高考数学概念方法题型易误点技巧总结下

高考数学概念方法题型易误点技巧总结（A）

圆锥曲线

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义山要重视.“括号”一内的限制条件：椭圆中，与两个定点F「F2的距离

的和等于常数2a,且此常数2〃一定要大于忧心|,当常数等于阳周时，轨迹是线段F/2，

当常数小于闺工|时，无轨迹；双曲线中，与两定点F2的距离的差的绝对值等于常数

2a,且此常数2a一定要小于|F|F2I，定义中的“绝对值”与2"V|FE|不可忽视。若2a

=%卜2I,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线，若2a>|FtF2I，则轨迹不存在。若去

掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如（1）已知定点可（—3.0）.鸟（3,0）,在满足

下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是A.|尸尸]|+〔尸尸2]=4B.|PFj+|P尸2]=6

*23

C.|PFj+|P尸21=10D.\PFt\+\PF2f=12（答：C）；（2）方程

J（X-6）2+>2—J（x+6）2+y2=8表示的曲线是（答：双曲线的左支）

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线

距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离

与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点

2

Q（2人,0）及抛物线），=二上一动点P（x,y），贝y+|PQ旧勺最小值是_____（答：2）

4

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标

准位置的方程）：

22f

⑴椭圆：焦点在x轴上时,+为=1（a>&>0）（参数方程，

v2比2

其中夕为参数），焦点在y轴上时彳+和=1方程4丁+与尸=。表示椭圆

ab

22

的充要条件是什么？（ABCW0,且A,B,C同号，AWB）。如（1）已知方程一二+二一=1

3+k2-k

表示椭圆，则上的取值范围为—（答：（―3,—；）U（—；,2））；（2）若,且

3f+2y2=6,则x+y的最大值是，/+/的最小值是_（答：75,2）

2222

（2）双曲线:焦点在x轴上：一r—-1>焦点在y轴上：马-----1（<2>0,Z?>0）o

abab~

方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABCW0,且A,B异号）。如（1）

双曲线的离心率等于正，且与椭圆《+f=1有公共焦点，则该双曲线的方程（答:

294

2

亍-;/=[）；（2）设中心在坐标原点。，焦点F「B在坐标轴匕离心率6=啦的双曲

线C过点P（4,-Vlb）,则C的方程为（答：X2-/=6）

（3）抛物线：开口向右时V=2px（p〉0）,开口向左时V=_2px（p>0）,开口向

上时V=2py（p>0）,开口向下时如=-2py（p>0）«

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由X2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程

/v2?

£—+一」=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是一（答：（-0。,一1）U（L1））

|/n-12-m2

（2）双曲线：由X2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1,F2的位

置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参

数a,b,确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题

时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，a2^b2+c2,在双曲线中，c最大，

c1=a1+b2»

4.圆锥曲线的几何性质：

22

（1）椭圆（以2y=l（a>h>0）为例）：①范围：-aSxWa,-bWy4b；

ab

②焦点：两个焦点（土c,0）；③对称性：两条对称轴x=O,y=O,一个对称中心（0,0）,四

2

个顶点（±a,0）,（0,±h）,其中长轴长为2。，短轴长为2b；④准线：两条准线x=±幺；⑤

c

离心率：e=-f椭圆=0<e<l,e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。如（1）若椭

a

圆片+上=1的离心率0=巫，则机的值是_（答：3或?）；（2）以椭圆上一点利椭

5m53

圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为—（答：2痣）

V*2y2

（2）双曲线（以---—=1（a>0,&>0）为例）：①范围：xW-。或

a2h2

②焦点：两个焦点（±C,0）；③对称性：两条对称轴x=0,y=0,一个对称中心（0,0）,两

个顶点（±应0）,其中实轴长为2。，虚轴长为2人，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称

为等轴双曲线，其方程可设为d―俨=女,女。0；④准线：两条准线x=±±；⑤离心率:

C

e=-,双曲线=e〉l,等轴双曲线oe=J5,e越小，开口越小，e越大，开口越大;

a

b

⑥两条渐近线：y=±—％。如（1）双曲线的渐近线方程是3x±2y=0,则该双曲线的离心

a

率等于（答：孚或半）；（2）双曲线办2_勿2=1的离心率为不，贝3：6=_

1尤2V2

（答：4或一）；（3）设双曲线J=1（a>0,b>0）中，离心率ed[j2,2],

4a2h2

则两条渐近线夹角0的取值范围是________（答:[?，?]）；

32

（3）抛物线（以y2=2px（p〉0）为例）：①范围：x>0,ye/?；②焦点：一个焦点

（^,0）,其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴y=0,没有对

称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线工=一已；⑤离心率：e=£,抛物线

2a

=e=l。如设则抛物线y=4a/的焦点坐标为（答：（0,「一））；

16。

5、点P（x。,%）和椭圆=+==1（«>Z?>0）的关系：（1）点尸（％,光）在椭圆外

ab

U>T'+T"〉1；（2）点P（Xo,%）在椭圆上。■—^+当-=1；（3）点P（x0,光）在椭圆内

ab~ab

6.直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：A>0o直线与椭圆相交；△>On直线与双曲线相交，但直线与双曲

线相交不一定有△>（），当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交

点，故A>0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；△〉On直线与抛物线相

交，但直线与抛物线相交不一定有△>（）,当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线

相交且只有一个交点，故A>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如

（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是

（答：（-",-1））;（2）直线y—kx—1=0与椭圆土+二=1恒有公共点，则m的取值

35m

2y2

范围是（答：口，5）U（5,+8））；（3）过双曲X线=1的右焦点直线交双

曲线于A、B两点，若|AB|=4,则这样的直线有—.条（答：3）；

（2）相切：△=€）=直线与椭圆相切；△=（）=直线与双曲线相切；△=（）=直线

与抛物线相切；

（3）相离：A<0。直线与椭圆相离；A<0=直线与双曲线相离；A<0=直线

与抛物线相离。

特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切

和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有•个交点；如果直线

22

与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；（2）过双曲线二-与=1外一

ab

点P（x0,%）的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含

双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四

条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与

双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与

另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外」

点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和条平行于对称轴的直线。如（1）

过点（2,4）作直线与抛物线丁=阮只有一个公共点，这样的直线有（答：2）；（2）过

22

点（0,2）与双曲线工-匕=1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为（答：

916

44、/?〕v2

k-,±—（3）过双曲线/一匕=1的右焦点作直线/交双曲线于A、B两点，若

33J2

|A4=4,则满足条件的直线/有条（答：3）；（4）对于抛物线C：y2=4x,我们称

满足），（/<44的点在抛物线的内部，若点MQo,%）在抛物线的内部，则直线/：

），小=2*+/）与抛物线©的位置关系是（答：相离）；（5）过抛物线V=4x的焦

点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则上+,=

pq

V2

（答：1）；（6）设双曲线^--乙=1的右焦点为F,右准线为/,设某直线机交其左支、

169

右支和右准线分别于P,Q,R,则ZPFR和ZQFR的大小关系为（填大于、小

于或等于）（答：等于）；（7）求椭圆7/+4/=28上的点到直线3x-2y-16=0的最短距

离（答：*3）；（8）直线＞=办+1与双曲线3》2-尸=1交于4、B两点。①当。为何

值时，4、B分别在双曲线的两支上？②当。为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？

（答：①卜百）；②。=±1）；

7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定

义，转化到相应准线的距离，即焦半径「=〃，其中d表示P到与F所对应的准线的距离。

如（1）已知椭圆三+二=1上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为

2516

35

—（答：y）;（2）已知抛物线方程为》2=舐，若抛物线上一点到y轴的距离等于5,

则它到抛物线的焦点的距离等于—；（3）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4,则点M

22

的坐标为（答：7,（2,±4））；（4）点p在椭圆二+2_=1上，它到左焦点的距离是它

259

25

到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为（答：三）；（5）抛物线V=2x上的两

点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴的距离为（答：2）：（6）椭

圆7-+胃-=1内有一点,F为右焦点，在椭圆上有一点M,使|MP|+21MH之值

最小，则点M的坐标为（答：（手,_1））；

8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一

定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点P（%,九）到两焦点耳,工的距离分

X2y22b2

别为大小焦点kF\PFa的面积为S,则在椭圆三+J=1中，①。：arccos（—--1）,

ahrxr2

_20

且当外=弓即尸为短轴端点时，6最大为0max=arccos------；②S=〃tan—二c|%|,

a2

22

当|%|=6即P为短轴端点时，Smax的最大值为be；对于双曲线的焦点三角形

ab

（2b2\i°

有：①。=arccos1-----；②S二一八々sin。=/cot—。如（1）短轴长为V5,离心

I^1）22

率e=|的椭圆的两焦点为甚、%,过K作直线交椭圆于A、B两点，则凶8死的周长为

（答：6）；（2）设P是等轴双曲线/一＞2=/仅＞o）右支上一点，F|、F2是左右

焦点，若丽•证=0,阿卜6,则该双曲线的方程为（答：X2-/=4）;

22

（3）椭圆二+±=1的焦点为F|、F2,点P为椭圆上的动点，当前z•市।〈0时，点P的

94

横坐标的取值范围是—（答：（-孚，竽））；（4）双曲线的虚轴长为4,离心率e=坐，

F,＞F2是它的左右焦点，若过&的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且是|4周与怛乃|

等差中项，则|"|=（答：872）；（5）已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左

右焦点，P为双曲线上一点，且Nf；Pp2=60°，SAPF内=12百.求该双曲线的标准方程

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准

线相切；（2）设AB为焦点弦，M为准线与x轴的交点，则NAMF=/BMF；（3）设AB为焦

点弦，A、B在准线上的射影分别为A[，B],若P为A]B1的中点，则PAJ_PB；（4）若AO的

延长线交准线于C,则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，

贝UA,0,C三点共线。

10、弦长公式：若直线y=+b与圆锥曲线相交于两点A、B,月.%,马分别为A、B

的横坐标，则卜川=Jl+L2k「司,若%,当分别为A、B的纵坐标，则卜却=

11+）回一乃卜若弦AB所在直线方程设为x=ky+。，则+公|弘_%|。特

别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点

弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。如（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交

抛物线于A（xi，y,）,B（X2,y2）两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于（答：8）；（2）

过抛物线/=2x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10,O为坐标原点，则4

ABC重心的横坐标为（答：3）；

11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

y2y2b2X

在椭圆—+==1中，以P*。4。）为中点的弦所在直线的斜率k=-f2；在双曲线

ahayQ

22h2

Jx—二v=1中，以P（%,yo）为中点的弦所在直线的斜率k=—x；在抛物线

a"/ray0

y2=2px（p>0）中，以P（x0,%）为中点的弦所在直线的斜率k='。如（1）如果椭圆

%

22

工+匕=1弦被点A（4,2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答：

369

22

x+2y—8=0）；（2）已知直线y=—x+1与椭圆[+4=15〉8>0）相交于人、B两点，

ab

且线段AB的中点在直线L：x—2y=0上，则此椭圆的离心率为（答：与）;（3）

r22

试确定m的取值范围，使得椭圆、+'v=1上有不同的两点关于直线y=4x+加对称（答:

特别提醒：因为A>0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、

对称问题时，务必别忘了检验△>0!

12.你了解下列结论吗？

2222

（1）双曲线二一22=1的渐近线方程为二_2L=o；

a2b2a2b2

r2,?

（2）以丁=±仪］为渐近线（即与双曲线二—2L=i共渐近线）的双曲线方程为

aa2b2

"人为参数，2^0）。如与双曲线9-福=1有共同的渐近线，且过点（—32后）

4r22

的双曲线方程为（答：—-^v-=1）

94

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为如2+〃y2=］；

2b2

（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为‘焦准距（焦点到相

a

b2

应准线的距离）为幺，抛物线的通径为2p,焦准距为p；

c

（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

（6）若抛物线y2=2px（p〉0）的焦点弦为AB,A（x1,y｝）,B（x2,y2）,则

2

①IA8|=玉+々+P；②占%2=々，）'必=一"2

（7）若OA、0B是过抛物线y2=2Px（p>0）顶点0的两条互相垂直的弦，则直线AB

恒经过定点（2p,0）

13.动点轨迹方程：

（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；

（2）求轨迹方程的常用方法：

①直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F（x,y）=0；如已知动点P到定点F（l,0）

和直线x=3的距离之和等于4,求P的轨迹方程.（答：y2=-i2（x-4）（34xW4）或

y2=4x（0<x<3））；

②待定系数法：已知所求曲线的类型,求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方程,

再由条件确定其待定系数。如线段AB过x轴正半轴上一点M（m,0）（机〉0）,端点A、

B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴，过A、0、B三点作抛物线，则此抛物线方程

为（答：V=2x）；

③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点

的轨迹方程;如⑴由动点P向圆X?+丁=1作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,ZAPB=60°,

则动点P的轨迹方程为（答:x2+y2^4）；（2）点M与点F（4,0）

的距离比它到直线/：x+5=0的距离小于1,则点M的轨迹方程是.—（答：y2=i6x）；

（3）一动圆与两圆x2+y2=l和。N：/+/2_"+12=0都外切，则动圆圆心的

轨迹为（答：双曲线的一支）；

④代入转移法：动点尸（x,y）依赖于另一动点。（%,%））的变化而变化，并且。（%,%）

又在某已知曲线上，则可先用x,y的代数式表示/,加，再将公,%代入已知曲线得要求的

轨迹方程；如动点P是抛物线y=2/+1上任•点，定点为4（0,-1）,点M分市所成的比

为2,则M的轨迹方程为（答：y=6^_l）；

3

⑤参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可

考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如（1）

AB是圆0的直径，且|AB|=2a,M为圆上一动点，作MNL'B,垂足为N,在0M上取点P,

22

使|OP|=|MN|,求点尸的轨迹。（答：x+y=a\y\）i（2）若点「（马,％）在圆/+V=1

上运动，则点。(匹必,王+必)的轨迹方程是—(答：/=2x+l(|x|<^))；(3)过抛

2

物线x=4y的焦点F作直线I交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点M的轨迹方程是—

(答：*2=2),—2).

注意：①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向

量的儿何形式进行''摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴

子”转化。如已知椭圆—+氏=1(。>6>0)的左、右焦点分

别是Fi(—c,0)、F2(C,0),Q是椭圆外的动点，满足|其4|=2a.

，巴婴段B”该椭圆的交点，点T在线段F?Q上，并且满足

而•沅=0,|丽依0.(1)设x为点P的横坐标，证明

\F^P\=a+-x；(2)求点T的轨迹C的方程；(3)试问：在点

a

T的轨迹C上，是否存在点M,使AFiMFz的面积S=〃.若存在，求NF1MF2的正切值；若

〃h2

不存在，请说明理由.(答：(1)略；(2)x2+y2=/；(3)当一〉。时不存在；当一4”

cc

时存在，此时NF1MF2=2)

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意

轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的

双重身份一一时称性、利用到角公式)、”方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分

类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为

桥梁转化.

14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

(1)给出直线的方向向量q=(1«)或7=(〃?,〃)；

(2)给出方+而与A8相交，等于已知况+为过A8的中点；

(3)给出丽+丽=6,等于已知P是MN的中点；

(4)给出而+而=2廊+旗)，等于已知P,。与A3的中点三点共线；

(5)给出以下情形之一：①踵〃菽；②存在实数4使,分=几彳6；③若存在实数

a,夕,且a+£=1,使丽=aOA+(3OB，等于已知A,B,C三点共线.

(6)给出。2=上-----等于已知P是A8的定比分点，几为定比，即A尸=

1+/1

(7)给出忘•赢=0,等于已知M4，MB,即ZAMB是直角，给出

而•痴=m<0,等于已知ZAMB是钝角，给出忘•赢=机>0,等于已知NAMB是

锐角，

/______\

MAMB---

(8)给H14+尸=y=MP,等于已知MP是NAM8的平分线/

〔网网J__________________

(9)在平行四边形48co中，给出(Q+诟)•(而—石)=0,等于已知A6C0是

菱形；

(10)在平行四边形ABCO中，给出|45+4。|=|48—4。|,等于已知46co是

矩形；

------2-----►2-------2

（11）在AA8C中，给出。＜=0B=0C,等于已知。是A48c的外心（三角形

外接圆的圆心，三角形的外心是坐七边整平分线的交点）；

（12）在A48c中，给出万X+而+丽=6,等于已知。是A4BC的重心（三角

形的重心是三角形三条中线的婴）；

（13）在AABC中，给出了・丽=丽・瓦=5〒•万X,等于已知。是AABC的垂

心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

——•——*ARAC—►

（14）在A4BC中，给出OP=OA+4=^+^^）（丸仁？）等于已知4P通过

\AB\|AC|

△ABC的内心；

（15）在A4BC中，给出a•方+b•而+5发=正等于已知。是AA8C的内心（三

角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

（16）在AA8C中，给出而=；（而+元）,等于已知AO是MB。中边的中

线；

高考数学概念方法题型易误点技巧总结（九）

直线、平面、简单多面体

1、三个公理和三条推论：

（1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平

面内。这是判断直线在平面内的常用方法。

（2）公理2、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共

点都在同条直线上。这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点

（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之'»

（3）公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论1：经过直线和直线

外点有且只有•个平面。推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3：经过两

条平行直线有且只有一个平面。公理3和三个推论是确定平面的依据。如（1）在空间四点

中，三点共线是四点共面的条件（答：充分非必要）；（2）给出命题：①若AC/,A

ea,Be/,BGa,则/ua;②若AGa,AGB,BGa,BGB,则anB=AB；

③若/«a,AG/,则A^a④若A、B、CWa,A、B、CGP,且A、B、C不共线，

则a与B重合。上述命题中，真命题是（答：①②④）；（3）长方体中ABCD-AiB|C】D|

中，AB=8,BC=6,在线段BD,A|G上各有一点P、Q,在PQ匕有一点M,且PM=MQ,

则M点的轨迹图形的面积为（答：24）

2、直观图的画法（斜二侧画法规则）：在画直观图时，要注意：（1）使Nx'o'y'=135°,

xby所确定的平面表示水平平面。（2）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中

保持长度和平行性不变，平行于）'轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一

半。如（1）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形

的形状是（）（答：A）

（2）已知正AA8C的边长为。，那么AA8C的平面直观图AA'8'C'的面积为（答:

3、空间直线的位置关系：（1）相交直线一一有且只有一个公共点。（2）平行直线一一

在同一平面内，没有公共点。（3）异面直线一一不在同一平面内，也没有公共点。如（1）

空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的中点，则直线EG和FH的位置关系—

（答：相交）；（2）给出下列四个命题：①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；②

两异面直线“力，如果。平行于平面a,那么人不平行平面a；③两异面直线a力，如果a，

平面a,那么6不垂直于平面a；④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直

线。其中正确的命题是_____（答：①③）

4、异面直线的判定：反证法。如（1）“a、b为异面直线”是指：①aCb=①，

但a不平行于b；②au面a,bu面［3且aCb=①；③au面a,bu面p且aPlB=

①；④au面a,b（Z面a；⑤不存在平面a,能使au面a且bu面a成立。上述结论

中，正确的是（答：①⑤）；（2）在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的

中点，设BC+AD=2a,则MN与a的大小关系是（答：MN<a）；（3）若E、F、G、H

顺次为空间四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，且EG=3,FH=4,贝AC2+BD2=

（答：50）；（4）如果a、b是异面直线，P是不在a、b上的任意一点，下列四个结

论：①过点P一定可以作直线/与a、b都相交；②过点P一定可以作直线/与a、b都

垂直；③过点P一定可以作平面a与a、b都平行；④过点P一定可以作直线/与a、b

都平行。其中正确的结论是（答：②）；（5）如果两条异面直线称作一对，那么正方体

的十二条棱中异面直线的对数为（答：24）；（6）已知平面

ac平面£=ua/ca=A,cu且c〃a,求证：b、c是异面直线.

7T

5、异面直线所成角。的求法：（1）范围：（2）求法：计算异面直线所成

角的关键是生移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,

如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直

线的夹角。如（1）正四棱锥P-A8CO的所有棱长相等，E是PC的中点，那么异面直线

8E与PA所成的角的余弦值等于（答：—）；（2）在正方体AG中，M是侧棱DD|

3

的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A|B|上的一点，则OP与AM所成的角的大小为

—（答:90°）；（3）已知异面直线a、b所成的角为50°,P为空间一点，则过P且与a、

b所成的角都是30°的直线有且仅有条（答：2）；（4）若异面直线a力所成的角为上，

3

且直线C，。，则异面直线伉。所成角的范围是_（答：［工,工］）;

62

6、异面直线的距离的概念：和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。

两条异面直线的公垂线有且只有•条。而和两条异面直线都垂直的直

线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交。如（1）ABCD是矩形，

沿对角线AC把AADC折起，使ADJLBC,求证：BD是异面直线AD

与BC的公垂线；（2）如图，在正方体ABC。一ABiGQ中，EF是异

面直线AC与的公垂线，则由正方体的八个顶点所连接的直线中，

与E尸平行的直线有条（答：1）；

7、两直线平行的判定：（1）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；（2）线面平

行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线

和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它

们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线

平行。

8、两直线垂直的判定：（1）转化为证线面垂直；（2）三垂线定理及逆定理。

9、直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交。其中，如果一

条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。注意：任一条直线

并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行。其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫

作直线在平面外。如（1）下列命题中，正确的是A、若直线。平行于平面a内的一条直

线b,则。〃aB、若直线。垂直于平面a的斜线b在平面a内的射影，则aJ_bC、

若直线。垂直于平面a,直线b是平面a的斜线，则。与b是异面直线D、若一个棱锥

的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥

（答：D）；（2）正方体ABCD-A|B|GD|中，点P在侧面BCGBi及其边界上运动，并且总

保持APLBDi，则动点P的轨迹是（答：线段BC）。

10、直线与平面平行的判定和性质：（1）判定：①判定定理：如果平面内一条直线和

这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行；②面面平行的性质：若两个平面平行,

则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。（2）性质：如果一条直线和一个平面平行,

那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。在遇到线面平行时，常需

作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质。如（1）a、B

表示平面，a、b表示直线，则a〃a的一个充分不必要条件是A、a±3,a_LB

8、＜1门田=13,且2〃5C、a〃b且b〃aD、a〃B且au|3（答：。）；（2）正方体ABCD-A

IBICDI中，点N在BD上，点M在BC上，且CM=DN,求证：MN〃面AA|B|B。

11、直线和平面垂直的判定和性质：（1）判定：①如果一条直线和一个平面内的两条相

交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直,

那么另一条直线也和这个平面垂直。（2）性质：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条

直线和这个平面内所有直线都垂直。②如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线

平行。如（1）如果命题“若x_Ly,y〃z,不成立，那么字母x、y、z在空间所

表示的几何图形一定是（答：x、y是直线，z是平面）；（2）已知a,b,c是直线，a、

B是平面，下列条件中能得出直线a,平面a的是A、aJ_b,a_Lc其中bua,cua

B、alb,b〃aC、a_LB,a〃6D、a〃b,b_La（答：£））；（3）AB为00

的直径，C为。O上的一点，AD_L面ABC,AEJ_BD于E,AF_LCD于F,求证：BDJ_平

面AEFo

12、三垂线定理及逆定理：（1）定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一

条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（2）逆定理：在平面内的一条直线，如果它

和这个平面的•条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。其作用是证两直线异面

垂直和作二面角的平面角。

13、直线和平面所成的角：（1）定义：平面的•条斜线和它在平面内的射影所成的锐

角，叫这条直线和这个平面所成的角。（2）范围：［0°,90。］；（3）求法：作出直线在平面上

的射影；（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。如（1）

在正三棱柱ABC-AiB|C|中，已知AB=1,D在棱BB|上，BD=1,则AD与平面AAQC所

n

成的角为（答：arcsin—）；（2）正方体ABCD-ABCD中，E、F分别是AB、CD

4

的中点，则棱A|B|与截面AFCF所成的角的余弦值是（答：1）；（3）PA,PB,PC

是从点P引出的三条射线，每两条的夹角都是60。，则直线PC与平面尸48所成角的余弦

值为（答：—（4）若一平面与正方体的十二条棱所在直线都成相等的角。，则

--------3

sin0的值为（答：—

--------3

14、平面与平面的位置关系：（1）平行一一没有公共点；（2）相交一一有一条公共直

线。

15、两个平面平行的判定和性质：（1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一

个