初中九年级数学课件-24.1垂径定理

四渡河特大桥(全球最长悬索桥果子沟大桥武汉长江大桥港珠澳大桥一桥飞架南北，天堑变通途厉害了我的国赵州桥主桥拱的半径是多少？

赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度为37m,拱高为7.23m，你能求出赵州桥拱的半径吗？激趣引入24.1.2垂直于弦的直径刘新梅性质1：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.（圆的对称性）动手实践把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？·CDABOE（1）请同学们在刚才所折叠的直径上标上C,D(2)在圆中任意画一条弦，弦和已知直径有几种位置关系？（3）当直径与弦垂直时，弦标上字母A,B,垂足为E,你能发现图中有哪些相等的线段和相等的弧。为什么？解：相等的线段：AE=BE自学指导合作探究相等的弧：AC=BCAD=BD

已知：如图，CD为⊙O的直径，

CD⊥弦AB于E，求证：AE=BE,垂径定理证明证明:连接OA,OB,●OABCDE└则OA=OB.在Rt△OAE和Rt△OBE中,∵OA=OB，OE=OE，∴Rt△OAE≌Rt△OBE.∴AE=BE.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.

如图，CD为⊙O的直径，

CD⊥弦AB于E，求证：AE=BE,AD=BDAD=BD

垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧CDABOE几何语言（1）CD是直径（2）ABCD⊥（3）AE=BE（4）AD=BD（5）AC=BC

两个条件，①是经过圆心的直线，②是垂直于弦三个结论，①是平分弦，②是平分弦所对的劣弧，③是平分弦所对的优弧OE垂径定理的几个基本图形：CD过圆心CD⊥AB于EAE=BEAD=BDAC=BC辨析下列哪些图形能直接满足垂径定理的题设条件?O(1)O(2)O(3)O(4)O(5)O(6)√√√×××①直线CD过圆心O②CD⊥弦AB垂径定理：③AE=BE④AD=BD⑤AC=BC⌒⌒·ABCDOE①直线CD过圆心O③AE=BE②CD⊥AB④AD=BD⌒⌒⑤AC=BC⌒?⌒合作探究垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

为何推论里的弦不能是直径⌒⌒⌒⌒1.在⊙O中，OC⊥弦AB，AB=8，OA=5，则AC=

，OC=

.┏5843口算，并说说理由2.在⊙O中，C是AB的中点，AB=16，OA=10，则∠OCA=

°，OC=

.10906

例：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE解：答：⊙O的半径为5cm.在Rt△AOE中,连接OA,过点O作OE⊥AB于E精讲实练变式：将上题改为已知⊙O的半径OC=5，OC交弦AB于点E，且AE=BE,EC=1,求ABCCOEDCBA有关弦长半径的问题常见辅助线：连接半径、作弦心距；技巧：构造直角三角形，设未知数，由勾股定理列方程。四个量：半径r、弦长a、弦心距d、弓形的高h归纳h+d=r知二求二解得：R≈27．3（m）求赵州桥拱半径的问题在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.52+（R－7.23）2因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.OA2=AD2+OD2OD=OC－CD=R－7.23在图中AB=37，CD=7.23，BODARC解决此问题的关键是根据赵州桥的实物画出几何图形解决问题用AB表示主拱桥，设AB所在圆的圆心为O，半径为R。经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，连接OA。根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高

⌒⌒⌒⌒

赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度为37m,拱高为7.23m，你能求出赵州