考点34直线和圆的方程-2019年浙江新高考数学考点一遍过+含解析

考点34直线和圆的方程

。、旁拥原攵

一、直线方程和两直线的位置关系

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念及相互间的关系，掌握过两点的直线斜率的计算公式.

3.掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.

4.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.

5.会求两直线的交点坐标.

6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

二、圆的方程及点、线、圆的位置关系

1.掌握圆的标准方程与一般方程.

2.能判断直线与圆、圆与圆的位置关系.

3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.

4.初步了解用代数方法处理几何问题.

一、直线

（一）直线的倾斜角与斜率

1.直线的倾斜角

（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方

向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.当直线/与X轴平行或重合时，规定

它的倾斜角为0°.

（2）范围：直线/倾斜角的范围是［0°,180。）.

2.斜率公式

（1）若直线/的倾斜角2W90。，则斜率Z=tana.

y-y.

⑵PR，M），*，”）在直线/上，且收2,则直线/的斜率仁2厚

（-）直线的方程

1.直线方程的五种形式

方程适用范围

①点斜式：y-=A;（x-xi）不包含直线x=%

②斜截式：y=kx+b不包含垂直于X轴的直线

不包含直线工=毛（毛=毛）和直

J.V-vsx-x

③两点式：-~—=——-

毛一再线1'=弘。'1=乃）

不包含垂直于坐标轴和过原点的

④截距式：—I--=1

ab线

⑤一般式：Xx+约+C=O（&B不全为0）平面直角坐标系内的直线都适用

2.必记结论

常见的直线系方程

（1）过定点P（x（）,九）的直线系方程：A（x—x（））+B（y-y^+CnfXT+B2，。）还可以表示为y—%=&（x-

沏），斜率不存在时可设为x=须.

（2）平行于直线Ax+B），+C=O的直线系方程：Ar+By+G=O（C#C）.

（3）垂直于直线Ax+B），+C=O的直线系方程：8x-Ay+G=0.

（4）过两条已知直线Aix+B]y+G=O,A2x+82y+C2=0交点的直线系方程：A[%+S,y+C\+2（Aix+

B2y+C2）=0（其中不包括直线A2X+B2）：+C2=O）.

（三）两条直线的位置关系

—x+ah：4%+3]j+G=o

斜截式f▼'=左/+与一般式.+G=°

/1与，2相交区工伤4%—h0

4与垂直kyk2=—144+B]B[=0

-43]=0-44=0

4与4平行%=—且二w区V

3]G—殳G+o或4G—4G工o

4与4重合k、=k?日.b]=Z?2-应用=4c2—=B]C]—B[C]=0

注意：（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要

忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.

（四）两条直线的交点

对于直线/1：A|x+Biy+G=O,4：A2x+B2y+C2—0<

'^x+^y+Cj=0

/t与，2的交点坐标就是方程组56+&J+C?=°的解.

（1）方程组有唯一解04与相交，交点坐标就是方程组的解；

（2）方程组无解

（3）方程组有无数解0（与4重合.

（五）距离问题

（1）平面上任意两点PG”力），尸2（物力涧的距离岛心户加七一百1+Srj.

（2）点Po（xo,刈）到直线/：Ar+By+C=0的距离d="+炉.

（3）两条平行线Ax+By+C^O与Ax+By+C2=0（G#C2）间的距离d=.

VA2+B2

（六）对称问题

x=\_\

（1）中心对称：点B（x,y）为点与C（W，%）的中点，中点坐标公式为12

v2i121

’=2

fPP_直幺却

（2）轴对称：若点尸关于直线/的对称点为一，则<...,,.

尸与p的中点在/上

二、圆

（一）圆的方程

圆的标准方程圆的一般方程

定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径

方程(x-o)2+(X-6)2=r2(r>0)x2+y2-hDx-kEy-hF=0(D:+£2-4F>0)

圆心(a,b)(-衿)

半径r-^D2+E2-4F

2

（1）圆的标准方程明确地表现出圆的几何要素，即圆心坐标和半径长；

区别与

（2）圆的一般方程的代数结构明显，圆心坐标和半径长需要通过代数运算才能得出；

联系

（3）二者可以互化：将圆的标准方程展开可得一般方程，将圆的一般方程配方可得标准方程

DE

注：当DW-4F=0时，方程x+^+Dx+Ey+F=0表示一个点（-y,-y）；当D2+E^-4F<0时，方

程X1+y1+Dx+Ey+F=O没有意义，不表示任何图形.

（-）点与圆的位置关系

标准方程的形式一般方程的形式

点（沏，加）在圆上（天-万+（线-犷=/君+D七+&0+F=0

::2

点（的，然）在圆外(^-a)+(v-0-5)>r君+y；+%+&o+F>O

点、（刈，yo）在圆内（与一。）、5-6）晨/君+君+%+Ey0+F<0

（三）必记结论

（1）圆的三个性质

①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；

②圆心在任一弦的中垂线上；

③两圆相切时，切点与两圆心三点共线.

（2）两个圆系方程

具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程.

①同心圆系方程：+=其中。，6为定值，'是参数；

②半径相等的圆系方程：（x-a）2+G'-&y=/O>°）,其中r为定值，a,b为参数.

（四）直线与圆的三种位置关系

（1）直线与圆相离，没有公共点；

（2）直线与圆相切，只有一个公共点；

（3）直线与圆相交，有两个公共点.

（五）直线与圆的位置关系的判断方法

判断方法直线与圆的位置关系

d>r

直线与圆相离

几何法：由圆心到直线的距离d与半径长

，•的大小关系来判断d=r直线与圆相切

d<r直线与圆相交

J<0方程无实数解，直线与圆相离

代数法：联立直线与圆的方程，消元后得

到关于X（或y）的一元二次方程，根据4=0方程有唯一的实数解，直线与圆相切

一元二次方程的解的个数来判断

J>0方程有两个不同的实数解，直线与圆相交

（六）圆与圆的位置关系

两圆的位置关系

外切

1两圆有唯一公共点

，相切

内切

内含

，相离两圆没有公共点

外离

相交两圆有两个不同的公共点

（七）圆与圆位置关系的判断

圆与圆的位置关系的判断方法有两种：

（1）几何法：由两圆的圆心距”与半径长凡r的关系来判断（如下图，其中R>r）.

外离外切相交内班内含

（2）代数法：设圆C：,产+/+0工+后y+尸产。①，圆Ci：x2+y,+D2x+E2y+F2=0②，

联立①②，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相

切；如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交.

.(八)两圆相交时公共弦所在直线的方程

设圆Ci：jr2+>,2+Z)|X+£iy+F|=O①，圆C2：jC+y2+D2x+E2y+F2=0②，

若两圆相交，则有一条公共弦，由①一②，得(。-6)x+(Ei-E?)y+Ft-F2=O③.

方程③表示圆G与圆C2的公共弦所在直线的方程.

了尽重点考向.

考向一直线的倾斜角与斜率

1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限

制.

2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角

变到钝角时，需依据正切函数y=tanx的单调性求k的范围.

典例引领

典例1直线/经过点A(2,l),8(1,〃/)两点(加eR),那么/的倾斜角的取值范围是

A.«[0,7t)B.[0，]U(g㈤

C.[0q]D.[―:—)L(—:7T)

【答案】B

【解析】由直线，经过点次2，1),5(1,加：)两点，则可利用斜率公式得左=匕工=1-疗VL

2-1

五71

由左=tanc41,则倾斜角取值范围是[0：7]UGpQ.故选B.

一

变式拓展

1.已知M（l,2）,N（4,3）,直线/过点尸（2,-1）且与线段MN相交，那么直线/的斜率左的取值范围是

A.(-OO,-3]U[2,-H»)B.

3,2

C.[—3,—2]

考向二直线的方程

求直线方程的常用方法有

1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程.

2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程（组）求系数，最后

代入求出直线方程.

3.直线在X。，）轴上的截距是直线与My）轴交点的横（纵）坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0,

而不是距离.

4.求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ar+By+C=0,且A20.

典例引领

典例2已知2）*（3］）,则过点M和线段A3的中点的直线方程为

A.4x+2y=5B.4x-2y=5

C.x+2y=5D.x—2y-5

【答案】B

1+32+13J弓x—3

【解析】由题意可知线段48的中点坐标为（一丁，、-）,即（2：）.故所求直线方程为一=k二，整

2225/2-3

2~2

理，得4x-2y-5=0,故选B.

变式拓展

2.已知直线1过点（-3,4）,且在两坐标轴上的截距之和为12,则直线1的方程为

考向三共线问题

已知三点A,B,C,若直线AB,AC的斜率相同，则A,B,C三点共线.因此三点共线问题可以转化为斜率相等

问题，用于求证三点共线或由三点共线求参数.

典例引领

典例3若三点月(2,3),3(3,2),C(［M)共线，则实数，片.

【思路分析】由三点共线构造两条直线的斜率相等，问题便转化为解方程左.=怎°.

2-3加一3

［解析］由题意得左心:三=一1'/=厂'

——2

7

•・・4民。三点共线，・・・左他=以「

m-3

9

'I解得m=-.

2

变式拓展

3.若三点,4(2,2),3(q0),。(0力)(附工0)共线，则：+、=

考向四两直线平行与垂直的判断及应用

由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率

不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏

解.

典例引领

典例4若直线丁=2犬一1与直线工+冲'+3=()平行，则小的值为

11

A."-B.

22

C.-2D.2

【答案】B

【解析】直线y=2x-l化为2x-y-l=0,因为2x-j-l=0与直线工+叼，+3=0平行，

解得故选B.

2-1-12

【名师点睛】本题主要考查两直线平行的充要条件，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题直

接根据两直线平行的充要条件，列出关于用的方程求解即可.

变式拓展

4.ua=\n是"直线|2°+1"+码'+1=°和直线方一3卜+3=0垂直，，的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

考向五两直线的相交问题

1.两直线交点的求法

求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交点的坐标.

2.求过两直线交点的直线方程的方法

求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助

直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程.

典例引领

典例5已知直线I经过直线2x-.y-3=O和4x-3y-5=0的交点尸,且垂直于直线2r+3y+5=0,求直线I的方程.

【答案】直线/的方程为3x-2y-4=0.

2x-y-3=0(x-7

【解析】方法一：由'_；,解得［二*即“点P的坐标为(2,1),

b*1

3

因为直线1与直线2r+3y+5=0垂直，所以直线/的斜率为,

由点斜式得直线/的方程为3x-2y-4=0.

[2x-v-3=0

方法二：由，；..；解得人_/即点P的坐标为②1）,

14x-3y-5=0广一士

因为直线I与直线2x-3y-5=0垂直，所以可设直线：的方程为3x-2j-aO,把点P的坐标代入得

3x2-2xl-c=0,解得A-4.

故直线/的方程为3x-2y-4=0.

方法三：直线I的方程可设为2X-A3-，（4X-3：5）=Q[其中上为常数），即（27，止（1-32）尸513=0,

、+4/

因为直线/与直线2x-3v-5=0垂直.所以暮丁•（--）=-1解得＜=1.

l+3z3

故直线/的方程为3i-2i-4=0.

变式拓展

5.已知直线3E和直线％:生什么y=i相交于点p（2,3）,则经过点尸|（见，仇）和22（。2,历）的直

线方程是.

考向六距离问题

1.求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等.

2.解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般

考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.

3.求两条平行线间的距离，要先将直线方程中x,y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.

也可以转化成点到直线的距离问题.

典例引领

典例6（1）若点4（2,3）,8（—4,5）到直姓I的距离相等，且直线/过点尸（-1,2）,则直线I的方程为

（2）若直线〃?被两直线人工一），+1=0与/2：x-y+3=0所截得的线段的长为2a，则直线，"的倾斜角

3（0为锐角）为.

【答案】（1）x+3y-5=0或x=-l；（2）15。或75°

【解析】（I）方法一：当直线/的斜率不存在时，直线/：x=-l,点A,B到直线/的距离相等，符合题意.

当宜线/的斜率存在时，设直线/的方程为y-2=k（x+l）,即kx-y+k+2=O.

2左一3+R+2I1—4左一5+上+211

由题意知一一二=——R=-^，即|3左一1|=|-3k—3],解得左=一，

”•+1JV+13

...直线/的方程为y-2=-；(x+l),即x+3y—5=0.

综上，直线/的方程为x+3y-5=0或x=-l.

方法二：当A8〃/时，有k产kAB=-；，直线/的方程为y—2=-g(x+1),即x+3y—5=0.

当/过A8的中点时，由A8的中点为(-1,4),得直线/的方程为x=-1.

综上，直线/的方程为x+3y—5=0或x=-1.

|1-3|_

<2)显然直线/]〃〃，直线八，上之间的距离d=丁二

设直线加与A,区分别相交于点5,则."=2卢，

过点N作直线!垂直于直线A，垂足为。，则XC=g0,

在RtA.4BC中，sinZ.4BC==埠=所以乙!3c=30。，

|叫202

又直线/1的倾斜角为45°,所以直线w的倾斜角为45。-31=15。或45。-30。=75。,

故直线，”的倾斜角8=15〉或75\

变式拓展

|X1：

6.若动点月用)—'分别在直线‘1：x_y_5=0/：x_y_15=0上移动，则的中点P到

原点的距离的最小值是

D150

A.5&D.--------------

2

5&

C.1572D.-2!—

2

考向七对称问题

解决对称问题要抓住以下两点：

(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直；(2)以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上.

典例引领

典例7已知直线/:3x-y+3=0,求：

(1)点尸(4,5)关于直线/的对称点的坐标；

(2)直线x-y-2=0关于直线/对称的直线方程.

【答案】(1)(-2,7)；(2)7x+y+22=0.

【解析】设P(xj)关于直线/:3x-v-3=0的对称点为

,：kppki=-l,

vf-v_

/.-3=-l,①

X-x

又PP的中点在直线3x-y-3=0上，

x'+xv'+l'c

「3丁丁3=0.②

-^=4^9③

联立①②解得二：,

/=3x+4v+3④

u5

⑴把口,尸5代入③④彳号x'=-2:j=7,

...P(4,5)关于直线I的对称点尸的坐标为(-2,7).

3+，+3

(2)用③④分别代换A-?-2=0中的xj得关于I对称的直线方程为--；-2=0：

即7x-y-22«0.

变式拓展

7.光线通过点A(2,3),在直线‘：x+y+l=°上反射，反射光线经过点8(1,1).

(1)求点A(2,3)关于直线/对称点的坐标；

(2)求反射光线所在直线的一般式方程.

考向八直线过定点问题

求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法：

(1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含

参数直线所过的定点，从而问题得解.

(2)分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的

项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点.

典例引领

典例8求证：不论初取什么实数，直线(2机-l)x+(,〃+3)y-(加-11)=0都经过一个定点，并求出这个定

点的坐标.

【答案】详见解析.

【解析】证法一：对于方程(2加一1兴+(附+3»-(冽-11)=0,

令加=0,得x-3y-H=0;令？”=1,得x+4j，+10=。.

解方程组｛fx-；3v-sll=c0得两直线的交点为(2,-3).

将点(2,—3)代入已知直线方程左边，^(2?»-l)x2+(?M+3)x(-3)-(m-ll)=4»i—2-3w-9-?n+11

=0.

这表明不论加为什么实数，所给直线均经过定点仁，-3).

证法二：以刑为未知数，整理为(2x+厂l)，〃+(-x+3j+U)=。.

2x+1'—1=0

由于加取值的任意性，所以；~C，解得1=2,丁=一3.

-x+3y+ll=0

所以所给的直线不论比取什么实数，都经过定点(2,-3).

变式拓展

8.已知点A(2,O),点5(-2,0),直线/「/+3d+1/-14-44=0(其中丸€1<).

(1)求直线/所经过的定点尸的坐标；

(2)若分别过A,8且斜率为后的两条平行直线截直线/所得线段的长为46，求直线/的方程.

考向九求圆的方程

1.求圆的方程必须具备三个独立的条件.从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一

般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法.

2.用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，"半径、弦

心距、弦长的一半构成直角三角形

典例引领

典例9圆心在)，轴上，半径为1,且过点(1,3)的圆的方程是

A/+(广2『=1B./+3+2『=1

cx*+(y-3)*=1D.^+(y+3)*=1

【答案】C

【解析】设圆心坐标为(0M),•.•圆的半径为1,且过点(L3),二(0-1『+(。-3『=1,解得a=3,

二所求圆的方程为V+(y-3y=1.

故选C.

【名师点睛】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于基础题.设出圆心坐标，利用半径为1,且过

点(L3),即可求得结论.

变式拓展

9.已知圆C"x-6l+IJ+S)=4,。为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为

(x-3)：+(y+4)：=100(x+3)：+(y-4)2=100

2：：2

c.(x-3)+(y-4)=25D(x+3)+(y-4)=25

考向十与圆有关的对称问题

1.圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称.

2.圆关于点对称：

(1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置；

(2)两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.

3.圆关于直线对称：

(1)求己知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置；

(2)两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.

典例引领

典例10(1)已知圆Cl：(x+1)2+(y—1)2=],圆C2与圆C|关于直线x-y—l=0对称，则圆C2的方

程为

A.(X+2)2+(V-2):=1B.(X-2)2+(>+2):=1

C.(x+2):+(y+2)2=lD.(X-2):+G--2)2=1

(2)若圆(x+1)2+(y—3)2=9上相异两点p,Q关于直线匕+2y—4=0对称，则k的值为.

【答案】⑴B；(2)2.

【解析】(D圆。的圆心为(-1,1),半径长为1,设圆析的圆心为(a,b),

由题意得胃一空一1=0且*=一1,解得m2,>—2,

22。+1

所以圆G的圆心为(2,-2),且半径长为1,故圆6的方程为(x-2)。(VH-2)2=1.

(2)已知圆(x+1)3”=9的圆心为(—1,3),

由题设知，直线匕-2)-4=0过圆心，则"(-1)-2x3-4=0,解得卜2.

变式拓展

10.圆广+£一亦+2j'+l=°关于直线x—y=l对称的圆的方程为f+y2=i,则实数a的值为

A.0B.1

C.±2D.2

考向十一与圆有关的轨迹问题

1.求轨迹方程的步骤如下：

建系，设点：建立适当的坐标系，设曲线上任一点坐标”(x,y).

写集合：写出满足复合条件P的点M的集合口1|P(JZ)}.

列式：用坐标表示尸(M),列出方程/(x,y)=0.

化简：化方程/(x,y)=0为最简形式.

证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

2.求与圆有关的轨迹方程的方法

典例引领

典例11已知点P(2,2),圆C：x2+y2-8y=0,过点尸的动直线/与圆C交于A,2两点，线段A8的中

点为M,0为坐标原点.

(1)求点M的轨迹方程；

(2)当|OP|=|OM时，求直线/的方程及的面积.

18

+-

【答案】(1)M的方程为(X—1)2+(y—3)2—2；(2)/的方程为-?3△POM的面积为学.

【解析】⑴圆C的方程为炉+(1-4)-=16,圆心为(0,4>,半径r=4.

设M(x,y),则南=(x,j-4),谤(2-工2-j).

:

由题设可知而>标=0,即：x(2-x)+(y-4)(2-y)=0:BP(x-1)+(j-3)-=2,

由于点P在圆C的内部，

所以点M的轨迹方程为(x-1)2+(v-3)-=2.

(2)由(1)可知，点M的轨迹方程是以N(1,3)为圆心，半径为戏的圆，

由于|OP|=|OM，故。在线段PM的垂直平分线上，

又P在圆N上，从而ON1.PM.

因为ON的斜率为3,

所以直线/的斜率为T

8

-

故直线/的方程为y=3

乂|OM=QP|=2/，点。到直线/的距离为4页，

所以△POM的面积为学.

变式拓展

11.已知点P(2,2),圆C：x.+y:-8j'=°,过点P的动直线/与圆c交于A,3两点，线段AB的中点

为M,。为坐标原点.

(1)求M的轨迹方程；

(2)当时，求/的方程及△POM的面积.

考向十二与圆有关的最值问题

对于圆中的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的

特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值.特别地，要利用圆的几何性质，根

据式子的儿何意义求解，这正是数形结合思想的应用.

典例引领

典例12与直线"一1'一4=0和圆x-+>+2x-2y=°都相切的半径最小的圆的方程是

A(x+l)2+(y+l)：=2(x-l)2+(j+l)：=4

2：：：

c(x-l)+(y+l)=2D(x+l)+(y+l)=4

【答案】C

【解析】m/+]'~+2x-2j=0的圆心为,半径为W,过圆心(-L1)与直线x-j'-4=0垂直的

直线方程为x+y=0,所求的圆心在此直线上，又圆心i-lll到直线x-y-4=0的距离为

则所求圆的半径为设所求圆心为他乃)，且圆心在直线X-]•-4=0的左上方，则*二。,

V2

目a+6=0,解得。=1力=-1(a=3力=-3不符合，舍去)，故所求圆的方程为(x-lf+(y+1『=2,

故选C.

【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，计算能力，属于中档题.

变式拓展

12.已知方程丫+尸+4工一2》-4=0,则f+y2的最大值是

A.14—6＞/5B.14+6＞/5

C.9D.14

考向十三直线与圆的位置关系

判断直线与圆的位置关系时，通常用几何法，其步骤是：

(1)明确圆心C的坐标(a,b)和半径长r,将直线方程化为一般式；

(2)利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d-,

(3)比较d与/•的大小，写出结论.

典例引领

典例13若直线/：丁=丘+1伏＜°)与圆C：+(jT=2相切，则直线/与圆

D：(X—2)+J，=3的位置关系是

A.相交B.相切

C.相离D.不确定

【答案】A

【解析】因为直线，3=辰+1(左＜0)与圆U(x+2『+(a=2相切，所以12二+"=0,解得

JK+I

k=±1,因为左＜0,所以k=一1,所以直线，的方程为X+J-1=0,圆D的圆心(20)到直线的距离

〃=中=£力,所以直线1与圆。相交.故选A.

02

【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离，属于中档题.判定直线与圆的位置关系可

以联立方程，利用方程组的解的个数判断位置关系，也可以转化为判断圆心到直线的距高与半径的大小关

系来确定直线与圆位置关系,求解本题时，直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径，求出斜率左，

再根据圆。的圆心到宜线的距离，判断其与宜线的关系

变式拓展

13.已知半圆(”-1厂*(y-2)*=4|y>2l与直线y=k\x-11+5有两个不同交点，则实数%的取值范围

是

:在苴)

■33~

A.'B.——，一

_22一

-3⑸芦31

r7531n-25~LT=2

C.--D.L/1」

22

考向十四圆与圆的位置关系

判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是：

(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；

(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d,求为+々，|八一丹

(3)比较d，G+%|"一々|的大小,写出结论.

典例引领

典例14圆。|：/+『2-2》=0和圆。2：/+/-4¥=0的位置关系是

A.相离B.相交

C.外切D.内切

【答案】B

【解析】圆01的圆心坐标为(1,0),半径长八=1,圆。:的圆心坐标为(0,2),半径长巧=2,故两圆的

圆心距d=在，而为一今=1，彳+今=3,则+々，故两圆相交.选B.

变式拓展

14.圆心为(2,0)的圆C与圆/+「+4工一6丁+4=°相外切，则c的方程为

Ax:+v:+4x+2=0X2+V:-4X+2=0

A.BN.

x24-V24-4X=0nx2+v2-4x=0

rC.D.

考向十五圆的弦长问题

1.涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：

一是利用半径长八弦心距从弦长/的一半构成直角三角形，结合勾股定理d?+（'）?=/求解;

2

二是若斜率为k的直线/与圆C交于，4（再,乃），两点，则二津|=率1+左」西一七|.

2.求两圆公共弦长一般有两种方法：

一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；

二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.

典例引领

典例15已知直线产质+3与圆X，+j'~-6x—4y+5=0相交于MN两点，若|MN|=2G，则k的值是

A.1或6B.1或-1

一ID.&或;

C.一2或一

2

【答案】C

【解析】由已知得圆的标准方程为（X-3）：+。-2）：=8,则该圆的圆心为（3,2），半径为设圆心到直线

|3左-2+3|=#，解得左=-或

的距离为d则2^=2次二不:解得必吞即22.

J1+F

故选C.

变式拓展

15.在圆x'+】”—4x+2j=°内，过点M0,o）的最短弦的弦长为

A.垂）B.2石

C.V3D.2A/3

考向十六圆的切线问题

1.求过圆上的一点（毛，为）的切线方程：

先求切点与圆心连线的斜率&,若人不存在，则由图形可写出切线方程为y=%；若&=0,则由图形可写出

切线方程为x=%;若%存在且原0,则由垂直关系知切线的斜率为-［，由点斜式方程可求切线方程.

K

2.求过圆外一点（天,%）的圆的切线方程：

（1）几何方法

当斜率存在时，设为底则切线方程为J•一比=虫＞一毛），即版一P+Jb-a=0.由圆心到直线的距离等

干半径长，即可得出切线方程.

（2）代数方法

当斜率存在时，设为k,则切线方程为）」此=封》一天），即尸=去一七+y0,代入圆的方程，得到一个

关于x的一元二次方程，由/=0,求得匕切线方程即可求出.

3.在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线

只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在.

典例引领

典例16已知点产（0+L2-JI）,点M（3,1）,圆C：（X-1）。一2）2=4.

（1）求过点P的圆C的切线方程；

（2）求过点例的圆C的切线方程，并求出切线长.

【答案】（I）x-y+l-2V2=0：（2）过点M的圆C的切线方程为x—3=0或3x—4），-5=0,切线长为

1

【解析】由题意得圆心C（1,2）,半径长r=2.

（1）因为（0+1-1）2+（2-6-2）2=4，

所以点P在圆C上.

2-、万一2

又kpc=—"二二=-1,

V2+1-1

,1,

所以切线的斜率左=一二=1,

kK

所以过点P的圆C的切线方程是1一(2-0)=，

即x-y+1-20=0.

(2)因为(3-1)'+(1-2)'=5>4,

所以点〃在圆C外部.

当过点”的直线斜率不存在时，直线方程为、=3,

又点C(l,2)到直线x=3的距离加3—l=2-r,

所以直线x=3是圆的一条切线.

当切线的斜率存在时，设切线方程为1一1二2"一3),即以一丁+1-3Q0,

依-2+1-3左、3

则圆心C到切线的距离g'~~r==—=尸=2,解得仁；，

R+14

3

所以切线方程为J-1二二(x-3),即3x-4j•-5=0.

4

综上可得，过点”的圆c的切线方程为X—3=0或3A--4T