福建省五年（2017-2021）中考数学真题解答题按难易度分层汇编：03解答题提升题与压轴题（15题）

03解答题提升题&压轴题(15题)

四、解答题提升题

34.(2020*福建)已知直线4：y=-2xH0交y轴于点4交x轴于点8,二次函数的图

象过A8两点,交x轴于另一点C,80^4,且对于该二次函数图象上的任意两点月(小，

yi),Pi(%2,y-i),当必>&》5时，总有%>"2.

(1)求二次函数的表达式；

(2)若直线。：y=m/n求证：当仍=-2时，/2///,;

(3)F为线段8c上不与端点重合的点，直线6y=-2x+q过点。且交直线4f于点尸，

求△?)跖与△庞F面积之和的最小值.

35.(2019*福建)已知抛物线y=a『+6A+c(h<0)与x轴只有一个公共点.

(1)若抛物线与x轴的公共点坐标为(2,0),求a、c满足的关系式；

(2)设4为抛物线上的一定点，直线/：-〃与抛物线交于点8、C,直线劭垂

直于直线y=-1,垂足为点〃.当〃=0时，直线/与抛物线的一个交点在y轴上，且4

/8C为等腰直角三角形.

①求点4的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数匕都有4D、C三点共线.

36.(2018*福建)如图，在Rt△48c中，ZC=90。,AB=\Q,AC=3.线段4?由线段48

绕点4按逆时针方向旋转90°得到，/\EFG由4ABC沿期方向平移得到，且直线)过点

D.

(1)求N&)尸的大小；

(2)求CG的长.

37.(2018*福建)已知四边形力仇》是。。的内接四边形，4?是。。的直径，DES.AB,垂足

为E.

(1)延长以交。0于点尸，延长。C,房交于点只如图1.求证：PgPB；

(2)过点8作8G_L4),垂足为G,BG灵DE于悬H,且点。和点力都在小■的左侧，连接

OH,BD,如图2.若AB=M,DH=\,N0HD=8Q°,求N8史的大小.

38.(2018*福建)已知抛物线y=ax2+—+c过点4(0,2).

(1)若点(-近,0)也在该抛物线上，求a,6满足的关系式；

(2)若该抛物线上任意不同两点"(毛,必)，N(x2,y2)都满足：当MVX2Vo时，(为

_xz)(yi-y2)>0;当0<必<*2时，(必-X2)(必-汝)<0.以原点0为心，为半径

的圆与抛物线的另两个交点为8,C,且有一个内角为60°.

①求抛物线的解析式；

②若点。与点0关于点4对称，且aM,〃三点共线，求证：PA平分ZMPN.

39.(2018«福建)如图，。是外外接圆上的动点，且氏〃位于“•的两侧，DELAB,垂

足为£,的延长线交此圆于点尸.BGVAD,垂足为G,8G交以7于点//,DC,&的延长

线交于点夕，且PC=PB.

(1)求证：BG//CD-,

(2)设外接圆的圆心为0,若AB=MDH,ZOHD=80°,求的大小.

40.(2017-福建)如图，四边形4及》内接于。0,43是。。的直径，点户在勿的延长线上,

ZCAD=45a.

(I)若48=4,求而的长；

(II)若BC=AD,AD=AP,求证：勿是。。的切线.

41.(2017-福建)小明在某次作业中得到如下结果:

+sin61°=0.48+0.87=0.9873

+sin253°=0.602+0.802=1.0000

据此，小明猜想：对于任意锐角a,均有sin'a+sin?(90°-a)=1.

(I)当a=30°时，验证sMa+sin?(90°-a)=1是否成立；

(II)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明：若不成立，请举出一个反例.

42.(2017.福建)自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车.某

运营商为提高其经营的>1品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，

同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1

元，第6次开始，当次用车免费.具体收费标准如下：

使用次数012345(含5次以

上)

累计车费00.50.9ab1.5

同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用4品牌共享单车的意愿，

得到如下数据：

使用次数012345

人数51510302515

(I)写出a,。的值；

(II)已知该校有5000名师生，且《品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元.试

估计：收费调整后，此运营商在该校投放力品牌共享单车能否获利？说明理由.

43.(2017*福建)如图，矩形四①中，AB=6,AD=Q,P,£分别是线段4C、8c上的点,

且四边形阳P为矩形.

(I)若是等腰三角形时，求的长；

(II)若AP=M,求CF的长.

44.(2017*福建)已知直线y=2x+m与抛物线yuaf+ax+b有一个公共点"(1,0),且a

<b.

(I)求抛物线顶点0的坐标(用含a的代数式表示)；

(II)说明直线与抛物线有两个交点；

(III)直线与抛物线的另一个交点记为“

(i)若求线段配长度的取值范围；

2

(ii)求腑面积的最小值.

五、解答题压轴题

45.(2021*福建)已知抛物线了=^，+6><+。与x轴只有一个公共点.

(1)若抛物线过点"(0,1),求尹6的最小值；

(2)已知点月(-2,1),P2(2,-1),P3(2,1)中恰有两点在抛物线上.

①求抛物线的解析式；

②设直线/:/=AA+1与抛物线交于〃两点，点4在直线y=-1上，且N〃4/V=90°,

过点4且与x轴垂直的直线分别交抛物线和/于点8,C.求证：AMIS与△侬?的面积相

等.

46.(2018*福建)如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙刚某人利用旧墙和木

栏围成一个矩形菜园ABCD,其中A晾MN,已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100

米木栏.

(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙的长；

（2）求矩形菜园>193面积的最大值.

47.（2018*福建）空地上有一段长为a米的旧墙做某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜

园ABCD,已知木栏总长为100米.

（1）已知a=20,矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜

园面积为450平方米.

如图1,求所利用旧墙47的长；

（2）已知0<a<50,且空地足够大，如图2.请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方

案，使得所围成的矩

形菜园483的面积最大，并求面积的最大值.

图1图2

48.（2018*福建）已知抛物线y=a『+bA+c过点为（0,2）,且抛物线上任意不同两点"（%,

yi）,N（.x2,外）都满足：当为<*2<0时，（必-X2）（yi-y2）>0：当0<x<即时，（必

-X2）（y,-y2）<0.以原点。为圆心，以为半径的圆与抛物线的另两个交点为8,C,

且8在C的左侧，△48C有一个内角为60°.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若利与直线y=-2向万平行，且M,〃位于直线8c的两侧，y,>y2,解决以下问

题：

①求证：8c平分N侬/;

②求△磔C外心的纵坐标的取值范围.

【参考答案】

四、解答题提升题

34.（2020*福建）已知直线/1：y=-2xH0交y轴于点4交x轴于点反二次函数的图

象过48两点，交x轴于另一点C,BX4,且对于该二次函数图象上的任意两点P、(必,

yi),Pi(xz,yi),当为>&》5时，总有%>"2.

(1)求二次函数的表达式；

(2)若直线。：y=m/n(n*10),求证：当m=-2时，l2//A;

(3)£为线段8c上不与端点重合的点，直线/3:y=-2A+q过点C且交直线于点尸,

求跖与△C£F面积之和的最小值.

【解析】解：(1)•.•直线/储y=-2/10交y轴于点4交x轴于点8,

...点A(0,10),点B(5,0),

,:BC=4,

:.点C(9,0)或点C(1,0),

•点P、(X,yi),P2(X2,及)，当M>X225时，总有必>及.

...当x25时，y随x的增大而增大，

当抛物线过点C(9,0)时，则当5Vx<7时，y随”的增大而减少，不合题意舍去，

当抛物线过点C(1,0)时，则当x>3时，y随x的增大而增大，符合题意，

...设抛物线解析式为：y=a(x-1)(x-5),过点力(0,10),

10=5a,

a=2,

.•.抛物线解析式为：y—2(x-1)(x-5)—2x-12A+10；

方法二：设抛物线解析式为y=ax2+6x+c,

0=a+b+c

由题意可得：，0=25a+5b+c,

c=10

'a=2

解得：，b=-12,

c=10

抛物线解析式为：y=2x-12A+10;

(2)当时，直线。：y=-2x+n(^#=10),

二直线/2:y=-2x+n(〃丰10)与直线/,:y=-2/10不重合，

假设4与A不平行，则4与“必相交，设交点为户(x〃，控)，

,fyp=-2xp+n

yp=-2xp+10

解得："=10,

*.*n=10与已知"#10矛盾，

.,"与二不相交,

二/2〃/1；

(3)如图,

•・•直线/3:过点C,

?.0=-2X1+Q,

,Q=2,

，直线打解析式为：y=-2A+2,

.•・/3〃A,

・・・CF"AB、

，ZECF=NABE,NCFE—NBAE,

:・XCEFs[\BEA,

S

.ACEF=(CE)；

^AABEBE

设BE=t(0<t<4),则CE=4-t,

=

S(^ABE="XtX1051,

2

:.SWCEF=(雪)"XS“BE=(-^)?X5t=5(4-t)2,

BEtt

二题“卢S△把产5什5(4-t)2=1o加世-40=10(Vt-2+4OV2-40,

ttVt

当1=2正时，题读+心糊的最小值为4072-40.

35.(2019*福建)已知抛物线y=a，+6x+c(b<0)与x轴只有一个公共点.

(1)若抛物线与x轴的公共点坐标为(2,0),求a、c满足的关系式；

(2)设4为抛物线上的一定点，直线/：-4与抛物线交于点8、C,直线劭垂

直于直线y=-1,垂足为点。.当〃=0时，直线/与抛物线的一个交点在y轴上，且4

力力为等腰直角三角形.

①求点A的坐标和抛物线的解析式：

②证明：对于每个给定的实数〃，都有4D、C三点共线.

【解析】解：(1)抛物线与“轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y=a(x-2)2=

2

ax-4ax+4af

则c=4a;

（2）（x-1）+1过定点（1,1）,

且当A=0时，直线/变为y=1平行x轴，与y轴的交点为（0,1）,

又仇?为等腰直角三角形，

.•.点A为抛物线的顶点；

①c=1,顶点4（1,0）,

抛物线的解析式：y=x-2A+1,

r9

②,y=x-2x+l,

y=kx+l-k

XD=XB=~2（2+%一,卜2+4），%=一1；

则0（1占号5_,-1）,

此=/（2+内勺限时），

6（14kWp±£,i+k（k+f^））,力（1,0）,

二直线表达式中的〃值为：kAD=---N=^=-=k+'k+4,,直线4C表达式中的火值

k-V?^42

一亭,

•*.A>p=kAC,点、A、C、D二点共线.

36.（2018*福建）如图，在RtZMbC中，20=90。,48=10,AC=8.线段4？由线段48

绕点力按逆时针方向旋转90°得到，△£FG由△?（&;沿缈方向平移得到，且直线）过点

D.

（1）求N劭尸的大小；

（2）求CG的长.

【解析】解：（1）•.•线段段是由线段48绕点4按逆时针方向旋转90°得到,

N%8=90°,AD=AB=\Q,

NABD=45°,

,:XEFG走XABC沧缈方向平移得到，

：.AB//EF,

：.ZBDF=/ABD=45°：

(2)方法1、由平移的性质得，AE//CG,AB//EF,

：./LDEA=^DFC=ZABC,2/阪/以8=180°,

VZDAB=9Qa,

/.NADE=90°,

•：NACB=9Q°,

NADE=4ACB,

：.XADEsXACB,

.ADAE

,•而R，

'：AC=Q,48=47=10,

.•/£=12.5,

由平移的性质得，CG=AE=\2.5-,

方法2、由平移的性质得，AE//GG,AB//EF,

四边形49/茬是平行四边形，

=

ABFE~~AE*74c48*AD,

由旋转知，AD=AB="\Q,

-：AC=Q,

.\/l£X8=10X10,

：.AE=M.5,

由平移的性质得，CG=AE=\2.5.

37.(2018*福建)已知四边形力仇》是。。的内接四边形，4c是。。的直径，DES.AB,垂足

为E.

(1)延长巫交。。于点尸，延长。C,a交于点只如图1.求证：PG=PB-.

(2)过点8作垂足为G,BG交DE于点、H,且点0和点力都在。£的左侧，连接

OH,BD,如图2.若AB=M,DH=1,ZOHD=80°,求N8史的大小.

【解析】解：(1)如图1,,・ZC是。。的直径，

AZABC=9Q°,

■:DEXAB,

AZZ?£4=90°,

・・・/DEA=4ABC,

：.BC//DF,

：.4F=4PBC,

•・,四边形仇刀片是圆内接四边形，

・・・必=180°,

°：NPCm/DCB=W,

・・・/F=4PCB,

:./PBC=4PCB,

：.PC=PB\

(2)如图2,连接勿，・・・4?是。。的直径，

AZADC=90°,

♦:BGLAD,

：.ZAGB=90°,

.・・/ADC=4AGB,

：.BG//DC,

,:BC〃DE,

・・・四边形力函是平行四边形，

:・BC=DH=',

在RtZk/48C中，AB=M,tanZ^^^.zjQ,

BCv

；.N4C8=60°,

:.BC=XAC=OD,

2

：.DH=OD,

在等腰三角形中，ND0H=N0HD=8G,

N0ZW=2O°,

设上■交4C于N,

'：BG//DE,

：.40NH=4ACB=60°,

:.NN0H=\BQ°-(ZONHyZCW)=40°,

ND0C=ZD0H-ZN0H=400,

VOA=0D,：.ZOAD=1x000=20°,

2

:./CBD=N0AD=2O°,

'：BC//DE,

：.NBDE=ZCBD=20°.

38.(2018*福建)已知抛物线y=a¥+6+c过点4(0,2).

(1)若点(-最,0)也在该抛物线上，求a,。满足的关系式；

(2)若该抛物线上任意不同两点"(用,%)，N(x2,y2)都满足：当MVX2Vo时，(必

-*2)(yi-V?)>0;当0Vxi〈X2时，(必-X2)(7i-72)<0.以原点0为心，04为半径

的圆与抛物线的另两个交点为8,C,且△48C有一个内角为60°.

①求抛物线的解析式；

②若点户与点0关于点力对称，且0,M,力三点共线，求证：21平分N/W.

【解析】解：(1)・・•抛物线"=方¥+6/。过点力(0,2),

/•c=2.

又•・,点(-如，0)也在该抛物线上，

.•.3(-A/2)?+b(-^2)+c=0,

.\2a-V2Z^2=0(a=#0).

(2)①•.,当X]<X2<0时，(为-X?)(yi-y-i)>0,

.'.Xi-x2<0,y,-y2<0,

...当xVO时，y随x的增大而增大；

同理：当x>0时，y随x的增大而减小，

二抛物线的对称轴为y轴，开口向下，

b—0.

•.•以为半径的圆与抛物线的另两个交点为8、C,

...△/1%为等腰三角形，

又•.•△/48C有一个内角为60°,

...△/18C为等边三角形.

设线段勿与y轴交于点。则BD=CD,且/胸=30°,

又<OB=OC=OA=2,

：.CD=OC-cos30°=M,OD=OC-sin30°=1.

不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（M,-1）.

♦.•点C在抛物线上，且c=2,b=O,

.*.3a+2=-1,

:.a--1,

抛物线的解析式为y=-x+2.

②证明：由①可知，点"的坐标为（小，-Y4■Z）,点力的坐标为（X2,-2+2）.

X1xY2

直线掰的解析式为y=kyx（〃1=#0）.

•：0、M、〃三点共线，

-Xi2+2-xo2+2

；・X#0,X2丰。,且--------=---------

xix2

99

・・・-Xi+—=-x2+—,

X1x2

“_『_2（X「X2）

xlx2

o

・'・不至=-2,即用=——

X1

二点儿的坐标为（-2A+2）-

xiXi

设点儿关于y轴的对称点为点“，则点〃的坐标为（2,L-+2）.

X1X.2

・・,点户是点0关于点A的对称点,

：.0420A=4,

・・・点户的坐标为（0,4）.

设直线校的解析式为y=k2x+49

:点"的坐标为（为，-Y24-2）,

A1

V%2=火2*+4,

A1

x/+2

%2=

X1

X,2+2

，直线分/的解析式为y=~—....A+4.

X1

xJ+2o-2(x[2+2)+4x[24

：—-i___.-±-+4—_____!________i_=--3_+2

x.x...2..2

:.点〃在直线分/上,

:.PA笠分乙MPN.

39.(2018*福建)如图，。是△48C外接圆上的动点，且8,。位于4c的两侧，DELAB,垂

足为£,巫的延长线交此圆于点尸.BGS.AD,垂足为G,BG燹DE于点、H,DC,a的延长

线交于点只且PXPB.

(1)求证：BG//CD-,

(2)设△48C外接圆的圆心为0,若AB=MDH,NM?=80°,求N3庄的大小.

【解析】(1)证明：如图1,•:PgPB,

：./PCB=NPBC,

・・,四边形力及刀内接于圆，

・・・N班/>N83=180°,

•：4BCK/PCB=W,

・・・4BAD=4PCB,

・.・4BAD=4BFD,

・・・/BFD=4PCB=/PBC,

：.BC//DF,

,:DELAB,

：.ZDEB=90°,

・・・NABC=90°,

・・・4?是。。的直径，

AZADC=90Q,

YBGLAD,

・・・N4G8=90°,

・・・AADC=NAGB,

：.BG//CD；

(2)由(1)得：BC//DF,BG〃CD,

・・・四边形8故/是平行四边形，

：.BC=DH,

在Rt△彳宓中，*：AB=MDH,

...tanN/4C^=挺二=«DH=我,

BCDH

AZACB=60°,N班"30°,

AZADB=60°,BC=XACf

2

:.DH=XAC,

2

①当点。在然的左侧时，如图2,作直径ZW,连接力席、OH,则N加麻=90°,

:•NAM步4ADM=9C

,:DE1AB,

:.NBED=9G,

:./BDR/ABD=9G0,

\・4AMD=/ABD,

：./ADM=NBDE,

♦;DH=LC,

2

：.DH=OD,

:・/DOH=/OHD=8N,

・・・/ODH=20°

VZADB=60Q,

:・NAD除/BDE=4G0,

:・NBDE=/ADM=2G,

②当点0在小■的右侧时，如图3,作直径。乂连接既

由①得：/ADE=/BDN=20°,40DH=2O°,

：.NBDE=NBDM/ODH=40。,

综上所述，N8Z股的度数为20°或40°.

%

FN

图3

图2

图1

40.(2017-福建)如图，四边形48C。内接于。0,48是。。的直径,点户在"的延长线上,

NC1ZJ=45°.

(1)若48=4,求而的长：

(II)若标=篇，AD^AP,求证：即是。。的切线.

DP

【解析】解：(1)连接0C,OD,

・.・NCOD=2NCAD,N以。=45°,

・・・NG勿=90°,

,.,48=4,

：.0C=LAB=2,

2

CD的长=-9」XnX2=n；

180

(II)VBC=AD,

.・・NBOC=/AOD,

,.・NC勿=90°,

AZAOD=45°,

YOA=OD,

...NODA=NOAD,

♦：NAO必/OD小/OAD=W,

・,.N彻=67.5°,

*：AD=AP,

：.NADP=NAPD,

・.・NCAD=NADR4APD,NCAD=45°,

AZADP=1./CAD=22.5°,

2

AZODP=ZODA^ZADP=90°,

・・・切是。。的切线.

41.(2017*福建)小明在某次作业中得到如下结果:

sin27°+sin283°^0.122+0.992=0.9945,

sin222°+sin268°心0.372+0.932=1.0018,

sin229°+sin2610^0.482+0.872=0.9873,

sin237°+sin253°心0.602+0.802=1.0000,

=迹)?+(©2=1.

sin245°+sin2450

22

据此，小明猜想：对于任意锐角Q,均有sir^a+sin?(90°-a)=1.

(I)当a=30°时，验证sin?a+sin?(90°-a)=1是否成立；

(II)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例.

【解析】解：(1)当a=30°时,

sin2a+sin2(900-a)

=sin230°+sin260°

=(1)?+(近)2

22

=l+3

44

=1

（2）小明的猜想成立，证明如下:

如图，在中，40=90°,

设N4=a,则N8=90°-a,

sin2a+sin2(90°-a)

=(BC)2+(AC)2

ABAB

^BC2+AC2

AB2

=ABI

AB2

=1.

42.（2017.福建）自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车.某

运营商为提高其经营的《品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，

同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1

元，第6次开始，当次用车免费.具体收费标准如下：

使用次数012345（含5次以

上）

累计车费00.50.9ab1.5

同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用4品牌共享单车的意愿,

得到如下数据：

使用次数012345

人数51510302515

（I）写出a,。的值；

（II）已知该校有5000名师生，且力品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元.试

估计：收费调整后，此运营商在该校投放为品牌共享单车能否获利？说明理由.

【解析】解：（I）a=0.9+0.3=1.2,6=1.2+0.2=1.4;

（II）根据用车意愿调查结果，抽取的100名师生每人每天使用4品牌共享单车的平均

车费为：

1X（0X5+0.5X15+0.9X10+1.2X30+1.4X25+1.5X15）=1.1（元），

100

所以估计5000名师生一天使用共享单车的费用为：5000X1.1=5500（元），

因为5500<5800,

故收费调整后，此运营商在该校投放4品牌共享单车不能获利.

43.（2017*福建）如图，矩形中，AB=6,47=8,P,£分别是线段4C、8c上的点，

且四边形PEFD为矩形.

(I)若△PC〃是等腰三角形时，求力户的长;

(II)若4—求CF的长.

【解析】解：(I)在矩形4町中，>45=6,朋=8,NADC=90°,

:・DgAB=b,

/I6^VAD2+DC2=1。,

要使△以沙是等腰三角形，

①当CP=3时，AP=AC-CP=10-6=4,

②当勿=QC时，/PDC=2PCD,

■：/PCM/PAD=/PDO/PDA=qy,

/PAD=/PDA,

：.PD=PA,

：.PA=PC,

AP=—AC=5,

2

③当AC时，如图1,过点。作DQLAC于Q,则PO=CQ,

二力雄=工/。DC=LAODO,

22

,-.p^APQC24^

AC5

二份TDC2-DQ2==,

b

:.PC=2CQ=陵,

5

：.AP=AC-PC=\G-逝=JA；

55

所以，若△户3是等腰三角形时，4—4或5或11；

5

(II)方法1、如图2,连接阴DE,记PF与DE的交点、为0,连接0C,

,/四边形ABCD和PEFD是矩形，

：.ZADg/PDF=9Q°,

二ZADPrZPDC=ZPDC+NCDF,

：.』ADP=ZCDF,

<2BCD=9G,OE=OD,

：.OC=1.ED,

2

在矩形阳7?中，PF=DE,

：.OC=XpFf

2

•：0片OF=LPF,

2

：.OC=OP=OF,

：.NOCF=NOFC,40cp=/OPC,

•：/0P//0F//PCF=\8G,

・・・2N0CH2N0CF=18O°,

AZPCF=90°,

・・.N分必"徒=90°,

在RtZVIOC中，/PCN4PAD=q°°,

：./PAD=/FCD,

:•△ADPsXCDF,

.CFCD3

••而记二，

♦:AP=近,

：.CF=3芯.

4

,/四边形ABCD知DPEF是矩形,

：.ZADC=/PDF=9N,

.・・NADP=NCDF,

♦:NDGX4CDF=90°,

:.NEG//CDF=9G,

♦：NCE合NCGE=9G,

」CDF=/FEC,

1点E,C,F,。四点共圆，

・・•四边形DPEF是矩形,

・••点。也在此圆上，

*：PE=DF,・••甫二而,

.,・/ACB=4DCF,

AD//BC,

：.4ACB=4DAP,

Z./DAP=4DCF,

'：ZADP=NCDF,

:.△ADP^XCDF.

.CFCD3

,*AP=AD

•:AP=近,

：.CF=&'凡.

4

方法3、

过点夕作PMLBC于"交4?于乂

AZPND=90°,

PN//CD,

・ANAP

ADAC

.ANV2

••=---，

(10-72)

同理：PM=1(10-V2)

5

VAPND=9Q0,

:./DPM/PDN=9N,

•・•四边形阳。是矩形，

：.4DPE=9G,

:・NDPN^/EPM=9G,

・・・4PDN=4EPM,

♦：4PND=/EMP=9G,

:•△PND^XEMP,

・PD』D=4

*'PE=PM京，

VPD=EF,DF=PE.

・EF4

••=9

DF3

D4

AclD-3

Dp

DFAD

CD

：.l\ADP^/\CDF,

.APAD=4

*'CF'CD京’

,:AP=®

CF=3近

4

图2

图1

44.(2017*福建)已知直线y=2A+m与抛物线yuax^+aA+b有一个公共点的(1,0),且a

<b.

(I)求抛物线顶点。的坐标(用含a的代数式表示)；

(II)说明直线与抛物线有两个交点；

(III)直线与抛物线的另一个交点记为“

(i)若-IWaW-工，求线段枢长度的取值范围；

2

(ii)求△。椒面积的最小值.

【解析】解：(I)；抛物线j/=aF+aA+6过点〃(1,0),

尹尹6=0,即b=-2a,

y=ax+ax+b=ax+ax-2a=a(A+A)2--51,,

24

...抛物线顶点。的坐标为(-工，-9%)；

24

(II)•.•直线y=2/m经过点"(1,0),

.*.0=2X1+/77,解得勿=-2,

联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+(a-2)x-2>2=0(*),

・'△=(a-2)2-4a(-2/2)=9a-12^-4,

由(I)知b=-2a,且aV6,

"VO,b>0,

AA>0,

・・・方程(*)有两个不相等的实数根，

・•・直线与抛物线有两个交点；

(川)联立直线与抛物线解析式，消去y可得a¥+(a-2)x-2a+2=0,即¥+(1-2)

a

x-2+2=0,

a

(x-1)\_x-(--2)]=0,解得x=1或x=2-2,

aa

点坐标为(2-2,A-6);

aa

(z)由勾股定理可得加=[(2-2)-1了+(9-6)2=型-空>45=20(A-J.)；

aaa2aa2

：-IWaW-1

2

-2W工W-1,

a

.•.麻随工的增大而减小，

a

当」=-2时，就有最大值245,则删有最大值7遥，

a

当工=-1时，就有最小值125,则腑有最小值5点，

a

...线段掰V长度的取值范围为5栋W朋任7遥；

(//)如图，设抛物线对称轴交直线于点£,

•.•抛物线对称轴为x=-上，点£在直线MN-.y=2x-2上，

2

/.E(--,-3),

2

'：M(1,0),N(-2-2,A-6),且a<0,设△融V的面积为S,

aa

二$=题姬题跋=』(2-2)-1|.I-i®--(-3)\=ZL-1-21±,

2a44a8

：.27a+(85-54)>24=0(*),

♦.•关于a的方程(*)有实数根，

；.△=(85-54)2-4X27X2420,即(8S-54)，(36企)2,

'：a<0,

.27_3_27a>27

4a84

・・.8S-54>0,

.♦.85-54,36&，即$》&■+,

_42_

当S=2L+9i巨时，由方程（*）可得a=-K历满足题意,

423

当a=-,b=时,△MV面积的最小值为，工+W5.

五、解答题压轴题

45.(2021•福建)已知抛物线y=a『+6A+c与x轴只有一个公共点.

(1)若抛物线过点夕(0,1),求＞6的最小值；

(2)已知点月(-2,1),P2(2,-1),P3(2,1)中恰有两点在抛物线上.

①求抛物线的解析式；

②设直线/:y=^+1与抛物线交于M,/V两点，点力在直线y=-1上，且N的削=90°,

过点力且与x轴垂直的直线分别交抛物线和/于点8,C.求证：△/48与△掰%•的面积相

等.

【解析】解：(1)把尸(0,1)代入解析式得：c=1,

2

:.y=ax+bA+1,

又，・,抛物线与x轴只有一个公共点，

,2

.,.△=62-4a=0,即a=^-,

a4

•*,a+b=-^-b2+b:^(b+2)2-l-

当b=-2时，a^b有最小值为-1;

(2)①•.•抛物线与x轴只有一个公共点，

二抛物线上的顶点在x轴上，

.•.抛物线上的点为月，P3,

又,：P、,自关于y轴对称，

，顶点为原点(0,0),

设解析式为y—ax,

代入点H得：vv2,

y4x

②证明：

联立直线/和抛物线得:

y=kx+l

即：x-4Ax-4=0,

设的(xi,4必+1),N(x2,kxz+1),

由韦达定理得：XI+X2=4〃，*X2=-4,

设线段椒的中点为7,设力的坐标为5-1),

则7■的坐标为｛2k,2〃+1),

：.Af=(2k-ni)2+(2后+2)2,

由题意得：IN2=(xi-X2)2+(kx「kx2)2=16(k4+2k2+l)，

；△肠W是直角三角形，且神是斜边，

•,』N=AT，即：TMN2=AT2>

24

.\Ax16(川+2川+1)=(2k-m2+(2〃+2)2,

4

解得m=2k,

：.A(2A,-1),

：.B(2k,“)，

：.C(2A,2A2+1),

••2k2+l+(-l),2

------------2=k'

.♦.8是4是的中点,

：.AB=BC,

又：△448与△的完■的高都是点M到直线4?的距离，

△物18与△戚的高相等，

△物8与△做7的面积相等.

46.(2018*福建)如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙做某人利用旧墙和木

栏围成一个矩形菜园ABCD,其中A运MN,已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100

米木栏.

(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙4?的长；

(2)求矩形菜园/18C。面积的最大值.

【解析】解：(1)设AB=tm,则比三(100-2t)m,

根据题意得t(100-2。=450,解得a=5,t2=45,

当力=5时，100-2t=90>20,不合题意舍去；

当力=45时,100-2-10,

答：A9的长为10m；

(2)设4J=x〃，矩形菜园483面积为S,

S=Xx(100-x)=-A(x-50)2+1250,

22

当a》50时，则x=50时，S的最大值为1250：

当0<aV50时，则当OVxWa时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最大值为50a

2

~—1a,

2

综上所述，当a250时，矩形菜园面积的最大值为1250福：当0<aV50时，矩形

菜园面积的最大值为(50a-a3)m.

2

47.(2018»福建)空地上有一段长为a米的旧墙帆，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜

园ABCD,已知木栏总长为100米.

(1)已知a=20,矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜

园面积为450平方米.

如图1,求所利用旧墙的长；

(2)已知0<aV50,且空地足够大，如图2.请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方

案，使得所围成的矩

形菜园48缈的面积最大，并求面积的最大值.

图1图2

【解析】解：(1)设4?=x米，则4g米

依题意得，x(100-x)=450

解得M=10,*2=90

Va=20,且xWa

x=90舍去

二利用旧墙4?的长为10米.

（2）设40=x米，矩形4式》的面积为S平方米

①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意

得：

S=x（10：x）6-50）2+1250,0<x〈a

V0<a<50

.•.x<a<50时，5随x的增大而增大

当*=百时，S最大=50石一工分2

24

-W///，，・'_....

rAD

空地

•BC•।

曲

②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得

5=x（100+a-2x）=_[x-（25咛）]2+（25疗）2,aWx<50+-|

当a<25+且<50+且时，即0<aV10°时,

423

2

则x=25+且时，5最大=（25+旦）2=10000+200a+a“

4416

当25+^Wa,即