概率与统计-2021年高考数学（理）大题精做

精做03概率与统计

一、概率

（一）古典概型

[例1]1.（2021•江西上饶市•高三一模（理））上饶市正在创建全国文明城市，我们简称创文.

全国文明城市是极具价值的无形资产和重要城市品牌.创文期间，将有创文检查人员到学校随机找

学生进行提问，被提问者之间回答问题相互独立、互不影响.对每位学生提问时，创文检查人员将

从规定的5个问题中随机抽取2个问题进行提问.某日，创文检查人员来到/校，随机找了三名同

学甲、乙、丙进行提问，其中甲只能答对这规定5个问题中的3个，乙能答对其中的4个，而丙能

全部答对这5个问题.计一个问题答对加10分，答错不扣分，最终三人得分相加，满分60分，达

到50分以上（含50分）时该学校为优秀.

（1）求甲、乙两位同学共答对2个问题的概率;

（2）设随机变量*表示甲、乙、丙三位同学共答对的问题总数，求X的分布列及数学期望，并

求出/校为优秀的概率.

【详解】

（1）记''甲、乙两位同学共答对2题”为事件力,则

（C"10

（2）由题意可知随机变量*的可能取值为3、4、5、6.

2

(C5)25

、，v3

P(X=4)=P(M)3

P(X=5)=

25

=9

P(X=6)=

(*

所以，随机变量x的分布列如下表所示:

X3456

13129

P

25102550

随机变量X的数学期望为

312924

E¥=3x—4x—+5x—+6x—=—

25+1025505

12Q33

力校为优秀的概率夕（万=5）+尸（丫=6）吟+巳畸

及对策略

利用古典概型求事件A的概率，关键是要分清基本事件总数〃与事件力包含的基本事件数

加如果基本事件的个数比较少，可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来,

然后再求出事件力中的基本事件数，利用公式=?求出事件4的概率，注意列举时必

须按照某一顺序做到不重不漏；如果基本事件个数比较多，列举有一定困难时，也可借助

两个计数原理及排列组合知识直接计算勿，n,再运用公式尸（用=?求概率.

2.对于复杂概率的计算一般要先设出事件，准确地确定事件的性质，常见的处理方法有：

①转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；

②采用间接法，先求事件力的对立事件n的概率，再由小用=1—0（可）求事件/的概率.

【对点训练1】（2021•安徽安庆市•高三一模（理））某商超为庆祝店庆十周年，准备举办一次有

奖促销活动，若顾客一次消费达到400元，则可参加一次抽奖活动，主办方设计了两种抽奖方案：

方案①：一个不透明的盘子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，

搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则获

得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.方案②：一个不透明的盒子中装有12个质地均匀且

大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球

则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3

（1）现有一位顾客消费了420元，获得一次抽奖机会，试求这位顾客获得180元返金券的概率；

（2）如果某顾客获得一次抽奖机会.那么他选择哪种方案更划算.

【详解】

（1）在一次抽奖机会的情况下，要想获得180元返金券，只能选择方案一，且摸到两次红球，一

次白球，而每一次摸到红球的概率为P=3=1.

124

设“这位顾客获得180元返金券”为事件A,则P(/)=G翡)9

64

故这位顾客均获得180元返金券的概率二.

64

(2)若选择抽奖方案①，则每一次摸到红球的概率为工1，每一次摸到白球的概率为士3.设获得返

44

金券金额为X元，则才可能的取值为60,120,180,240.

小=侬)嘱吟,3240)=0'*.

所以选择抽奖方案①，该顾客获得返金券金额的数学期望为

27279I_

E(A,)=60x—+J20x—+180x—+240x—=105阮)

64646464

若选择抽奖方案②，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为K,最终获得返金券的金额为Z元,

则丫〜故E(Y)=3x；=：.

选择方案②，该顾客获得返金券金额的数学期望为E(Z)=E(1OOY)=IOOX3=75(元)

4

从而有E(X)>£(Z),所以应选择方案①更划算.

(二)相互独立事件的概率

[例2](2021•全国高三其他模拟)受新冠肺炎疫情的影响，2020年一些企业改变了针对应届毕

业生的校园招聘方式,将线下招聘改为线上招聘.某世界五百强企业M的线上招聘方式分资料初审

、笔试、面试这三个环节进行，资料初审通过后才能进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格

后便正式录取，且这几个环节能否通过相互独立.现有甲、乙、丙三名大学生报名参加了企业M的线

上招聘，并均已通过了资料初审环节.假设甲通过笔试、面试的概率分别为工，1:乙通过笔试、

23

面试的概事分别为2,丙通过笔试、面试的概率与乙相同.

32

(1)求甲、乙、丙三人中恰有一人被企业A/正式录取的概率；

(2)求甲、乙、丙三人中至少有一人被企业时正式录取的概率；

(3)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，企业M决定给报名参加应聘且通过资料初审的

大学生一定的补贴，补贴标准如下表：

参与环节笔试面试

补贴（元）100200

记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望.

【详解】

（1）设事件才表示“甲被企业A/正式录取”，事件8表示“乙被企业村正式录取”，事件。表

示“丙被企业A/正式录取”，

则尸（/0=!x：=!’p（fl）=p（c）=|xi=i,

所以甲、乙、丙三人中恰有一人被企业〃正式录取的概率

=P（ABC+ABC+ABC）=P（y4）P（5）P（C）+P{A}P（B）-P（C）+P（1）P（5）P（C）

卜2"U卜遇♦

（2）设事件。表示“甲、乙、丙三人都没有被企业“正式录取”,

则P（0=P（啊=明咽喉）=扪舁

所以甲、乙、丙三人中至少有一人被企业M正式录取的概率4=1-P（D）=1-^27

"27,

(3)%的所有可能取值为300,500,700,900,

P(X=3OO)=-x-x-=—,

、723318

P(X=500)=-x—x-+2x-x-x—=—

iJ23323318

I211224

P(X=700)=2x-x二x-+—x二x—=一,

'2332339

、1222

P(X=900)=-x—x—=—.

2339

所以X的分布列为

X300500700900

1542

P

18IS99

£(X)=3(M)x^+5420000

5OOx—+700X-4-900X-=--

18993

反对策略

（1）对于复杂概率的计算一般要先设出事件，准确地确定事件的性质，把问题化归为古典

概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次判断事件是A+B

还是力8事件，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；

最后选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率

公式求解.

（2）较为复杂的概率问题的处理方法有：

①转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；

②采用间接法，先求事件力的对立事件,的概率，再由产（4）=1—以可）求事件/的概率.

⑶条件概率的求法

①利用定义，分别求出人力），得以血4）=与等；

⑵借助古典概型概率公式，先求事件力包含的基本事件数〃（⑷，再在事件/发生的条件下

求事件6包含的基本事件数成A步,即P{B\A）=〃（"）.

n\A）

③为了求一些复杂事件的条件概率，往往可以先把它分解为两个（或若干个）互斥事件的和,

利用公式尸（6UC|4）=P（8啰+狄。⑷进行计算，其中6,C互斥.

⑷理解事件中常见词语的含义：

①46中至少有一个发生的事件为/U6；

②/,6都发生的事件为/6；

③46都不发生的事件为商；

④46恰有一个发生的事件为4万U78；

⑤46至多一个发生的事件为而彳豆

【对点训练2】（2021•内蒙古包头市•高三期末（理））某公司向市场投放三种新型产品，经调查

发现第一种产品受欢迎的概率为士，第二、第三种产品受欢迎的概率分别为P，q（p>q），且不

同种产品是否受欢迎相互独立，记S为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为:

40123

1

Pab

205

（1）求该公司至少有一种产品受欢迎的概率;

（2）求P,i/的值；

（3）求数学期望£传）.

【详解】

(1)设事件4表示“该公司第i种产品受欢迎"，/=!，2,3.

由题意可知p(4)=。，P(4)=P，=

4

由于事件“该公司至少有一种产品受欢迎”与事件“《=()”是对立的，所以该公司至少有一种产

,、1io

品受欢迎的概率是

(2)由题意可知,尸(<=0)=P(444)=；(l-〃=

.、3

且尸（f=3）=P（444）=]pq=w，

43

41622

所以整理得，pq唾,且p+q=f,结合〃＞夕解得p=j,q=g

（3）由题意可知，。=?（岁=1）=「（4不4）+「（彳4彳）+?（而43）

3,一I,、1,

=7（"户）（1-9）+7。（1-9）+7。一09

444

313123112

=-X—X—+—X—X—+—X—X—

435435435

17

=--，

60

6==2)=1-=0)-P传=1)-产偿=3)

.117I

20605

7

=--，

15

因此，E6=0xP(g=0)+lxP(S=l)+2xP(S=2)+3xP(J=3)

八，17、7,I

=0+lx—+2x—+3x—

60155

=-1-0--9.

60

二、随机变量的分布列、期望与方差

(一)随机变量的分布列

【例3】(2021•辽宁高三一模(理))据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选

择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特

殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜

控制孩子的近视发展)，A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜

的有24人(其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生).

(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？

(2)从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的分布列；

(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求

佩戴角膜塑形镜的人数丫的期望和方差.

【详解】

解：(1)根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件4则。(/)=2±=0.24,

100

“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件8,则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形

镜”为事件，WJP(AB)=—=0.08,

故所求的概率为：。(8|4)=£四=2"=1,

P(A)0.243

所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是!；

3

(2)依题意，佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生，故从中抽3人，男生人数

才的所有可能取值分别为0,1,2,

6x5x4

其中：p(x=o)=^i=-；

'>c；8x7x65614

6

,6x_5

P(%=|)=C^=iL2_=30=15

I)C；8x7x65628

6

叱c、CjC'663

''Cg8x7x65628-

6

所以男生人数X的分布列为:

X012

5153

P

142828

(3)由已知可得：y〜8(20,0.08)

则：E(y)=/jxp=20x0.08=1.6,。⑺=印(1-0)=20x0.08x0.92=1.472

所以佩戴角膜塑形镜的人数丫的期望是1.6,方差是1.472.

反对策略

(1)求解随机变量分布列的基本步骤如下：

①明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；

②求出每一个随机变量取值的概率；

③列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合

数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的

概率.

⑵独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的、各次之间相互独立的一种试验，在这

种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生、要么不发生，且任何一次试验中事件发

生的概率都是一样的.在相同条件下重复做的〃次试验称为〃次独立重复试验，若4(7=1,

2,…，力是第7次试验的结果，则。(44…4)=2(4)夕⑷…夕(4).

(3)二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位.

①判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不

发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了〃次.

②对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是0,那么在〃次独立重复试验中这个事件

恰好发生4次的概率是=其中4=0,1,…，n,q=l-p.

随机变量才服从二项分布，记为「庾)，p).E(X)=叩,D(X)=np("p).

(4)在含有财件次品的N件产品中，任取A件，其中恰有4件次品，则事件｛才=4｝发生的

概率为2(才=幻=芈肮乂4=0,1,2,…，m,其中m=加〃｛必，n\,且恒N,n,

M,NGN,称分布列为超几何分布列.记为材，A).此时有E(X)=等.超几何分

布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:

①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数

才的概率分布，超儿何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是

古典概型.

【对点训练3]（2021•陕西榆林市•高三二模（理））2020年底某网购公司为了解会员对售后服

务（包括退货、换货、维修等）的满意度，从2020年下半年的会员中随机调查了20个会员，得

到会员对售后服务满意度评分的雷达图如图所示.规定评分不低于80分为满意，否则为不满意.

（1）求这20个会员对售后服务满意的频率；

（2）以（1）中的频率作为所有会员对该公司售后服务满意的概率，假设每个会员的评价结果相互

独立，现从下半年的所有会员中随机选取3个会员.

（7）求只有1个会员对售后服务不满意的概率；

（7/）记这3个会员中对售后服务满意的会员的个数为X，求X的数学期望与标准差（标准差的

结果精确到0.1）.

【详解】

（1）由雷达图可知，这20个会员对售后服务满意的频率为匕=0.7；

20

（2）（7）设只有1个会员对售后服务不满意的事件A，则P（J）=C>0.3X0.72=0.44I；

（H）因为X〜8（3,0.7）,所以E¥=3x0.7=2.l，£>X=3x0.7x0.3=0.63，757^0.8.

（二）期望与方差的应用

【例4】（2020•江西吉安市•高三其他模拟（理））面对环境污染，党和政府高度重视，各级环保

部门制定了严格措施治理污染，同时宣传部门加大保护环境的宣传力度，因此绿色低碳出行越来越

成为市民的共识，为此吉安市在吉州区建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共

自行车服务中心办理诚信借车卡，初次办卡时卡内预先赠送20分，当诚信积分为。时，借车卡自

动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为

了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每

车每次的租用时间进行扣分缴费，具体扣分标准如下：①租用时间不超过1小时，免费；②租用时

间为1小时以上且不超过2小时，扣1分；③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；④

租用时间为3小时以上且不超过4小时，扣3分；⑤租车时间超过4小时除扣3分外，超出时间按

每小时扣2分收费(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，

且两人租车时间都不会超过4小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.4，0.3；租

用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.4，0.5;租用时间为2小时以上且不超过3

小时的概率分别是0.1，0.1.

(1)求甲比乙所扣积分多的概率；

(2)设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量《，求4的分布列和数学期望.

【详解】

解：(1)根据题意，分别记“甲扣分为0分、1分、2分、3分”为事件4,4，A.,

它们彼此互斥，且尸(4)=04尸(4)=04,P(4)=O.I,P(4)=O.I,

分别记“乙扣分为0分、1分、2分、3分”为事件用，B2,B、,冬，

它们彼此互斥,且P(8j=0.3,P⑻=0.5,P(居)=0.1,P(8j=0.l,

由题知，事件4,4,人与事件4，B2,B、,当相互独立，

记甲比乙所扣积分多为事件A4,

贝A/=A2B1+AyBf++A4Bt++A4By,

所以P(M)=P(4)P⑻+P(4)P(8J+P(A)P(8J+P(4)P闻

+P⑷p(孙p⑷p⑻

=0.4x0.3+0.1x0.3+0.1x0.5+0.1x0.3+0.1x0.5+0.1x0.1=0.29.

(2)根据题f的可能取值为：0,1,2,3,4,5,6,则

=0)=0.4x03=0.12,

P(J=I)=0.4x0.5+0.4x03=0.32,

P(^=2)=0.4x0.1+03x0.1+0.4x0.5=0.27,

P«=3)=0.4x0.1+03x0.1+0.4x0.14-0.5x0.1=0.16,

P(^=4)=0.4x0.1+0.5x0.1+0.1x0.1=0.1,

P(^=5)=0.1x0.1+0.1x0.1=0.02,

P(^=6)=0.1x0.1=0.01.

所以4的分布列为：

0123456

P0.120.320.270.160.10.020.01

《的数学期望£(3=0x0.12+1x0.32+2x0.27+3x0.16+4x0.1+5x0.02+6x0.01=1.9.

反对策略

（1）。（出表示随机变量乃对£0）的平均偏离程度，。（心越大表明平均偏离程度越大，说明

才的取值越分散；反之，越小，¥的取值越集中在以及附近，统计中常用亚■函■来

描述乃的分散程度.

（2）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均

值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理

论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.

【对点训练4】（2021•宁夏吴忠市•高三一模（理））某班级以“评分的方式”鼓励同学们以骑自

行车或步行方式“绿色出行”，培养学生的环保意识.“十一黄金周”期间，组织学生去小6两

地游玩，因目的地/地近，6地远，特制定方案如下：

目的地A地目的地B地

绿色出行非绿色出行绿色出行非绿色出行

出行方式出行方式

321

概率概率

4433

得分10得分10

若甲同学去/地玩，乙、丙同学去5地玩，选择出行方式相互独立.

（1）求恰有一名同学选择“绿色出行”方式的概率；

（2）求三名同学总得分X的分布列及数学期望

【详解】

(1)恰有一名同学选择绿色出行方式的概率

P=消+沁-总

(2)根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3,根据事件的独立性和互斥性得:

P(X=0)=--x-x-=——

43336

433423336

3?II24

P(X=2)=-xC\x-x-+-x

4-334

P(X=3)='3x±2x±2=±1

4333

故X的分布列为：

X0123

174

P

363693

所以E¥=0x-!-+l」+2x±+3△卫

36369312

三、正态分布

[例5](2021•广东韶关市•高三一模)在一次大范围的随机知识问卷调查中，通过随机抽样,

得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示:

得分[30,40)(40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频数213212524114

(1)由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分g~N(〃J96),4近似为这100人得分

的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表).

①求4的值;

②若P(4>2a-5)=P(g<4+3),求a的值；

(2)在(1)的条件下，为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：

①得分不低于〃的可以获赠2次随机话费，得分低于〃的可以获赠1次随机话费;

②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

赠送话费的金额（单位：元）2050

3

概率

44

现有市民甲参加此次问卷调查，记x（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布

列与数学期望.

【详解】

也"/I、30x2+40x13+50x214-60x25-1-70x244-80x11+90x4_

解：(1)①由题意得：--------------------------------------------------------=60.5，

100

〃=60.5，

②•.•P(S>2a-5)=P(J<a+3),

.•.由正态分布曲线的对称性得，（2"5）+（'+3）=605,

2

解得。=41；

（2）由题意得，P（Z<//）=P（Z>//）=->即获赠1次和2次随机话费的概率均为:，

故获赠话费的X的所有可能取值为20,40,50,70,100

P(%=20)=1x|=|,

1339

P(X=40)=-x-xr-

P(%=50)=1xl=l,

…11313163

P(X=70)=-x-x—+-x—x—=—=—

72442443216

F(X=100)=-x—x—=—.

''24432

.•.X的分布列为：

X20405070100

3931

P

832S记32

39131330“一一

仪町=20x-+40x—+50x-+70x—+100x—=——=41.25X.

832816328

所以X数学期望为41.25元.

应对策暗

(1)正态曲线的性质特点可用来求其数学期望〃和标准差。：正态曲线是单峰的，它关于

直线X=〃对称，据此结合图象可求〃；正态曲线在X=U处达到峰值志，据此结合图

象可求

(2)能熟练应用正态曲线的对称性解题，并注意以下几点：

正态曲线与x轴之间的面积为1；正态曲线关于直线x=〃对称，从而在关于x=〃对称

的区间上概率相等；

几个常用公式：①P(*a)=l—P(JNa)；②h/〃-a)=P(4〃+a)(即第(2)条)；

③若力o,则尸("〃_/>)=|一.(厂丁”).

(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率

①夕(〃一。〈朕〃+。)=0.6826；

②。(〃一2。<启〃+2。)=0.9544；

③。(〃一3。<启〃+3。)=0.9974.

可以看到，正态总体几乎总取值于区间(〃一3。，〃+3。)之内.而在此区间以外取值的

概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中，通

常认为服从于正态分布M4，。与的随机变量才只取(〃一3。，〃+3。)之间的值，并简

称之为3c原则.

【对点训练5](2021•江苏盐城市•高三一模)某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次

文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为

优秀.竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71,方差为81.

假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分Z服从正态分布N(7I,81).

(1)估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人？

(2)该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均

可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次.抽奖者点击抽

奖按钮，即随机产生一个两位数(10,11,99),若产生的两位数的数字相同，则可奖励40

元电话费，否则奖励10元电话费.假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖

励的电话费总额为多少万元？

参考数据：若Z〜则P(〃-CT<Z+0.68.

【详解】

(1)因得分Z〜N(71,81),所以标准差s=9,所以优秀者得分Z2〃?+s，

由P(m-s<Z<m+s)=s0.68得，P(Z2，〃+.s)=0.16，

因此，估计这次参加竞赛活动得分优秀者的人数为10x0.16=1.6(万人).

(2)设抽奖一次获得的话费为才元，

919

则P(X=40)=4=」~,P(X=10)=4，

901010

19

所以抽奖一次获得电话费的期望值为历

又由于10万人均参加抽奖，且优秀者参加两次,

所以抽奖总次数为10+10X0.16=11.6万次，

因此，估计这次活动所需电话费为11.6x13=150.8万元.

四、用样本估计总体

[例6](2021•南京市中华中学高三期末)为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型

号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况

的频率分布直方图如图所示:

甲型号减排器乙33号减排器

减排器等级及利润率如下表，其中

98

综合得分A的范围减排器等级减排器利润率

A285一级品a

75a<85二级品5/

70£*<75三级品a2

(1)若从这100件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽

取4件，求至少有2件一级品的概率；

(2)将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则:

①若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数J的分布列及数学期望)；

②从长期来看，投资哪种型号的减排器平均利润率较大？

【详解】

(1)由已知及频率分布直方图中的信息知，

甲型号减排器中的一级品的概率为0.08x5+0.04x5=0.6，

分层抽样的方法抽取10件，

则抽取一级品为10x0.6=6(件)

则至少有2件一级品的概率，

42'

(2)①由已知及频率分布直方图中的信息知，

乙型号减排器中一级品的概率为‘

10

二级品的概率—1

4

三级品的概率为

20

若从乙型号减排器随机抽取3件，

则二级品数4所有可能的取值为0,2,3,且J〜8(3.1)，

4

-V削『吟.

弦=2)=喏)&)*，

所以g的分布列为

/0123

272791

P

646464

所以数学期望:

2727913

E(^)=Ox—+lx—+2x—+3x

64646464~4

②由题意知，甲型号减排器的利润的平均值:

£=0.6。+0.4x5a2=2a'+0.6。；

乙型号减排器的利润的平均值:

则4<£”

所以投资乙型号减排器的平均利润率较大.

应对策略

(1)解决频率分布直方图问题时要抓住：

①直方图中各小长方形的面积之和为1.

②直方图中纵轴表示招卷，故每组样本的频率为组距x慧，即矩形的面积.

组距组距

③直方图中每组样本的频数为频率X总体数.

(2)样本的数字特征

①众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.频率分布直方图中

最高的小矩形底边中点横坐标即是众数；

②中位数：把〃个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位

数.频率分布直方图中中位数的左边和右边小长方形面积之和相等；

③平均数：把s+s+…称为)电，…，这〃个数的平均数.频率分布直方图中平均数是

n

频率分布直方图的重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐

标之和.

④标准差与方差：设一组数据如如…，筛的平均数为X,则这组数据的标准差和方

差分别是

S=y%（X|-X）2+（X2—X）2+...+（X"-X）2］

s2=k（%i—T）~+（A-2—T）2H—F（为一

【对点训练6］（2021•湖南永州市•高三二模）为快速控制新冠病毒的传播，全球多家公司进行

新冠疫苗的研发.某生物技术公司研制出一种新冠灭活疫苗，为了检测其质量指标，从中抽取了100

支该疫苗样本，经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求所抽取的样本平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;

（2）将频率视为概率，若某家庭购买4支该疫苗，记这4支疫苗的质量指标值位于（10,30］内的

支数为X，求X的分布列和数学期望.

【详解】

解：（1）根据频率分布直方图可得各组的频率为：

（0,10］的频率为：0.010x10=0.1；（0,20］的频率为：0.020x10=0.2；

（20,30］的频率为：0.030x10=0.3；（30,40］的频率:0.025x10=0.25；

（40,50］的频率为：（）.015x10=0.15,

x=5x0.l+15x0.2+25x0.3+35x0.25+45x0.15=26.5-

（2）根据题意得每支灭活疫苗的质量指标值位于（10,30］内的概率为0.2+0.3=0,5，

所以X〜X的可能取值为：0,1,2,3,4,

p(X=0)=C：［j

4

P(X=2)=C；(；)彳，P(X=3)=C：0=；，

…二唱出

•••x的分布列为：

X01234

1\_3\_1

p

164s416

•••E(X)=Ox—+lxl+2x-+3xl+4x—=2.

1648416

四、统计案例

（一）回归分析

【例71（2021•四川成都市•石室中学高三月考（理））某房产中介公司对2018年成都市前几个

月的二手房成交量进行统计，表示2018年X月该中介公司的二手房成交量，得到统计表格如下：

x.12345678

1214202224202630

yt

（1）通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合y与X的关系，请用相关系数加以说明；（计算结

果精确到O01）;

（2）该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获5千

元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金.已知一次抽奖活动中获

得“一等奖”的概率为1,获得“二等奖”的概率为_1,现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假

42

设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X（千元）的分布列及数学期望.

888

参考数据：fxj=850,X七2=204,£始=3776,万=4.58，75?«5.57-

/•I/>1/•1

^x^-nxy

参考公式：相关系数1=

V/-I

【详解】

（1）依题意：*=4.5，y=21，

8___

850-8x4.5x21

__

5204-8〉4.52J3776-8x2F

VV/■1

949494八

->/42x>/248-4x721xTJT_4x4.58x5.57

因为0.92非常趋近1,所以变量X,y线性相关性很强，可用线性回归模型拟合y与X的关系.

(2)二人所获奖金总额X的所有可能取值有0，3,5,6,8,10千元.

P(X=O)=-xl=—,P(X=3)=2xixi=l,P(X=5)=2XLLL

p(A,=6)=-xl=l,P(X=8)=2XL，=LP(%=IO)=lxl=—,

’224i’2441