安徽省部分学校2023-2024学年高一上学期12月阶段性检测数学试题

绝密★启用前安徽省2023—2024学年（上）高一冬季阶段性检测数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合的补集运算得到，把转化为，最后利用包含关系得到答案.【详解】因为，，因为，所以，所以，故选：A.2.命题“，函数是奇函数”的否定是（）A.，函数是偶函数B.，函数不是奇函数C.，函数是偶函数D.，函数不是奇函数【答案】B【解析】【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案.【详解】命题“，函数是奇函数”的否定是：，函数不是奇函数.故选：B3.给出函数，如下表，则函数的值域为（）123456432165113355A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别取，求出的值，从而得到答案.【详解】当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，的值域为，故选：D.4.已知函数是定义域为的偶函数，则“”是“在上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】直接利用函数的单调性和函数的值的关系，利用充分条件和必要条件的应用求出结果．【详解】由题意，函数的定义域为的偶函数，当“”时，根据偶函数，，“在不一定单调递增”；当“在上单调递增”时，有，故“”是“在上单调递增”的必要不充分条件．故选：B．5.已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示：010.50.750.6250.56250.68750.656250.67187510.17190.01245若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（）A.4，0.7 B.5，0.7 C.4，0.65 D.5，0.65【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果【详解】由题意可知，对区间内，设零点为，因为，，，所以，精确度为，又，，，精确度为，又，，，精确度为又，，，精确度为，需要求解的值，然后达到零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.65，共计算4次.故选：C6.函数与在同一平面直角坐标系中的图象不可能为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】对B选项，根据确定，二次函数开口向下，不满足，其他选项满足类幂函数和二次函数性质，得到答案.【详解】，当时，二次函数对称轴为，对选项A：根据确定，二次函数开口向下，对称轴在轴右边，满足；对选项B：根据确定，二次函数开口向下，不满足；对选项C：根据确定，二次函数开口向上，对称轴在轴左边，满足；对选项D：取，则，，满足图像；故选：B7.已知函数可以表示为一个偶函数和一个奇函数之和，若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】确定和，相加得到，确定函数的单调区间，变换得到，设，得到，根据函数的单调性计算最值得到答案.【详解】，，两式相加得到，当时，，函数单调递增，故函数在上单调递增，在上单调递减，，即，即，即，设，当且仅当时等号成立，故，，在上单调递增，故，则，解得.故选：D8.已知函数，，，，设，则关于的方程的实根个数最小值为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根据题意写出函数的解析式并画出图象，利用换元法设，解关于的方程；然后根据方程根的个数转化为函数图象交点的个数，结合图象确定实根的个数.【详解】由题意可知，，图象如图所示：设，由得，解得或，即或，当时，由图可知有两个实根，当时，当时，没有实根，当时，有一个实根，当时，有两个实根，综上，有两个实根或三个实根或四个实根，所以实根个数的最小值为2.故选：.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.某网约车平台对乘客实行出行费用优惠活动：（1）若原始费用不超过10元，则无优惠；（2）若原始费用超过10元但不超过20元，给予减免2元优惠；（3）若原始费用超过20元但不超过50元，其中20元的部分按第（2）条给予优惠，超过20元的部分给予9折优惠；（4）若原始费用超过50元，其中50元的部分按第（2）（3）条给予优惠，超过50元的部分给予8折优惠．某人使用该网约车平台出行，则下列说法正确的是（）A.若原始费用为12.8元，则优惠后的费用为10.8元B.若优惠后的费用为27.9元，则原始费用为31元C.若优惠后的费用为47.8元，则优惠额为5.9元D.优惠后的费用关于原始费用的函数是增函数【答案】AB【解析】【分析】根据题意得到优惠后的费用和原始费用的函数关系式，逐选项判断即可.【详解】根据题意，设原始费用为元，优惠后的费用为元，则，即，当时，，当时，，当时，，当时，，对于A，若原始费用为12.8元，按第（2）条优惠，优惠后的费用为元，故A准确；对于B，若优惠后的费用为27.9元，符合第（3）条优惠，则，所以原始费用为31元，，故B正确；对于C，若优惠后的费用为47.8元，符合第（4）条优惠，则，，则优惠额为元，故C错误；对于D，当时，，当时，，例，当时，，当时，，所以原始费用和优惠后的费用不是增函数，故D错误，故选：AB.10.已知函数，则（）A.的最小值为2 B.，C. D.【答案】AC【解析】【分析】确定在上单调递减，在上单调递增，函数关于对称，计算最值得到A正确，，B错误，，C正确，，D错误，得到答案.【详解】，在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递减，在上单调递增，，函数关于对称，对选项A：的最小值为，正确；对选项B：，错误；对选项C：，故，，正确；对选项D：，故，错误；故选：AC.11.若函数的图象连续不断，且存在常数，使得对于任意实数恒成立，则称为“学步”函数．下列命题正确的是（）A.是“学步”函数B.（为非零常数）为“学步”函数的充要条件是C.若是的“学步”函数，且时，，则时，D.若是的“学步”函数，则在上至少有1012个零点【答案】BCD【解析】【分析】A选项，得到，不存在，符合题意；B选项，得到，从而得到充要条件是；C选项，化简得到，，借助时，求解；D选项，赋值法结合零点存在性定理得到在区间上均至少有一个零点，得到在上至少有1012个零点.【详解】对于A，是定义在R上的连续函数，且，不存在，使得，故A错误；对于B，函数（为非零常数）是定义在R上连续函数，且，当时，对于任意的实数x恒成立，若对任意实数x恒成立，则，解得：，故函数（为非零常数）为“学步”函数的充要条件是，故B正确；对于C，若是的“学步”函数，则，即，因为时，，当，，，又因为，即，即，所以，故C正确；对于D，由题意得：，令得：，所以与异号，即，由零点存在性定理得：在上至少存在一个零点，同理可得：在区间上均至少有一个零点，所以上至少有1012个零点，故D正确.故选：BCD.12.已知，则下列不等式正确的是（）A B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】确定，，A正确，得到，B错误，确定，C正确，，D正确，得到答案.【详解】对选项A：，，，正确；对选项B：，，故，错误；对选项C：，故，故，正确；对选项D：，故，正确；故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的定义域是_______________.【答案】【解析】【分析】列出需满足的不等式，再取交集即为函数定义域.【详解】由题意，，解得且，所以的定义域为，故答案为：14.已知函数的图象不是一条直线，且满足，写出一个满足条件的的解析式：______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】取，计算得到答案.【详解】取，则，，则，则.故答案为：.15.已知函数为奇函数，则______．【答案】【解析】【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称确定，再利用奇函数的定义得到，进而得到答案.【详解】定义域为且，函数为奇函数，定义域关于原点对称，所以，所以，所以，即，解得，所以.故答案为：.16.在平面直角坐标系中，已知原点，，，若点是围成的区域内（包括边界）的一点，则的最大值为______．【答案】##【解析】【分析】由已知找到点横纵坐标满足的条件，再基于基本不等式求得最值.【详解】因为点是围成的区域内（包括边界）的一点，由图可知，点在直线AB的下侧阴影部分区域，此时，因为，由题可知在上时，即时，取得最大值，故，当且仅当时取等号，故的最大值为，故答案为：四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设集合，，求，．【答案】答案见解析【解析】【分析】当时，，当时，，，考虑，，，，且，且时四种情况，求交集并集得到答案.【详解】，当时，，当时，，，①当时，，；②当时，，；③当时，，；④当，且，且时，，．18.解关于的一元二次不等式．（结果用集合表示）【答案】答案见解析【解析】【分析】对进行合理地分类讨论即可.【详解】由已知，可得，（1）当时，方程有两实根，不等式的解集为．（2）当时，方程的根的判别式．①当时，，所求不等式的解集为；②当时，，所求不等式的解集为；③当时，，所求不等式的解集为或．综上所述：当时，解集为；当时，解集或．当时，解集为；时，解集为.19.已知正数满足．（1）求实数的取值范围；（2）当时，用分別表示，．【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）利用基本（均值）不等式求解；（2）分和两种情况讨论.【小问1详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的取值范围为.【小问2详解】因为，所以，当时，由指数函数的单调性可知：，所以，当时，由指数函数的单调性可知：，所以，又，所以，又，所以.20.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．了解人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T．R．Malthus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：，其中表示经过的年数，表示时的人口数，表示人口的年自然增长率．为了方便计算，常把人口增长模型中的近似为．已知某地区在2022年末的人口总数约为500万，记，试用马尔萨斯人口增长模型的近似模型解决以下问题．（1）若该地区人口年自然增长率约为1.16%，则大约经过多少年，该地区人口总数将达到600万？（结果精确到整数）（2）要使该地区人口总数在2042年末不超过600万，则人口的年自然增长率不能大于多少？参考数据：，，．【答案】（1）16年（2）0.91%【解析】【分析】（1）由马尔萨斯人口增长模型的近似模型为代入数据计算得出；（2）代入，，，得代入数值算出增长率.【小问1详解】马尔萨斯人口增长模型的近似模型为．代入，，，得，，由参考数据得，，所以，，，所以大约经过16年，该地区人口总数将达到600万．【小问2详解】代入，，，得，，，，由参考数据，得，所以，，所以要使该地区人口总数在2042年末不超过600万，则人口的年自然增长率不能大于0.91%21.已知函数（，），函数，若函数（）的图象与函数，的图象交点为，，且，判断与的大小关系并证明．【答案】，证明见解析【解析】【分析】根据函数单调性的定义和判定方法，求得函数的单调区间，在同一平面直角坐标系中画出函数，，的大致图象，得到（）的图象与函数，的图象交点为，结合图象，得到，即可求解．【详解】由函数，任取，且则，当时，，，，所以，即函数（）在上单调递增，同理可得，函数（）在上单调递喊．又由，当时，，所以在同一平面直角坐标系中画出函数，，的大致图象，如图所示，函数（）的图象与函数，的图象交点为，，且，则，得，即，因为，故，，所以，所以．22.设为实数，函数.（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值.【答案】（1）答案