专题11等比数列的前n项和（知识梳理精讲）

专题11等比数列的前n项和知识点一累乘法例1．（2023上·江苏苏州·高二南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）已知数列中，，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和，并求出的取值范围.【答案】(1)（）(2)，答案见解析【分析】（1）将已知条件变形为，运用累乘法即可求得结果.（2）运用裂项相消法求和即可.【详解】（1）因为，（），所以，（），所以，，，…，，（且），所以（且），整理得：（且），即，（且），又因为，所以，（且），当时，适合上式，所以，（）.（2）由（1）知，，所以，即.例2．（2023下·山西大同·高一校考期末）已知数列的首项，前项和为，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，可得．两式相减，可得，再利用累乘法可得答案；（2）化简，利用错位相减法可得答案.【详解】（1）∵，∴．两式相减，得，即．∴，，，…，．∴（2）∵，∴，①．②两式相减，整理得，所以1．（2023下·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)已知是公比为的等比数列，，若数列是递增数列，求的取值范围．【答案】(1)(2)．【分析】（1）由累乘法可求出数列的通项公式；（2）分类讨论，即可得出答案.【详解】（1）由可得，当时，，，将以上各式相乘可得：，当时，成立；所以（2）因为是公比为的等比数列，，若，则，数列不是递增数列，若数列是递增数列，恒成立，则．故的取值范围为：.2．（2023上·山东·高三济南一中校联考期中）数列中，．(1)求数列的通项公式．(2)求前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据累乘法或者利用等比数列的定义，结合等比通项的求解即可.（2）根据错位相减法即可结合等比数列的求和公式即可求解.【详解】（1）方法1：

当．又也适合上式，．方法2：为公比为2，首项为1的等比数列．，（2）由（1）知，①②①－②，知识点二判断或证明等比数列例3．（2023年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（三）数学试题）已知数列满足，，是公比为2的等比数列．(1)证明：是等比数列；(2)求的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）结合等比数列的性质与等比数列的定义计算即可得；（2）得出后由等比数列求和公式计算即可得.【详解】（1）由题可得，所以，，又，为首项为2，公比为3的等比数列；（2）由题可得，故，则.例4．（2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习）已知数列的前n项和为，是n、的等差中项，．(1)证明：是等比数列；(2)设，数列的前n项和，证明：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据条件得到时的递推关系式，两式作差得到新的递推关系式，将其化简可完成证明；（2）代入的通项公式于，将的通项公式裂项，然后采用裂项相消法进行求和并根据结果完成证明.【详解】（1）因为是的等差中项，所以，所以，两式相减可得：，所以，又，所以，，所以是首项为，公比为的等比数列；（2）由（1）可知，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以.1．（2024·全国·模拟预测）已知数列的首项，且满足，.(1)求证：数列是等比数列；(2)记，求数列的前项和.【答案】(1)证明见详解(2)【分析】（1）根据等比数列的定义证明；（2）求出的通项公式，利用分组求和和错位相减法求和得解.【详解】（1）因为，，所以，，又，所以数列是以1为首项，以为公比的等比数列.（2）由（1）得，，，令，①则，②①②得，，，.2．（2023上·湖南长沙·高三统考阶段练习）在数列中，且满足（且）．(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）变形得到，得到结论；（2）在（1）的基础上得到，进而利用分组求和可得.【详解】（1）（且），（且），，所以是首项为2，公比为2的等比数列．（2）是首项为2，公比为2的等比数列，，故，.知识点三构造等比数列例5．（1）、（2023上·吉林长春·高二校考期末）已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意分析可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解.【详解】因为，则，且，可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列，所以，即，所以.故选：C.（2）、（2023上·江苏扬州·高二统考阶段练习）已知数列中，且，则为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将已知式化简得出，即可根据构造法求出数列通项，再代入数值求解即可.【详解】，，即，两边同时除以得：，即，令，则，则是首项为，公差为的等差数列，则，即，则，则.故选：D1．（2023下·河南许昌·高二校考阶段练习）已知数列满足，则的通项公式（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由递推公式得为等比数列，再由等比数列的通项公式求解，【详解】由得，而，故是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即.故选：D2．（2023上·安徽淮北·高二淮北一中校考阶段练习）已知数列满足，则数列的通项公式为.【答案】【分析】根据等差数列定义写出的通项公式，进而可得的通项公式.【详解】由题设是首项、公差均为1的等差数列，则，故.故答案为：例6．（2023上·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）设数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）推导出数列为等比数列，确定该数列的公比和第二项的值，即可求得数列的通项公式；（2）利用分组求和法可求得.【详解】（1）解：因为数列满足，，则，且，所以，数列是等比数列，且该数列的第二项为，公比为，所以，，则.（2）解：因为，所以，.1．（2023上·甘肃临夏·高二校联考期中）已知数列，且.(1)求的通项公式；(2)设，若的前n项和为，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）变形得到，则是首项为1，公比为2的等比数列，利用等比数列通项公式求出答案；（2）求出，利用错位相减法求和.【详解】（1）因为，所以，其中，故是首项为1，公比为2的等比数列，故，所以；（2），所以①，故②，两式相减得，，故.知识点四综合性质例7．（1）、（2024上·山西·高三期末）已知等比数列的前项和为，若，，则（

）A．8 B．26 C．80 D．54【答案】C【分析】根据等比数列前n项和的片段和的性质，即可求得答案.【详解】在等比数列中，，，，也成等比数列，因为，，所以，所以，，所以，故选：C.（2）、（2024上·吉林白山·高二统考期末）等比数列的各项均为正数，其前项和为，已知，则.【答案】16【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出首项、公比可得答案.【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，可得，解得，（舍去），，所以.故答案为：.（3）、（2023上·湖南衡阳·高二校考期末）已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（

）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】C【分析】由等比数列前项和列出与，两式相比即可解出答案；或根据等比数列前项和的性质得，，成等比数列，且公比为，即可列式，代入值即可解出答案.【详解】法一：因为等比数列的公比为，则，，所以，解得.法二：根据等比数列前项和的性质得，，成等比数列，且公比为，所以，即，解得..故选：C1．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）等比数列中，为的前n项和，若，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据构成等比数列求解即可.【详解】因为为等比数列，，设，所以构成等比数列.所以构成等比数列，所以，所以.故选：A2．（2023上·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校校考阶段练习）各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则．【答案】15【分析】由，，成等差数列可得，利用通项公式代入求出公比，再由等比数列求和公式即可求.【详解】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，所以，因为，且各项均为正数，所以解得，所以.故答案为：153．（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知数列是递增的等比数列，其前n项和为.若，，则（

）A． B． C．或 D．－3或【答案】B【分析】利用等比数列通项公式和求和公式进行基本量的计算即可.【详解】设等比数列的公比为，则，解得:或（舍去），所以，所以.故选:B.知识点五错位相减法例8．（2024上·江苏·高二期末）已知等差数列满足，等比数列满足.(1)求数列，的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据等差数列和等比数列的概念以及通项公式直接求解即可.（2）利用错位相减法求解即可.【详解】（1）设等差数列的公差为.由，可得，解得，则.由，可得是首项为，公比为的等比数列，则.（2）由（1）得，，，所以，，故.例9．（2024上·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知数列前项和为，且满足__________.①首项，均有；②，均有且，从条件①和②中选一个填到题目条件下划线上（若两个都填，以第一个为准），并回答下面问题：(1)求数列的通项公式；(2)求数列前项和的表达式.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据求解即可；（2）利用错位相减法求和.【详解】（1）若选条件①，则令，可得：，故当时有：，，又当也符合上式，所以，数列的通项公式为；若选条件②，则由可得，当时，，解得，当时有：，则,化简得:，因为，故有，即，所以是首项为，公差为的等差数列，从而有.数列的通项公式为；（2）由（1）可知：，则，，两式相减得：，，，所以.数列前项和为.1．（2023上·河南商丘·高二商丘市第二高级中学校考阶段练习）已知公比为2的等比数列满足成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）求得等比数列的首项，从而求得.（2）利用错位相减求和法即得.【详解】（1）等比数列的公比，成等差数列，所以，，解得，所以.（2），，两式相减得，所以.2．（2024上·湖北·高二期末）已知各项均