高考物理系统性复习 (考点分析) 第二节 磁场对运动电荷的作用（附解析）

【考点分析】第二节磁场对运动电荷的作用【考点一】洛伦兹力方向的判断【典型例题1】图中a、b、c、d为四根与纸面垂直的长直导线，其横截面位于正方形的四个顶点上，导线中通有大小相同的电流，方向如图所示．一带正电的粒子从正方形中心O点沿垂直于纸面的方向向外运动，它所受洛伦兹力的方向是()A．向上 B．向下C．向左 D．向右【解析】据题意，由安培定则可知，b、d两通电直导线在O点产生的磁场相抵消，a、c两通电直导线在O点产生的磁场方向均向左，所以四条通电直导线在O点产生的合磁场方向向左．由左手定则可判断带电粒子所受洛伦兹力的方向向下，正确选项为B.【答案】B【考点二】半径公式和周期公式的应用【典型例题2】有两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ中的磁感应强度是Ⅱ中的k倍．两个速率相同的电子分别在两磁场区域做圆周运动．与Ⅰ中运动的电子相比，Ⅱ中的电子()A．运动轨迹的半径是Ⅰ中的k倍B．加速度的大小是Ⅰ中的k倍C．做圆周运动的周期是Ⅰ中的k倍D．做圆周运动的角速度与Ⅰ中的相等【解析】两速率相同的电子在两匀强磁场中做匀速圆周运动，且Ⅰ中磁场磁感应强度B1是Ⅱ中磁场磁感应强度B2的k倍．由qvB＝eq\f(mv2,r)得r＝eq\f(mv,qB)∝eq\f(1,B)，即Ⅱ中电子运动轨迹的半径是Ⅰ中的k倍，选项A正确．由F合＝ma得a＝eq\f(F合,m)＝eq\f(qvB,m)∝B，所以eq\f(a2,a1)＝eq\f(1,k)，选项B错误．由T＝eq\f(2πr,v)得T∝r，所以eq\f(T2,T1)＝k，选项C正确．由ω＝eq\f(2π,T)得eq\f(ω2,ω1)＝eq\f(T1,T2)＝eq\f(1,k)，选项D错误．【答案】AC【考点三】洛伦兹力做功的特点【典型例题3】如图所示，ABC为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB为倾斜直轨道，BC为与AB相切的圆形轨道，并且圆形轨道处在匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里．质量相同的甲、乙、丙三个小球中，甲球带正电、乙球带负电、丙球不带电．现将三个小球在轨道AB上分别从不同高度处由静止释放，都恰好通过圆形轨道的最高点，则()A．经过最高点时，三个小球的速度相等B．经过最高点时，甲球的速度最小C．甲球的释放位置比乙球的高D．运动过程中三个小球的机械能均保持不变【解析】设磁感应强度为B，圆形轨道半径为r，三个小球质量均为m，它们恰好通过最高点时的速度分别为v甲、v乙和v丙，则mg＋q甲v甲B＝eq\f(mveq\o\al(2,甲),r)，mg－q乙v乙B＝eq\f(mveq\o\al(2,乙),r)，mg＝eq\f(mveq\o\al(2,丙),r)，显然，v甲>v丙>v乙，选项A、B错误；三个小球在运动过程中，只有重力做功，即它们的机械能守恒，选项D正确；甲球在最高点处的动能最大，因为势能相等，所以甲球的机械能最大，甲球的释放位置最高，选项C正确．【答案】CD【考点四】洛伦兹力作用下带电体的力学问题分析【典型例题4】如图所示，在纸面内存在水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B，一水平固定绝缘杆上套有带电小球P，P的质量为m、电荷量为－q，P与杆间的动摩擦因数为μ.小球由静止开始滑动，设电场、磁场区域足够大，杆足够长，在运动过程中小球的最大加速度为a0，最大速度为v0，则下列判断正确的是()A．小球先加速后减速，加速度先增大后减小B．当v＝eq\f(1,2)v0时，小球的加速度最大C．当v＝eq\f(1,2)v0时，小球一定处于加速度减小阶段D．当a＝eq\f(1,2)a0时，eq\f(v,v0)>eq\f(1,2)【解析】开始运动阶段qvB<mg，加速度a1＝eq\f(qE－μ（mg－qv1B）,m)，小球做加速度越来越大的加速运动；当qvB＝mg之后，小球受到的支持力垂直杆向下，小球的加速度a2＝eq\f(qE－μ（qv2B－mg）,m)，小球做加速度减小的加速运动，加速度减小到0后做匀速运动，则可知小球一直加速最后匀速，加速度先增大后减小为0不变，选项A错误；作出小球的加速度随速度的变化规律图象如图所示，两阶段的图线斜率大小相等，有v1<eq\f(1,2)v0，则v＝eq\f(1,2)v0时一定处于加速度减小阶段，选项B错误，C正确；a＝eq\f(1,2)a0可能出现在加速度增大阶段或加速度减小阶段，选项D错误．【答案】C【考点五】有约束情况下带电体的运动【典型例题5】如图所示，粗糙木板MN竖直固定在方向垂直纸面向里的匀强磁场中．t＝0时，一个质量为m、电荷量为q的带正电物块沿MN以某一初速度竖直向下滑动，则物块运动的v－t图象可能是()【解析】设初速度为v0，则FN＝Bqv0，若满足mg＝Ff＝μFN，即mg＝μBqv0，物块向下做匀速运动，选项A正确；若mg>μBqv0，则物块开始有向下的加速度，由a＝eq\f(mg－μBqv,m)可知，随速度增加，加速度减小，即物块先做加速度减小的加速运动，最后达到匀速状态，选项D正确；若mg<μBqv0，则物块开始有向上的加速度，做减速运动，由a＝eq\f(μBqv－mg,m)可知，随速度减小，加速度减小，即物块先做加速度减小的减速运动，最后达到匀速状态，则选项C正确．【答案】ACD【考点六】带电粒子在匀强磁场中的运动【典型例题6】如图所示，MN为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直平面的匀强磁场(未画出)．一带电粒子从紧贴铝板上表面的P点垂直于铝板向上射出，从Q点穿越铝板后到达PQ的中点O.已知粒子穿越铝板时，其动能损失一半，速度方向和电荷量不变，不计重力．铝板上方和下方的磁感应强度大小之比为()A．2B．eq\r(2)C．1D．eq\f(\r(2),2)【解析】根据题图中的几何关系及带电粒子在匀强磁场中的运动性质可知：带电粒子在铝板上方做匀速圆周运动的轨道半径r1是其在铝板下方做匀速圆周运动的轨道半径r2的2倍．设粒子在P点的速度为v1，根据牛顿第二定律可得qv1B1＝eq\f(mv12,r1)，则B1＝eq\f(mv1,qr1)＝eq\f(\r(2mEk),qr1)；同理，B2＝eq\f(mv2,qr2)＝eq\f(\r(2m·\f(1,2)Ek),qr2)，则eq\f(B1,B2)＝eq\f(\r(2),2)，D正确，A、B、C错误．【答案】D【考点七】带电粒子在直线边界磁场中的运动【典型例题7】如图所示为一有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，MN、PQ为其两个边界，两边界间的距离为L.现有两个带负电的粒子同时从A点以相同速度沿与PQ成30°的方向垂直射入磁场，结果两粒子又同时离开磁场．已知两带负电的粒子质量分别为2m和5m，电荷量大小均为q，不计粒子重力及粒子间的相互作用，则粒子射入磁场时的速度为()A．eq\f(\r(3)BqL,6m) B．eq\f(\r(3)BqL,15m)C．eq\f(BqL,2m) D．eq\f(BqL,5m)【解析】由于两粒子在磁场中运动时间相等，则两粒子一定是分别从MN边和PQ边离开磁场的，如图所示，由几何知识可得质量为2m的粒子对应的圆心角为300°，由t＝eq\f(θ,2π)T得质量为5m的粒子对应的圆心角为120°，由图可知△OCD为等边三角形，可求得R＝eq\f(\r(3),3)L，由Bqv＝eq\f(5mv2,R)得v＝eq\f(\r(3)BqL,15m)，B正确．【答案】B【考点八】带电粒子在圆形有界磁场中的运动【典型例题8】(2022•江苏盐城市高三(下)二模)如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，、、、是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹，a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°、60°、45°的夹角，则下列判断正确的是()A．沿径迹运动的粒子在磁场中运动时间最短 B．沿径迹、运动的粒子均为正电子C．沿径迹、运动的粒子速率比值为 D．沿径迹、运动的时间之比为9：8【解析】A．由于正电子和负电子的电量q和质量m均相等，粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有，，解得，可知四种粒子的周期相等，而沿径迹运动的粒子偏转角最大，圆心角也最大，设偏转角为θ，由，可知沿径迹运动的粒子在磁场中运动时间最长，A项错误：B．由左手定则可判断沿径迹，运动的粒子均带负电，B项错误；C．设圆形磁场半径为r，根据几何关系可得沿径迹，运动的粒子轨道半径分别为，，根据，可得，C项正确：D．由前述分析可知，运动时间之比为偏转角之比所以，D项错误。故选C。【答案】C【考点九】带电粒子在角有界磁场中的运动【典型例题9】(2022•江苏盐城市高三(下)二模)如图所示，水平面的abc区域内存在有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，边界的夹角为30°，距顶点b为L的S点有一粒子源，粒子在水平面内垂直bc边向磁场内发射速度大小不同的带负电的粒子、粒子质量为m、电量大小为q，下列说法正确的是()A．从边界bc射出的粒子速度方向各不相同B．粒子离开磁场时到b点的最短距离为C．垂直边界ab射出的粒子的速度大小为D．垂直边界ab射出的粒子在磁场中运动的时间为【解析】A．粒子竖直向上进入磁场，轨迹圆心一定在bc边上，若粒子能从边界bc射出，粒子的速度方向一定竖直向下，故方向均相同，A错误；B．当轨迹恰好与ab边相切时，粒子从bc边离开磁场时到b点的距离最短，由几何关系可得，离b点的最短距离为，联立解得，B正确；C．垂直边界ab射出的粒子，轨道半径为，由洛伦兹力作为向心力可得，解得粒子的速度大小为，C错误；D．粒子在磁场中的运动周期为，垂直边界ab射出的粒子在磁场中运动的时间为，D错误。故选B。【答案】B【考点十】带电粒子在正方形有界磁场中的运动【典型例题10】(2022•河北石家庄市高三(下)二模)如图所示，边长为0.64m的正方形内有磁感应强度的匀强磁场，方向垂直于纸面向外。在正方形中央处有一个点状的放射源P，它在纸面内同时向各个方向均匀连续发射大量同种粒子，该种粒子速度大小为，比荷。不考虑粒子重力及粒子间相互作用，下列说法正确的是()A．粒子在磁场中运动的最短时间为B．粒子在磁场中运动的最长时间为C．正方形边界上有粒子射出的区域总长为1.6mD．稳定后单位时间内射出磁场的粒子数与单位时间内粒子源发射的总粒子数之比为1∶2【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据，解得，带入数据解得。AB．假设粒子逆时针转动，则粒子射出范围如图所示，当轨迹对应弦最短时，对应圆心角最小，此时在磁场中运动时间最短，由题意知，即弦恰好垂直于磁场边界时，弦最短，由几何关系知弦长为，由几何关系知，此时对应圆心角为，所以最短时间为，同理可知，最长弦恰好为直径，所以最长时间为，故AB正确；CD．由几何关系知，，解得，，则，所以边界上有粒子射出的总长度为，且射出磁场的粒子数与总粒子数之比即为边界上有粒子射出的总长度与正方形周长之比，即为，故C正确，D错误。故选ABC。【答案】ABC【考点十一】带电粒子在多边形有界磁场中的运动【典型例题11】(2022•山东省济南市高三(上)期末)如图所示，边长为L的正六边形abcdef区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，正六边形中心O处有一粒子源，可在纸面内向各个方向发射不同速率带正电的粒子，已知粒子质量均为m、电荷量均为q，不计粒子重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是()A．可能有粒子从ab边中点处垂直ab边射出B．从a点垂直af离开正六边形区域的粒子在磁场中的运动时间为C．垂直cf向上发射的粒子要想离开正六边形区域，速率至少为D．要想离开正六边形区域，粒子的速率至少为【解析】A．若粒子从ab边中点处垂直ab边射出，则圆心一定在在ab边上，设与ab边交点为g，则圆心在Og的中垂线上，而中垂线与ab边平行，不可能相交，故A错误；B．同理做aO垂线出射速度垂线交于f点，即f为圆心，则对于圆心角为，所以粒子在磁场中的运动时间为，且，解得，故B错误；C．垂直cf向上发射的粒子刚好与能离开磁场时，轨迹与边af相切，则由几何关系得，由得，联立解得，故C正确；D．因为O点距六边形的最近距离为，即此时对应刚好离开磁场的最小直径，所以最小半径为，又，所以最小速度为，故D错误。故选C。【答案】C【考点十二】带电粒子运动的临界问题【典型例题12】如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B＝0.60T．磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行．在距ab为l＝16cm处，有一个点状的α粒子放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速率都是v＝3.0×106m/s.已知α粒子的电荷量与质量之比eq\f(q,m)＝5.0×107C/kg.现只考虑在纸面内运动的α粒子，求ab板上被α粒子打中区域的长度．【解析】α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动．用R表示轨迹半径，有qvB＝meq\f(v2,R)，由此得R＝eq\f(mv,qB)，代入数值得R＝10cm，可见2R>l>R.因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹在下图中N左侧与ab相切，则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点．为确定P1点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心，R为半径，作圆弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P1.即：NP1＝eq\r(R2－（l－R）2).再考虑N的右侧．任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆弧，交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点．由图中几何关系得NP2＝eq\r(（2R）2－l2)，所求长度为P1P2＝NP1＋NP2，代入数值得P1P2＝20cm.【答案】20cm【考点十三】带电粒子运动的极值问题【典型例题13】如图，ABCD是边长为a的正方形．质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场．不计重力，求：(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向；(2)此匀强磁场区域的最小面积．【解析】(1)设匀强磁场的磁感应强度的大小为B.令圆弧eq\o(AEC,\s\up8(︵))是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨迹．电子所受到的磁场的作用力大小f＝ev0B①方向应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外．圆弧eq\o(AEC,\s\up8(︵))的圆心在CB边或其延长线上．依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B点即为圆心，圆半径为a.根据牛顿第二定律有f＝meq\f(veq\o\al(2,0),a) ②联立①②式得B＝eq\f(mv0,ea). ③(2)由(1)中确定的磁感应强度的方向和大小可知，自C点垂直于BC入射的电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其他点垂直入射的电子的运动轨迹只能在BAEC区域中，因而，圆弧eq\o(AEC,\s\up8(︵))是所求的最小磁场区域的一个边界．为了确定该磁场区域的另一边界，需考查从A点射出的电子的速度方向与BA的延长线的交角θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(不妨设0≤θ<\f(π,2)))的情形．该电子的运动轨迹QPA如图所示．图中，圆弧eq\o(AP,\s\up8(︵))的圆心为O，PQ垂直于BC边，由③式知，圆弧eq\o(AP,\s\up8(︵))的半径仍为a，在以D为原点，DC为x轴，DA为y轴的坐标系中，P点的坐标(x，y)为x＝asinθ ④y＝－[a－(a－acosθ)]＝－acosθ ⑤这意味着，在范围0≤θ≤eq\f(π,2)内，P点形成以D为圆心、a为半径的四分之一圆周eq\o(AFC,\s\up8(︵))，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界．因此，所求的最小匀强磁场区域是分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周eq\o(AEC,\s\up8(︵))和eq\o(AFC,\s\up8(︵))所围成的，其面积为S＝2×eq