高考一轮复习理科数学课件三角函数的图象与性质

高考一轮复习理科数学课件三角函数的图象与性质汇报人：XX2024-02-06XXREPORTING目录三角函数基本概念回顾三角函数图象绘制方法三角函数周期性分析三角函数单调性与最值问题三角函数奇偶性判断与应用三角函数图象变换规律总结PART01三角函数基本概念回顾REPORTINGXX123将圆周分为360等份，每一份称为1度，通常用"°"表示。角度制以弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度，通常用"rad"表示。弧度制1°=(π/180)rad，1rad=(180/π)°。转换公式角度制与弧度制定义及转换三角函数定义及符号约定sinθ=y/r，其中r为原点到点P(x,y)的距离，θ为OP与x轴正方向的夹角。cosθ=x/r，其中r为原点到点P(x,y)的距离，θ为OP与x轴正方向的夹角。tanθ=y/x，其中θ为OP与x轴正方向的夹角，且x≠0。根据角θ的终边所在象限，确定三角函数的正负号。正弦函数余弦函数正切函数符号约定第一象限第二象限第三象限第四象限三角函数在各象限内性质01020304正弦、余弦、正切均为正值。正弦为正值，余弦、正切为负值。正弦、余弦均为负值，正切为正值。正弦为负值，余弦、正切为正值。诱导公式通过角度的加减、倍角、半角等关系，推导出三角函数的诱导公式。应用利用诱导公式化简三角函数式、求三角函数的值、证明三角恒等式等。例如，利用诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数进行计算。诱导公式及其应用PART02三角函数图象绘制方法REPORTINGXX正弦函数的周期为2π，因此图像在一个周期内重复。确定周期列出关键点描点连线在一个周期内，列出正弦函数的关键点，如振幅、相位、周期等。根据列出的关键点，在坐标系中描出对应的点，并用平滑的曲线连接各点。030201正弦函数图象绘制步骤确定周期余弦函数的周期同样为2π，图像在一个周期内重复。列出关键点在一个周期内，列出余弦函数的关键点，如振幅、相位、周期等。需要注意的是，余弦函数的相位与正弦函数相差π/2。描点连线根据列出的关键点，在坐标系中描出对应的点，并用平滑的曲线连接各点。与正弦函数图像相比，余弦函数图像向左平移了π/2个单位。余弦函数图象绘制步骤确定间断点01正切函数在π/2+kπ（k为整数）处无定义，因此在这些点上图像存在间断。列出关键点02在一个周期内，列出正切函数的关键点，如渐近线、零点等。需要注意的是，正切函数的图像存在无数条渐近线，即x=π/2+kπ（k为整数）。描点连线03根据列出的关键点，在坐标系中描出对应的点，并用平滑的曲线连接各点。需要注意的是，在接近间断点处，正切函数的值会迅速增大或减小，因此图像在这些区域会变得更加陡峭。正切函数图象绘制步骤正弦函数图像可以通过余弦函数图像向左平移π/2个单位得到，反之亦然。这表明两者之间存在密切的相互关系。正弦函数与余弦函数关系正切函数的值等于正弦函数值除以余弦函数值（在余弦函数值不为零的情况下）。因此，正切函数的图像可以看作是正弦函数图像与余弦函数图像的商。在某些区域，如接近间断点处，正切函数的图像会呈现出与正弦、余弦函数图像截然不同的特征。正切函数与正弦、余弦函数关系其他三角函数图象关系PART03三角函数周期性分析REPORTINGXX周期函数定义对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数。周期函数性质周期函数的图像会重复出现，且任意两个相邻周期内的图像完全相同；周期函数的周期T可以是正数或负数，但一般取正数；周期函数的周期不唯一，但存在最小正周期。周期函数定义及性质介绍y=sinx的最小正周期为2π，即在一个完整的圆周上正弦函数的值会重复出现。正弦函数周期y=cosx的最小正周期同样为2π，余弦函数的图像与正弦函数相差π/2个相位。余弦函数周期y=tanx的最小正周期为π，正切函数的图像在π的间隔内重复出现，且在π/2+kπ（k为整数）处存在间断点。正切函数周期正弦、余弦、正切函数周期求解对于函数y=f(x)，如果其周期为T，则对于任意的常数a，函数y=f(ax)的周期为T/|a|；对于函数y=f(x+b)，其周期仍然为T；对于函数y=|f(x)|或y=f(|x|)，其周期可能会发生变化，需要根据具体情况进行分析。周期变换公式在三角函数中，通过变换自变量的系数、加减常数等方式可以改变函数的周期，但需要注意的是，这些变换可能会影响到函数的定义域、值域以及单调性等其他性质。周期变换规律周期变换规律探讨对于一些具有周期性的数列或函数问题，可以利用其周期性将复杂的问题简化为一个周期内的问题进行求解。利用周期性简化计算对于三角函数的图像问题，可以利用其周期性分析图像在一个周期内的变化情况，从而推断出整个函数的图像特征。利用周期性分析图像在实际问题中，很多现象都具有周期性，如天文现象、经济周期等。通过利用三角函数的周期性可以建立相应的数学模型对这些现象进行描述和预测。利用周期性解决实际问题实际应用中周期性问题解决方法PART04三角函数单调性与最值问题REPORTINGXX单调性概念及判断方法对于函数$y=f(x)$，若在某区间$I$上，任取$x_1,x_2inI$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)leqf(x_2)$（或$f(x_1)geqf(x_2)$），则称$f(x)$在区间$I$上单调递增（或单调递减）。单调性定义通过求导判断函数单调性，若$f'(x)>0$，则$f(x)$单调递增；若$f'(x)<0$，则$f(x)$单调递减。判断方法正弦、余弦函数在指定区间内单调性判断正弦函数单调性在$[2kpi-frac{pi}{2},2kpi+frac{pi}{2}]$（$kinZ$）内，正弦函数$y=sinx$单调递增；在$[2kpi+frac{pi}{2},2kpi+frac{3pi}{2}]$（$kinZ$）内，正弦函数$y=sinx$单调递减。余弦函数单调性在$[2kpi,2kpi+pi]$（$kinZ$）内，余弦函数$y=cosx$单调递减；在$[2kpi+pi,2kpi+2pi]$（$kinZ$）内，余弦函数$y=cosx$单调递增。正切函数单调性：在每个开区间$(k\pi-\frac{\pi}{2},k\pi+\frac{\pi}{2})$（$k\inZ$）内，正切函数$y=\tanx$都是单调递增的。正切函数在指定区间内单调性判断例如，正弦函数和余弦函数的值域为$[-1,1]$，因此可以通过这一性质来求解相关最值问题。利用三角函数的有界性求最值对于复杂的三角函数表达式，可以通过求导来判断其在指定区间内的单调性，并进而找到最值点。利用导数求最值通过三角函数的加减、乘除、倍角、半角等变换，将复杂问题转化为简单问题来求解最值。利用三角函数的变换求最值对于一些含有三角函数的不等式问题，可以通过解不等式来找到最值点。利用不等式求最值最值问题求解策略PART05三角函数奇偶性判断与应用REPORTINGXX奇函数满足$f(-x)=-f(x)$，偶函数满足$f(-x)=f(x)$。通过函数定义式或图象判断，如正弦、余弦函数图象关于原点对称，正切函数图象关于原点不对称。奇偶性概念及判断方法判断方法奇函数、偶函数定义正弦函数$y=sinx$是奇函数，因为$sin(-x)=-sinx$。正弦函数余弦函数$y=cosx$是偶函数，因为$cos(-x)=cosx$。余弦函数正切函数$y=tanx$是奇函数，因为$tan(-x)=-tanx$，但需要注意其定义域。正切函数正弦、余弦、正切函数奇偶性判断

利用奇偶性简化计算过程利用奇偶性求函数值如已知$sin60^circ$，则$sin(-60^circ)=-sin60^circ$。简化三角函数式如$sinxcos(-x)=sinxcosx$，因为$cosx$是偶函数。在三角恒等变换中应用如利用奇偶性证明$sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny$等恒等式。03在物理问题中的应用如交流电、简谐振动等问题中，可利用三角函数的奇偶性描述周期性变化规律。01解决实际问题中的对称性如振动、波动等问题中的对称性，可利用三角函数的奇偶性进行分析。02在几何问题中的应用如利用正弦、余弦定理解决三角形中的边角问题时，可利用三角函数的奇偶性简化计算。实际应用中奇偶性问题解决方法PART06三角函数图象变换规律总结REPORTINGXX水平平移$y=Asin(omegax+varphi)$的图象可以看作是$y=Asinomegax$的图象上所有的点向左（$varphi>0$）或向右（$varphi<0$）平行移动$|frac{varphi}{omega}|$个单位长度得到的。垂直平移在原有函数基础上加减常数可实现图象在y轴方向的上下平移，形如$y=Asin(omegax+varphi)+k$。平移变换规律VS通过改变$omega$的值，可以实现图象在x轴方向的伸缩。具体地，当$omega>1$时，图象横向压缩；当$0<omega<1$时，图象横向拉伸。振幅变换通过改变A的值，可以实现图象在y轴方向的伸缩。具体地，当A增大时，图象纵向拉伸；当A减小时，图象纵向压缩。周期变换伸缩变换规律对于正弦函数和余弦函数，其图象分别关于直线$x=frac{pi}{2}+kpi$和$x=kpi$（k为整数）对称。对称轴正弦函数和余弦函数的图象分别关于点$(frac{kpi}{2},0)$和$(frac{pi}{2}+kpi,0