北京昌平区2021届高三数学上学期期末试卷附答案解析

北京昌平区2021届高三数学上学期期末试卷

一、单选题

1.已知集合A={1,2,3,5},3={2,3},那么A5=（）

A.{2,3}B.{1,5}C.{1,2,3,5}D.{3}

一2i

2.复数-~；=（）

1+Z

A.1+1B.1-/C.iD.2

3.下列函数中，既是奇函数又在区间（（）,+8）上单调递增的是（）

A.y=sinxB.y=^C.y-2~xD.y=In|x

4.（2+&y的展开式中常数项是（）

A.8B.16C.24D.32

5.抛物线丁2=4%上一点户到其焦点的距离为5.则点尸的横坐标为（）

A.2B.3C.4D.5

函数/（x）=ln（x+l）-2的一个零点所在的区间是（）

6.

X

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为（）

C.472D.V41

8.已知aeR,则“。=1”是“函数/（x）=85?依―sir?办的最小正周期为乃的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.已知直线.丫=丘+1与圆f-4x+y2=。相交于M,N两点，且|MN|..26,那么实数力的取值范围

是（）

i4d4

A.一4领Jt一一B.0掰：-C.&..0或"D.一一别：0

3333

10.斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔

子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列｛风｝可以用如下方法

定义：4=a,i+a,”2(〃-3,〃eN*),q=%=1.若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列｛勿｝,

则％21=()

A.1B.2C.3D.5

二、填空题

11.已知｛%｝是等差数列，若4=1,%=13,则q=.

12.已知向量a=(2,m)，2=(1,2),且。_16，则实数加=.

13.已知双曲线乎-5=1(。>0)的离心率是，，则双曲线的右焦点坐标为.

14.高中学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素,

任选3个科目构成“选考科目组合”参加高考.已知某班37名学生关于选考科目的统计结果如下：

选考科目名称物理化学生物历史地理政治

选考该科人数24281415ab

下面给出关于该班学生选考科目的四个结论：①若。=19,则匕=11；②选考科目组合为“历史+地理+政治”

的学生一定不超过9人；③在选考化学的所有学生中，最多出现10种不同的选考科目组合；④选考科目组合为

“生物+历史+地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的.其中所有正确结论的序号是.

三、双空题

(左、「乃5万一

15.已知函数〃x)=sin(2x+0)(p<-，那么函数/(x)的最小正周期是___:若函数/(x)在

V2J1_26」

上具有单调性，且=葛)，则夕=.

四、解答题

16.如图，在四棱锥尸―ABC。中，平面ABC。，ABUCD,AD1CD,且

AD=CD=PD=2AB=2.

(I)求证：■平面PA。；(II)求二面角P—8C—A的余弦值.

2

17.在ABC中，b=7,c=5,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

(I)Dfi的值；

(n)ABC的面积.

条件①：sin23=sin8；条件②：cos2B=cos8.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计

分.

18.智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测.调查发现，使用水银体温

计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差.对同一人而言，如果用智

能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温

失误”.现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如下：

智能体温计水银体温计智能体温计水银体银计

序号序号

测温(°C)测温(°C)测温(°C)测温(°C)

0136.636.61136.336.2

0236.636.51236.736.7

0336.536.71336.236.2

0436.536.51435.435.4

0536.536.41535.235.3

0636.436.41635.635.6

0736.236.21737.237.0

0836.336.41836.836.8

0936.536.51936.636.6

1036.336.42036.736.7

(I)试估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率;

(n)从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量/为使用智能体温计“测温准确”的人数,

求x的分布列与数学期望；

(HD医学上通常认为，人的体温在不低于37.3°C且不高于38"C时处于“低热”状态.该社区某一天用智能

体温计测温的结果显示,有3人的体温都是37.3°C,能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于''低

热”状态？说明理由.

3

1,

19.己知函数/(x)ualnx+'d-(a+l)x+l.

(I)当。=0时，求曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线方程;

(H)若函数/0)在％=1处取得极小值，求实数a的取值范围.

r221

20.已知椭圆C:1+v4=1(。>8>0)的长轴长为4,且离心率为彳.

a~b-2

(I)求椭圆。的方程;

(H)设过点尸(1,0)且斜率为衣的直线/与椭圆。交于A3两点，线段A3的垂直平分线交x轴于点判

M

断|明是否为定值？如果是定值，请求出此定值：如果不是定值，请说明理由.

21.已知数列{q},从中选取第项、第，2项、…、第/；“项a<%<<")，若4；<为<<4,,,，则称

新数列，气，，%,为{%}的长度为m的递增子列.规定：数列{an}的任意一项都是{a“}的长度为1的递增

子列.

(I)写出数列9,2,6,7,3,5,8的一个长度为4的递增子列；

(H)设数列{4},%=〃,1软力14.若数列{《,}的长度为p的递增子列中，任意三项均不构成等差数列，求

0的最大值；

(ID)设数列{%}为等比数列，公比为S项数为N(N..3).判定数列{4}是否存在长度为3的递增子列：

1,16,81?若存在，求出川的最小值；若不存在，说明理由.

解析

北京昌平区2021届高三数学上学期期末试卷

一、单选题

1.已知集合4={1,2,3,5},6={2,3},那么AB=()

A.{2,3}B.{1,5}C.{1,2,3,5}D.{3}

【答案】C

【分析】根据并集的定义直接求出即可.

A={1,2,3,5},8={2,3},.•.AU8={1,2,3,5}。故选：c.

4

A.1+iB.1-z

【答案】A

【分析】分子分母同时乘以分母的共辗第数，然后化简.

故选：A

3.下列函数中，既是奇函数又在区间（0,+8）上单调递增的是（）

A.y=sinxB.y=xy=In|x|

【答案】B

【分析】根据解析式可直接判断出奇偶性和单调性.

【详解】对于A,y=sinx在（0,+8）有增有减，故A错误；

对于B,y=Y既是奇函数又在（。,+8）上单调递增，故B正确；

对于C,丁=2一，不是奇函数，故C错误；

对于D,y=ln|x|是偶函数，故D错误.

故选：B.

4.（2+6）4的展开式中常数项是（）

A.8B.16C.24D.32

【答案】B

【分析】求出展开式的通项，令x的指数为。即可求出.

【详解】（2+6）4的展开式的通项为7旬=C；-24-r.^）

令：=0,即厂=0,则常数项为G>-24-X0=16.

故选：B.

5.抛物线y2=4x上一点尸到其焦点的距离为5.则点尸的横坐标为（

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】根据抛物线定义,即可求得点P的横坐标.

【详解】抛物线J=4x则准线方程为x=—1

因为P到其焦点的距离为5,则到其准线的距离也为5所以尸点的横坐标为4

故选:C

【点睛】本题考查了抛物线的定义及简单应用,属于基础题.

5

6.函数/(x)=ln(x+l)—'的一个零点所在的区间是(

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【分析】根据零点存在性定理，计算出区间端点的函数值即可判断；

【详解】解：因为/(x)=ln(x+l)—,，在(0,+8)上是连续函数，且/'(x)=—!—+!>(),即/(x)在

XX"4~1X

(0,"。)上单调递增，

/(l)=ln2-l<0,/(2)=ln3-1>0,.-./(1)-/(2)<0,

所以/(x)在(1,2)上存在一个零点.

故选：B.

【点睛】本题考查函数的零点的范围，注意运用零点存在定理，考查运算能力，属于基础题.

7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为()

C.40D.V41

【答案】C

【分析】根据三视图得到该几何体是长方体相邻三条棱构成的一个三棱锥，然后分别求得其棱长比较即可.

【详解】由三视图可知：该几何体是长方体相邻三条棱构成的一个三棱锥，如图所示：

其中月比4,4Q3,4ZM,且AB_LAC,A8JLAQ,A。_LAC,

6

所以8。=4AB2+AD2=4&,BC=AB2+AC2=5,CD=\IAC2+AD2=5>

所以最长棱的棱长为4a，

故选：c

8.已知aeR,则“a=l”是“函数/(x)=cos2ar—sii?公的最小正周期为"”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】验证“=1时函数/(x)=cos2ar-sin24r的最小正周期为"是否成立；验证当函数

/(x)=cos2ax—sii?奴的最小正周期为乃时，。=1是否成立；再结合充分必要条件定义判定.

【详解】解：/(x)=cos2ar-sin2ar=cos2ax

当a=l时，/(x)=sin2x的最小正周期为"，故充分性成立

当函数/(x)=cos2ax的最小正周期为)时，

2乃

所以丁=7-=肛，4=±1,不能得出a=l,故必要性不成立，

12al

综上：“a=1”是“函数/(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期为冗”的充分而不必要条件.

故选:A.

【点睛】充分条件、必要条件的三种判定方法：

(1)定义法：根据p=q，q=p进行判断，适用于定义、定理判断性问题；

(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.

9.已知直线>=去+1与圆x2—4x+y2=0相交于M,N两点，且|MN|..26，那么实数〃的取值范围

是()

1444

A.—4领k—B.0领Jt—C.左..0或鼠—D.领Jt0

3333

【答案】D

【分析】利用弦长公式，建立关于火的不等式，直接求解.

【详解】圆化简为标准方程为(x-2)-+y2=4,圆心(2,0)到直线丁=去+1的距离d=

=>273,解得：—gwZWO.故选：D

10.斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔

子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列｛怎｝可以用如下方法

7

定义：a“=a„_,+an_2(〃..3,〃eN*),4=4=1.若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列他,｝,

则％21=()

A.1B.2C.3D.5

【答案】A

【分析】根据a,=a,-+4,-2(九.3,〃eN*),4=4=1,递推得到数列｛q｝,然后再得到数列也｝是以6

为周期的周期数列求解.

【详解】因为4=a,_I+a,_2(〃-3,〃€N*),q=a2=1,

所以数列｛4,｝为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…

此数列各项除以4的余数依次构成的数列｛包｝为：1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,0,-

是以6为周期的周期数列，所以％21=4x336+5=4=1，故选：A

二、填空题

11.已知｛%｝是等差数列，若4=1,%=13,则4=.

【答案】7

【分析】根据等差数列的性质，直接计算结果.

【详解】q+。7=2。4，所以。4=,"=7.

故答案为：7

12.已知向量a=(2,，%)，。=(1,2),且4_1人，则实数〃?=.

【答案】-1

【分析】根据a_Lb,由“2=0利用坐标运算求解.

【详解】因为向量a=(2,/%),b=(1,2),且a，

所以2x1+〃zx2=0,

解得m=-1,

故答案为：T

22c

13.已知双曲线三-5=1(4>0)的离心率是：，则双曲线的右焦点坐标为.

【答案】(5,0)

【分析】根据双曲线的离心率可求得实数。的值，由此可求得该双曲线的右焦点坐标.

【详解】由题意可知，该双曲线的离心率为e=J"?=2,解得a=4,

Va14

8

丫22________

所以，双曲线的标准方程为上一上_=1,则。=&6+9=5,

169

因此，该双曲线的右焦点坐标为(5,0).

故答案为：(5,0).

14.高中学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素,

任选3个科目构成“选考科目组合”参加高考.已知某班37名学生关于选考科目的统计结果如下：

选考科目名称物理化学生物历史地理政治

选考该科人数24281415ab

下面给出关于该班学生选考科目的四个结论：①若。=19,则匕=11；②选考科目组合为“历史+地理+政治”

的学生一定不超过9人；③在选考化学的所有学生中，最多出现10种不同的选考科目组合；④选考科目组合为

“生物+历史+地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的.其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②③

【分析】①根据所有选的总数来确定匕即可；

②需要一定的推理能力，由化学人数有28人，来断定选考科目组合为“历史+地理+政治”的学生一定不超过9

人；

③五选二，可据组合知识求解；

④根据政治，地理人数都不确定，无法判断结论.

【详解】①所有学生选的科目总数为37x3=111,则-24-28-14-15=30,若。=19,则

b=n,故①对；

②选化学的学生有28人，37-28=9人，则选考科目组合为“历史+地理+政治”的学生一定不超过9人，故

②对；

③在选考化学的所有学生中，学生还须选另外两科，则从五种里面选两种，共有或=10,最多出现10种不同

的选考科目组合，故③对；

④因为地理，政治人数不确定，选考科目组合为“生物+历史+政治”的学生人数不一定比

选考科目组合为“生物+历史+地理”的学生人数多.故④错.

故答案为：①②③

【点睛】该题不仅考查了组合知识，还需要学生具备一定的常识和逻辑推理能力.

组合问题常有以下两类题型变化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，

则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.

(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解.

三、双空题

15.已知函数/(x)=sin(2x+0)[°＜，D，那么函数/(x)的最小正周期是:若函数/(X)在g,苧

9

上具有单调性，且了，则夕

71

【答案】"~3

【分析】(1)利用周期公式求解即可.

代入化简可求出夕的正切值，写出表达式，根据范围确定夕的值.

【详解】(1)T=—=7l

2

0)=_，淞停+9

(2)由了7T+利用诱导公式化简可得

1^■cos。，/.tan(p——y/3

—sin9?=—sin(p——,展开得sine=_sine_

3)2

71

/.(p———+kjt(kwZ),又(p<—

2

2%

【点睛】求三角函数的解析式时，由啰=1F即可求出。；确定夕时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或

下降)的“零点”横坐标修,则令5；)+。=。或0^+0=")，即可求出勿，否则需要代入点的坐标，利用

一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出0和8,若对A(y的符号或对夕的范围有要求，则可用

诱导公式变换使其符合要求.

四、解答题

16.如图，在四棱锥产一A6C。中，尸。，平面A6CD,AB//CD,ADLCD,且

AD=CD=PD=2AB=2.

(I)求证：平面PAO；

(n)求二面角P-BC-A的余弦值.

2

【答案】(D证明见解析；(II)

3

【分析】(I)通过条件证明PO_LAB,AO，A3,再根据线面垂直的判定定理证明出AB，平面PA。；

10

(II)以04DC,DP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，根据平面PBC与平面ABC法向量夹角的余弦

值求解出二面角P-BC-A的余弦值.

【详解】(I)因为PO_L平面ABCDABu平面ABC。，

所以A3.

因为A3//CO,ADVCD,

所以ADLAB.

因为POcAO=Q,

所以45_1_平面巳4£).

(II)因为尸。，平面ABC。，AD±CD,

所以以。为原点，分别以D4,DC,DP为x,y,z轴建立空间直角坐标系。一肛z.

则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,l,0),C(0,2,0),P(0,0,2),

所以依=(2,1,-2),BC=(-2,1,0).

设平面PBC的法向量为”=(x,y,z),

n-PB=0,2x+y-2z=0,z=lx,

即《所以《

M-BC=0,-2x+y=Q.y=2x.

令x=l，于是〃=(1,2,2).

因为POL平面ABC。，所以平面ABC的法向量为机=(0,0,1),所以cos<n,m>=

由题知二面角P-8C-A为锐角，所以其余弦值是2.

3

【点睛】思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤：

(1)建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标；

(2)设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；(注：若半平面为坐

标平面，直接取法向量亦可)

11

(3)计算(2)中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，

从而得到二面角的余弦值.

17.在ABC中，b=7,c=5,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

(I)DB的值；

(II)A3C的面积.

条件①：sin23=sin条件②：cos28=cosB.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计

分.

【答案】(I)答案见解析；(H)答案见解析.

【分析】(1)选择条件①，化简sin2B=sinB,得cosB=,，从而算得DB.

2

由余弦定理算得。，运用面积公式可算出ABC的面积.

(2)选择条件②，化简cos28=cosB得COS8=—L,从而算得£)8.

一2

由余弦定理算得a,运用面积公式可算出A3C的面积.

【详解】选择条件①：

(I)因为sin28=sinB,

所以sinB(2cosB-l)=0,

因为0<3<»，所以sin3〉0.

所以cosB='.

2

71

所以8=一.

3

<II)由余弦定理尸=口2+。2-2accos8，

得72=a2+52-2xax5xcos—,

3

所以a2_5a_24=0.

解得a=8或。=一3(舍负).

所以a=8.

所以A3C的面积S=Lacsin5=10G.

2

选择条件②：

(I)因为cos23=cos5,

所以2cos2B-cosB-l=0，

12

解得cos5=1或cosB=.

2

因为0<8〈万，

所以cosB=

2

2万

所以3=—.

3

（II）由余弦定理=/+/-2accosB，

、2乃

W72=6f2+52-2xax5xcos——,

3

所以。2+5。-24=0，

解得。=3或。=一8（舍负）.

所以。=3.

所以A3C的面积S=』acsin8="百.

24

【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题中若出现边的一次

式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用.解

决三角形问题时，注意角的限制范围.

18.智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测.调查发现，使用水银体温

计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差.对同一人而言，如果用智

能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温

失误”.现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如下：

智能体温计水银体温计智能体温计水银体银计

序号序号

测温（°C）测温（C）测温（°C）测温（°C）

0136.636.61136.336.2

0236.636.51236.736.7

0336.536.71336.236.2

0436.536.51435.435.4

0536.536.41535.235.3

0636.436.41635.635.6

0736.236.21737.237.0

13

0836.336.41836.836.8

0936.536.51936.636.6

1036.336.42036.736.7

（I）试估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率；

（II）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量才为使用智能体温计“测温准确”的人数,

求X的分布列与数学期望；

（ID）医学上通常认为，人的体温在不低于37.3°C且不高于38"C时处于“低热”状态.该社区某一天用智能

体温计测温的结果显示,有3人的体温都是37.3°C，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低

热”状态？说明理由.

39

【答案】（I）二；（II）分布列见解析，=；（IH）答案见解析.

【分析】（I）根据题意找出用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号，用其个数除以总个数；

（II）由题意可得X=0,1,2,3,且根据二项分布公式计算其概率并列出其分布列即可；

（III）根据表格找出高于其真实体温的序号为02,05,11,17,共计4种情况由此估计用智能体温计的测温结果高

于其真实体温的概率为g,计算其概率，根据概率分析.

【详解】（I）表中20人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是

01,04,06,07,09,12,13,14,16,18,19,20,共有12种情况.

由此估计所求概率为F=一.

205

（II）随机变量机的所有可能取值为X=0,1,2,3.

3

由（1）可知，用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为

所以“x=o）=穹闫粉

pg）=c削曰=蔑

P（X=2）=咤冷

…Y联用吟

所以才的分布列为

14

X0123

8365427

P

125125125125

故才的数学期望E(X)=Ox------1-lx---------l-2x-------1-3x------=-------=—

1251251251251255

(III)设这3人中至少有1人处于“低热”状态为事件N.

表中20人的体温数据中，用智能体温计的测温结果，高于其真实体温的序号为02,05,11,17,共计4种情况,

由此估计从社区任意抽查1人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为g.由此估计，这3人中至少

有1人处于“低热”状态的概率为P(N)=1

124

结论1：因为P(N)=茂，接近于1,由此可以认定这3人中至少有1人处于“低热”状态.

结论2：因为P(N)=—<1,所以有可能这3人都不处于“低热”状态.

125

【点睛】独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略：

(1)在求〃次独立重复试验中事件恰好发生女次的概率时，首先要确定好〃和k的值，再准确利用公式求概率;

(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验

次数〃和变量的概率，求得概率.

1,

19.已知函数/(x)="lnx+ex~

(I)当。=0时，求曲线y=/(x)在点(2,7(2))处的切线方程；

(II)若函数/(无)在％=1处取得极小值，求实数a的取值范围.

【答案】(I)y=x-l；(II)a<\.

【分析】(1)当。=0时，利用导数的几何意义求切线方程：(II)首先求函数的导数，

f(x)=g+x_q_]=『二("+Dx+g=0时,西=1和％2=。，并讨论a与0,1的大小关系，求实数a的

XX

取值范围.

【详解】(I)当4=0时，-x+1.

所以''(x)=x—l,

所以左=/'(2)=1,

因为/(2)=/x22—2+1=1.

15

所以切线方程为y=x-i.

(II)函数，(幻的定义域为(0,+8).

1.

因为/(x)=aln工+万%-(a+l)x+l

八、a.x2-(a+l)x+a

所以/(x)=—+x-a-l=--------------.

XX

令/'(x)=0，即x?—(a+l)x+a=O，解得％=1或%=。.

(1)当4,0时，当不变化时，r(x),/(x)的变化状态如下表:

X(0,1)1(L+0O)

/(X)——0+

f(x)极小值

所以当％=1时，/(x)取得极小值.

所以成立.

(2)当0＜。＜1时，当x变化时，/'(x),/(x)的变化状态如下表:

X(0,a)a(«,1)1(l,+°o)

f(x)+0—0+

fM极大值极小值

所以当x=l时，取得极小值.

所以0＜。＜1成立.

(3)当。=1时，/(x)..O在(0,+8)上恒成立，

所以函数f(x)在(0,+8)上单调递增，没有板小值，不成立.

(4)当。＞1时，当x变化时，/'(x)J(x)的变化状态如下表:

X(0,1)1(1,«)a(a,+co)

/U)+0—0+

f(x)极大值极小值

所以当％=1时，/(X)取得极大值.

16

所以a>1不成立.

综上所述，a<l.

【点睛】关键点点睛：本题考查根据极值点求。的取值范围，本题容易求出导函数的零点1和a,但需讨论。的

范围，这是易错的地方，容易讨论不全面，需注意.

x2y21

20.己知椭圆C：W+4=l（a>%>0）的长轴长为4,且离心率为万.

（I）求椭圆。的方程;

（II）设过点尸（1,0）且斜率为A的直线/与椭圆。交于A8两点，线段AB的垂直平分线交X轴于点4判

断是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.

【答案】（I）二+工=1；（II）是，4.

43

【分析】（I）根据题中条件，由椭圆的简单性质，列出方程组求解，得出a2,尸，即可得到椭圆方程;

（H）先得到/：y=/：（xT）,联立直线与椭圆方程，设A（%,y）,3（毛,%），根据韦达定理，以及弦长公

式，得到），以及线段A3的中点坐标，讨论&=0和攵HO两种情况，求出耳，进而可求

出结果.

2。=4,

c_1

【详解】（I）依题意得《

a~2"

a2=b2+c2.

解得/=4，Z?2=3，

x2v2

故椭圆。的方程为二+乙=1；

43

|AB|

（II）网是定值・

由已知得直线/：y=人（1-1）.

由，消去儿整理得（4%2+3）/-8%2%+4左2-12=0.

所以A=（-8左2J—4（4/+3）（4左2-12）=144k2+144>0,

洪24公-12

设A（X1,y）,3（毛，%），则%+为2

17

所以=（9—玉）？+（%-y1=（1+6）［（百+X2）2-4不工2

（8k2Y4（4公_12）]/12（1+公）T

、4公+3J-―4k2+3-[止+3,

则|如叩，

114r+3

,7c\/8k2Q-6k

因为乂+%=%（%+%-2）=2—r---2=—r--.

、^rKIJy^TKID

'4k2-3k

所以线段AB的中点为、4公+3'4公+3J

,,,,\AB\

(1)当攵=0时，|AB|=4,I。口=1.所以诵=4.

3k1(4%2、

(2)当女工0时，线段A3的垂直平分线方程为＞+:7「7=-7--

4/+3-4k'+3)

'k2

令y=0，得x即。

止+3邓2+3

“2