与vy必不全为零。如果在曲线的交点处uy与vy都不为零，由隐函数求导法可知，曲线族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2中任一条曲线的斜率分别为由柯西-黎曼方程得2.3初等函数

1．指数函数

我们知道，实变数指数函数ex对任何实数x都是可导的，并且(ex)′=ex。相应地，我们定义复平面内的一个函数f(z)，它满足下列三个条件：

(1)f(z)在复平面内处处解析；

(2)f′(z)=f(z)；

(3)当Im(z)=0时，f(z)=ex，其中x=Re(z)。从2.2节的［例1］中已经知道，函数

f(z)=ex(cosy+isiny)

是一个在复平面内处处解析的函数，f′(z)=f(z)，并且当Im(z)=y=0时，f(z)=ex。所以，该函数满足上述三个条件，称它为复变数z的指数函数，记作

expz=ex(cosy+isiny)

(2.3.1)这个定义等价于关系式其中,k为任意整数。由式(2.3.2)可知

expz≠0因此有

ez=ex(cosy+isiny)

(2.3.3)

特别地，当x=0时，有

eiy=cosy+isiny

(2.3.4)

跟ex一样，ez也服从加法定理，即有

(2.3.5)

设z1=x1+iy1，z2=x2+iy2，按定义有由加法定理，有其中,k为任意整数。上式表明，ez是周期性函数，其周期是2kπi。

2．对数函数

和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反函数。把满足方程

ew=z,z≠0

的函数w=f(z)称为对数函数。令w=u+iv,z=reiθ，则有

eu+iv=reiθ=elnr+iθ

所以u=lnr,v=θ，因此w=ln|z|+iArgz。通常将w记作Lnz，即对数函数

Lnz=ln|z|+iArgz

(2.3.6)

其中,Argz=argz+2kπ,为多值函数，所以

Lnz=ln|z|+iargz+2kπi

(2.3.7)

为多值函数，每个值相差2πi的整数倍。

当k=0时，Lnz为一单值函数，记作lnz，称为Lnz的主值。这样，就有

lnz=ln|z|+iargz,－π<argz≤π

(2.3.8)

而其余各个值可表示为

Lnz=lnz+2kπi,k=±1,±2,…

(2.3.9)对于每一个固定的k，式(2.3.9)为一单值函数，称为Lnz的一个分支。［例2］求Ln2,Ln(－1)及其主值。

解Ln2=ln2+2kπi，它的主值就是ln2。

Ln(－1)=ln1+iArg(－1)=(2k+1)πi（k为整数），它的主值是Ln(－1)=πi。

在实变函数中，负数无对数，但在复变函数中，负数存在对数，而且正实数的对数也具有无穷多值。［例3］解方程。

解

k=0,±1,±2,…利用第一章中复数辐角的相关性质，容易证明，复变数对数函数保持了实变数对数函数的下面两个基本性质：

(2.3.10)(2.3.11)但是，等式：显然，ln|z|除原点外在其他点都是连续的，而argz在原点

与负实轴上都不连续。因为当x<0时，，

z=ew在区域－π<argz<π内的反函数w=lnz是单值的。由反函数的求导法则可得(2.3.12)

3．幂函数

我们知道，对于实变数幂函数xb（b为实常数），若x>0，则幂函数可以表示为xb=eb

lnx。现在将它推广到复数域。设b为任意一个复常数，将复变数幂函数w=zb定义为

ebLnz，即(2.3.13)

(1)当b为整数时，有所以zb是一个单值函数。

(2)当b=p／q(p和q为互质的整数，q>0)时，有所以zb是一个有q个分支的多值函数，即当k=0,1,2,…,q－1时相应的各个分支。

(3)当b为无理数或复数时，zb是无穷多值的。同样，它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内也是解析的，并且有

(zb)′=bzb－1

(2.3.15)

由上述定义的复幂函数，当变量取复常数a时，得到乘幂ab=ebLna。