（新课标）备战高考数学“12＋4”小题提速练（七）理-人教版高三数学试题

“12＋4”小题提速练七为解答后面的大题留足时间一、选择题1．已知集合M＝{y|y＝|x|－x}，N＝{x|y＝ln(x2－x)}，则M∩N＝()A．R B．{x|x＞1}C．{x|x＜0} D．{x|x≥1或x＜0}解析：选B∵y＝|x|－x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x≥0，,－2x，x＜0，))∴y≥0，∴M＝{y|y≥0}．∵x2－x＞0∴x＜0或x＞1，∴N＝{x|x＜0或x＞1}，∴M∩N＝{x|x＞1}，故选B.2．已知复数z满足(z＋i)i＝2－3i，则|z|＝()A.eq\r(10) B．3eq\r(2)C．10 D．18解析：选B法一：∵(z＋i)i＝2－3i，∴zi－1＝2－3i，∴zi＝3－3i，∴z＝eq\f(3－3i,i)＝－3－3i，∴|z|＝3eq\r(2)，故选B.法二：∵(z＋i)i＝2－3i，∴zi－1＝2－3i，∴zi＝3－3i，∴|zi|＝|z|＝|3－3i|＝3eq\r(2)，故选B.3．等比数列{an}中，a1＝－1，a4＝64，则数列{an}的前3项和S3＝()A．13 B．－13C．－51 D．51解析：选B设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由已知得－q3＝64，所以q＝－4，所以S3＝－1－1×(－4)－1×(－4)2＝－13，故选B.4．已知非零向量a与b的夹角为eq\f(2π,3)，且|b|＝1，|a＋2b|＝2，则|a|＝()A．1 B．2C.eq\r(3) D．2eq\r(3)解析：选B∵|a＋2b|＝2，∴|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4，又a与b的夹角为eq\f(2π,3)，|b|＝1，∴|a|2－2|a|＋4＝4，∴|a|2－2|a|＝0，又a≠0，∴|a|＝2，故选B.5．为了得到函数y＝sin2x的图象，可以将y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的图象()A．向右平移eq\f(π,6)个单位长度B．向右平移eq\f(π,3)个单位长度C．向左平移eq\f(π,6)个单位长度D．向左平移eq\f(π,3)个单位长度解析：选Ay＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，将函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度后得函数y＝sin2x的图象，故选A.6．已知两个平面相互垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题个数是()A．3 B．2C．1 D．0

解析：选C构造正方体ABCD­A1B1C1D1，如图所示．①，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，BD⊂平面ABCD，但A1D与BD不垂直，故①错；②，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，l是平面ADD1A1内的任意一条直线，l与平面ABCD内同AB平行的所有直线垂直，故②正确；③，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，但A1D与平面ABCD不垂直，故③错；④，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，过交线AD上的点作交线的垂线l，则l可能与另一平面垂直，也可能与另一平面不垂直，故④错．故选C.7．2018年12月1日，贵阳市地铁1号线全线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况．为了了解市民对地铁1号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图：根据图中(35岁以上含35岁)的信息，下列结论中不一定正确的是()A．样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通B．样本中多数女性是35岁以上C．样本中35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多D．样本中35岁以上的人对地铁1号线的开通关注度更高解析：选C设等高条形图对应2×2列联表如下：35岁以上35岁以下总计男性aca＋c女性bdb＋d总计a＋bc＋da＋b＋c＋d根据第1个等高条形图可知，35岁以上男性比35岁以上女性多，即a＞b；35岁以下男性比35岁以下女性多，即c＞d.根据第2个等高条形图可知，男性中35岁以上的比35岁以下的多，即a＞c；女性中35岁以上的比35岁以下的多，即b＞d.对于A，男性人数为a＋c，女性人数为b＋d，因为a＞b，c＞d，所以a＋c＞b＋d，所以A正确；对于B,35岁以上女性人数为b,35岁以下女性人数为d，因为b＞d，所以B正确；对于C,35岁以下男性人数为c,35岁以上女性人数为b，无法从图中直接判断b与c的大小关系，所以C不一定正确；对于D,35岁以上的人数为a＋b,35岁以下的人数为c＋d，因为a＞c，b＞d，所以a＋b＞c＋d，所以D正确．故选C.8．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋y≤3，,y≥x＋1))表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为()A．(0,3] B．[－1,1]C．(－∞，3] D．[3，＋∞)解析：选D作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知直线y＝kx－1过定点M(0，－1)，由图可知，当直线y＝kx－1经过直线y＝x＋1与直线x＋y＝3的交点C(1,2)时，k最小，此时kCM＝eq\f(2－－1,1－0)＝3，因此k≥3，即k∈[3，＋∞)．故选D.9．下面规定一个学生数学成绩优秀的标志为连续5次数学考试成绩(满分150分)均不低于120分．现有甲、乙、丙三位学生连续5次数学考试成绩的记录数据(记录数据都是正整数)情况：①甲学生：5个数据的中位数为127，众数为120；②乙学生：5个数据的中位数为125，总体均值为127；③丙学生：5个数据中有一个数据是135，总体均值为128，总体方差为19.8.则可以断定数学成绩优秀的学生为()A．甲、丙 B．乙、丙C．甲、乙 D．甲、乙、丙解析：选A因为甲学生的5个数据的中位数为127，所以5个数据中有2个数据大于127，又5个数据的众数是120，所以至少有2个数据为120，所以甲学生的5个数据均不小于120，所以甲学生数学成绩优秀；丙学生的5个数据中的一个数据为135，设另外4个数据分别是a，b，c，d，因为5个数据的总体均值为128，总体方差为19.8，所以eq\f(1,5)[(a－128)2＋(b－128)2＋(c－128)2＋(d－128)2＋(135－128)2]＝19.8，所以(a－128)2＋(b－128)2＋(c－128)2＋(d－128)2＝50①，假设a，b，c，d中存在小于120的数据，不妨设a＜120，则(a－128)2＞64，显然①式不成立，所以假设错误，即a，b，c，d均不小于120，所以丙学生的5个数据均不小于120，所以丙学生数学成绩优秀．故选A.10.我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则对该几何体描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为2eq\r(6)；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24π.其中正确的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：选D对于①，由三视图知“阳马”的直观图如图中四棱锥S­ABCD所示，其中SA⊥平面ABCD，所以SA⊥AB，SA⊥AD，SA⊥BC，所以△SAB，△SAD为直角三角形，结合BC⊥AB，知BC⊥平面SAB，所以BC⊥SB，故△SBC为直角三角形，同理可知△SCD为直角三角形，所以“阳马”的四个侧面均为直角三角形，正确；对于②，由三视图及直观图得SA＝2，SB＝eq\r(SA2＋AB2)＝2eq\r(2)，SD＝eq\r(SA2＋AD2)＝2eq\r(5)，连接AC，则SC＝eq\r(SA2＋AC2)＝eq\r(SA2＋AD2＋CD2)＝2eq\r(6)，所以“阳马”的最长的侧棱长为2eq\r(6)，正确；对于③，由②的侧棱长知，侧面四个直角三角形的斜边均不相等，所以不存在全等的直角三角形，错误；对于④，考虑将“阳马”补形为一个长、宽、高分别为4,2,2的长方体，易知长方体的外接球即“阳马”的外接球，其直径2R＝eq\r(22＋22＋42)＝2eq\r(6)，所以“阳马”的外接球的表面积为4πR2＝π(2R)2＝24π，正确．综上可知，正确的个数为3，故选D.11．若函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))(ω＞0)在[0，π]上的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，则ω的最小值为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,2)解析：选A∵0≤x≤π，ω＞0，∴－eq\f(π,6)≤ωx－eq\f(π,6)≤ωπ－eq\f(π,6).又f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，∴ωπ－eq\f(π,6)≥eq\f(π,2)，∴ω≥eq\f(2,3)，故选A.12．设F1，F2分别是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝0，eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，则椭圆E的离心率为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(5),3) D.eq\f(\r(7),4)解析：选C设|BF2|＝m，则|AF2|＝2m，连接BF1，由椭圆的定义可知|AF1|＝2a－2m，|BF1|＝2a－m.由eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝0知AF1⊥AF2，故在Rt△ABF1中，(2a－2m)2＋(3m)2＝(2a－m)2，整理可得m＝eq\f(a,3).故在Rt△AF1F2中，|AF1|＝eq\f(4a,3)，|AF2|＝eq\f(2a,3)，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4a,3)))2＝4c2，解得离心率e＝eq\f(\r(5),3).二、填空题13．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为________．解析：f′(x)＝2x－2－eq\f(4,x)＝eq\f(2x2－x－2,x)(x＞0)，由f′(x)＞0得eq\f(2x2－x－2,x)＞0，解得x＞2，∴f′(x)＞0的解集为(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝________.解析：eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝4－2＝2.答案：215．已知圆O：x2＋y2＝4，若不过原点O的直线l与圆O交于P，Q两点，且满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，则直线l的斜率为________．解析：设直线l：y＝kx＋b(b≠0)，代入圆的方程，化简得(1＋k2)x2＋2kbx＋b2－4＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(2kb,1＋k2)，x1x2＝eq\f(b2－4,1＋k2)，kOP·kOQ＝eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(b,x1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(b,x2)))＝k2＋kbeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,x1x2)))＋eq\f(b2,x1x2)＝k2＋kbeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2kb,b2－4)))＋eq\f(b21＋k2,b2－4)＝eq\f(b2－4k2,b2－4)，由kOP·kOQ＝k2，得eq\f(b2－4k2,b2－4)＝k2，解得k＝±1.答案：±116．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若