2023-2024学年高中数学人教A版2019课后习题第八章综合训练

第八章综合训练一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如图,一圆锥的母线长为4,其侧面积为4π,则这个圆锥的体积为()A.153 B.833 C.153π答案C解析因为圆锥侧面积公式S侧=πrl,由此可知底面半径r=1,所以底面面积为S=π,圆锥的高为h=15,故圆锥的体积V=13Sh=1532.在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,M为AC的中点,沿BM把它折成二面角,折后A与C的距离为1,则二面角CBMA的大小为()A.30° B.60° C.90° D.120°答案C解析如图,由A'B=BC=1,∠A'BC=90°知A'C=2.∵M为A'C的中点,∴MC=AM=22,且CM⊥BM,AM⊥BM∴∠CMA为二面角CBMA的平面角.∵AC=1,MC=MA=22∴∠CMA=90°,故选C.3.如图所示,△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图,B'在x'轴上,A'O'与x'轴垂直,且A'O'=2,则△AOB的边OB上的高为()A.2 B.4C.22 D.42答案D解析设△AOB的边OB上的高为h,因为S原图形=22S直观图,所以12×OB×h=22×12×O'B'×2,又OB=O'B',所以4.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=22,AD=2,则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为()A.(60+42)π B.(60+82)πC.(56+82)π D.(56+42)π答案A解析四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成的几何体,如图.S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=πr22+π(r1+r2)l2+πr1l1=π×52+π×(2+5)×5+π×2×22=(60+42)π.故选5.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为()A.63 B.255 C.15答案D解析在平面A1B1C1D1内过点C1作B1D1的垂线,垂足为E,连接BE.C1E⊥B1D1C1E⊥∴∠C1BE的正弦值就是所求角的正弦值.∵BC1=22+12=5∴sin∠C1BE=C16.已知:平面α⊥平面β,α∩β=l,在l上取线段AB=4,AC,BD分别在平面α和平面β内,且AC⊥AB,DB⊥AB,AC=3,BD=12,则CD的长度为()A.13 B.151 C.123 D.15答案A解析如图,连接AD.∵α⊥β,∴AC⊥β,DB⊥α.在Rt△ABD中,AD=AB2+B在Rt△CAD中,CD=AC2+7.在空间四边形ABCD中,AD=2,BC=23,E,F分别是AB,CD的中点,EF=7,则异面直线AD与BC所成角的大小为()A.150° B.60° C.120° D.30°答案D解析如图所示.设BD的中点为O,连接EO,FO,所以EO∥AD,FO∥BC,则∠EOF是AD,BC所成的角或其补角,又EO=12AD=1,FO=12BC=3,EF=根据余弦定理,得cos∠EOF=1+3-72所以∠EOF=150°,异面直线AD与BC所成的角为30°.8.设A,B,C,D是同一个直径为2的球的球面上四点,AD过球心,已知△ABC与△BCD都是等边三角形,则三棱锥ABCD的体积是()A.26 B.212 C.36答案B解析如右图所示,取BC的中点E,设球心为点O,则O为AD的中点,连接AE,DE,OE.设BC=a(a>0),则AB=BD=AC=CD=a,由题意可知AD=2,且∠ABD=∠ACD=90°,由勾股定理AD2=AB2+BD2,即2=2a2,解得a=1.∵E为BC的中点,∴AE⊥BC,DE⊥BC,且AE=DE=32a=3又AE∩DE=E,∴BC⊥平面ADE.∵O为AD的中点,∴OE⊥AD,且OE=AE∴△ADE的面积S△ADE=12AD·OE=2因此,三棱锥ABCD的体积VABCD=VBADE+VCADE=13S△ADE·BE+13S△ADE·CE=13S△ADE·BC=13×二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题不正确的是()A.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥αB.若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥βC.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥βD.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α答案ABC解析选项A的已知条件中如果加上m⊂β,那么命题就是正确的,也就是面面垂直的性质定理.选项B错误,容易知道两个平面内分别有一条直线平行,那么这两个平面可能相交也可能平行.选项C错误,因为两个平面各有一条与其平行的直线,如果这两条直线垂直,并不能保证这两个平面垂直.选项D正确,由n⊥α,n⊥β可得α∥β,又因为m⊥β,所以m⊥α.10.如图,圆柱的轴截面是四边形ABCD,E是底面圆周上异于A,B的一点,则下列结论中正确的是()A.AE⊥CEB.BE⊥DEC.DE⊥平面CEBD.平面ADE⊥平面BCE答案ABD解析由AB是底面圆的直径,得∠AEB=90°,即AE⊥EB.∵圆柱的轴截面是四边形ABCD,∴AD⊥底面AEB,BC⊥底面AEB.∴BE⊥AD,又AD∩AE=A,AD,AE⊂平面ADE,∴BE⊥平面ADE,∴BE⊥DE.同理可得,AE⊥CE,易得平面BCE⊥平面ADE.可得A,B,D正确.∵AD∥BC,∴∠ADE(或其补角)为DE与CB所成的角,显然∠ADE≠90°,∴DE⊥平面CEB不成立,即C错误.11.如图,在棱长均相等的四棱锥PABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,下列结论正确的是()A.PD∥平面OMNB.平面PCD∥平面OMNC.直线PD与直线MN所成角的大小为90°D.ON⊥PB答案ABD解析连接BD,图略,显然O为BD的中点,又N为PB的中点,所以PD∥ON,由线面平行的判定定理可得,PD∥平面OMN,A正确;由M,N分别为侧棱PA,PB的中点,所以MN∥AB,又底面为正方形,所以AB∥CD,所以MN∥CD,由线面平行的判定定理可得,CD∥平面OMN,又由选项A得PD∥平面OMN,由面面平行的判定定理可得,平面PCD∥平面OMN,B正确;因为MN∥CD,所以∠PDC为直线PD与直线MN所成的角,又因为所有棱长都相等,所以∠PDC=60°,故直线PD与直线MN所成角的大小为60°,C错误;因为底面为正方形,所以AB2+AD2=BD2,又所有棱长都相等,所以PB2+PD2=BD2,故PB⊥PD,又PD∥ON,所以ON⊥PB,D正确.12.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点,则()A.直线D1D与直线AF垂直B.直线A1G与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为9D.点C与点G到平面AEF的距离相等答案BC解析∵AD1∥EF,∴平面AEF即平面AEFD1,故A错误.∵A1G∥D1F,A1G⊄AEFD1,∴A1G∥平面AEFD1,即A1G∥平面AEF,故B正确.平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1,易知梯形面积为98,故C正确点G到平面AEFM的距离即点A1到面AD1F的距离,显然D错误.三、填空题13.圆柱的高是8cm,表面积是130πcm2,则它的底面圆的半径等于cm,圆柱的体积是cm3.

答案5200π解析设圆柱的底面圆的半径为rcm,则S圆柱表=2π·r·8+2πr2=130π.解得r=5,即圆柱的底面圆半径为5cm.圆柱的体积V=52π×8=200π(cm3).14.如图,在四面体PABC中,PA=PB=13,平面PAB⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,则PC=.

答案13解析取AB的中点E,连接PE,EC.因为∠ACB=90°,AC=8,BC=6,所以AB=10,所以CE=5.因为PA=PB=13,E是AB的中点,所以PE⊥AB,PE=12.因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PE⊂平面PAB,所以PE⊥平面ABC.因为CE⊂平面ABC,所以PE⊥CE.在Rt△PEC中,PC=PE2+15.已知在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,沿对角线BD将△ABD折起使二面角ABDC为120°,则点A到△BCD所在平面的距离为.

答案3解析设AC∩BD=O,则翻折后AO⊥BD,CO⊥BD,即∠AOC即为二面角的平面角,所以∠AOC=120°,且AO=1,故d=1×sin60°=3216.学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.

答案118.8解析由题意得,四棱锥OEFGH的底面积为4×64×12×2×3=12(cm2),点O到平面BB1C1C的距离为3cm,则此四棱锥的体积为V1=13×12×3=12(cm3又长方体ABCDA1B1C1D1的体积为V2=4×6×6=144(cm3),则该模型的体积为V=V2V1=14412=132(cm3).故其质量为0.9×132=118.8(g).四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边上的点,且AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.(1)求证:E,F,G,H四点共面;(2)当m,n满足什么条件时,四边形EFGH是平行四边形?(1)证明连接BD.因为AE∶EB=AH∶HD,所以EH∥BD.又CF∶FB=CG∶GD,所以FG∥BD.所以EH∥FG.所以E,F,G,H四点共面.(2)解当m=n时,四边形EFGH为平行四边形.由(1)可知EH∥FG.因为EHBD所以EH=mm+1同理可得FG=nn+1由EH=FG可得mm得m=n.故当m=n时,四边形EFGH是平行四边形.18.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,且PA=AD,M,N分别为AB,PC的中点.求证:(1)MN∥平面ADP;(2)MN⊥PC.证明(1)取PD的中点Q,连接AQ,QN,∵N,Q分别为PC,PD的中点,则NQ∥CD且NQ=12CD∵四边形ABCD为矩形,则AB∥CD且AB=CD.∵M为AB的中点,∴AM∥CD且AM=12CD∴AM∥NQ且AM=NQ,故四边形AMNQ为平行四边形,∴MN∥AQ.∵AQ⊂平面ADP,MN⊄平面ADP,∴MN∥平面ADP.(2)∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.∵AD⊥CD,AD∩AP=A,∴CD⊥平面PAD.∵AQ⊂平面PAD,则AQ⊥CD.∵PA=AD,Q为PD的中点,则AQ⊥PD,∵CD∩PD=D,∴AQ⊥平面PCD.∵MN∥AQ,故MN⊥平面PCD.又PC⊂平面PCD,因此,MN⊥PC.19.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12m,高为4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4m(高不变);二是高度增加4m(底面直径不变).(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;(3)哪个方案更经济些?解(1)若按方案一,仓库的底面直径变成16m,则仓库的体积为V1=13S·h=13×π×1622×4=256若按方案二,仓库的高变成8m,则仓库的体积为V2=13S·h=13×π×1222×8=96π(2)若按方案一,仓库的底面直径变成16m,半径为8m.圆锥的母线长为l1=82+42则仓库的表面积为S1=π×8×45=325π(m2).若按方案二,仓库的高变成8m.圆锥的母线长为l2=62+则仓库的表面积为S2=π×6×10=60π(m2).(3)∵V1<V2,S2<S1,∴方案二比方案一更加经济.20.如图,在四棱锥PABCD中,PC=AD=CD=12AB=2,AB∥DC,AD⊥CD,PC⊥平面ABCD(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)若M为线段PA的中点,且过C,D,M三点的平面与线段PB交于点N,确定点N的位置,说明理由;并求三棱锥NAMC的体积.(1)证明连接AC(图略),在直角梯形ABCD中,AC=AD2+DBC=(AB-CD)∴AC2+BC2=AB2,即BC⊥AC.∵PC⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴BC⊥PC.又AC∩PC=C,∴BC⊥平面PAC.(2)解点N是PB的中点,理由如下:∵CD∥AB,AB⊂平面PAB,CD⊄平面PAB,∴CD∥平面PAB.∵平面CDM∩平面PAB=MN,∴CD∥MN,∴MN∥AB.在平面PAB内,∵M为PA中点,∴N为PB中点.∵BC⊥平面PAC,N为PB的中点,∴点N到平面PAC的距离d=12BC=2如图所示,S△ACM=12S△PAC=12·12·PC·AC=14∴V三棱锥NAMC=13S△AMC·d=121.如图,四边形ABCD是矩形,BC⊥平面ABE,且AE=23,EB=BC=2,F为CE上一点,且BF⊥平面ACE.(1)求三棱锥ADBE的体积;(2)求二面角DBEA的大小.解(1)由BF⊥平面ACE得,BF⊥AE.由BC⊥平面ABE及BC∥AD得