2023年考研高数复习纲要

函数、极限与连续

(一)本章的重点内容与常见的典型题型

1.本章的重点内容是极限，既要精确理解极限的概念和极限存在的充要条件，又要能

正确求出各种极限。求极限的方法许多，在考试中常用的主要方法有：

(1)利用极限的四则运算法则及函数的连续性；

(2)利用两个重要极限，两个重要极限即

(.1Y(.1Y/.甘

lim1+—=lim1+—=hm(l+x>r=e,

n)XJXT。'

sinx,

lim------=1;

x->0x

(3)利用洛必达法则及泰勒公式求未定式的极限；

(4)利用等价无穷小代替(常会使运算简化)；

(5)利用夹逼定理；

(6)先证明数列极限的存在(通常会用到“单调有界数列必有极限”的准则)，再利用关

系式求出极限；

(7)利用定积分求某些和式的极限；

(8)利用导数的定义；

(9)利用级数的收敛性证明数列的极限为零。

这里须要指出的是：题型与方法并不具有确定的关系，一种题型可以有几种计算法，一

种方法也可能用于几种题型，有时在一个题目中要用到几种方法，所以还要详细问题详细分

析，方法要敏捷运用。

2.由于函数的连续性是通过极限定义的，所以推断函数是否连续、推断函数的间断点

类型等问题本质上仍是求极限、因此这部分也是重点。

3.在函数这一部分内，重点是复合函数和分段函数以及函数记号的运算。

通过历年试题归类分析，本章的常见题型有：

1.干脆计算函数的极限值或给定函数极限值求函数表示式中的常数；

2.探讨函数的连续性、推断间断点的类型；

3.无穷小的比较；

4.探讨连续函数在给定区间的零点，或方程在给定区间有无实根;

5.求分段函数的复合函数。

（二）学问网络图

e-NM定义

/极限概念£—X”定义

一3”定义

唯一性

数列整体有界

极限性质有界性

一函数局部有界

保号性

夹逼定理

1极限存在准则

单调有界数列有极限

求极限的2两个重要的极限

主要方法3函数的连续性Llim把七=1

x-＞Oj（-

\4用导数的定义厂［型二型＜-

5洛必达法则Y开U八习

6等价无穷小替换J1"、8°、0°型

7泰勒公式

I8用函数极限求数列极限

“无穷小量与无穷大量的定义、关系

I无穷小量的运算性质

尢力小］无穷小量与极限的关系

〔无穷小量的阶、等价无穷小量

”初等函数的连续性

传续的概念1分段函数连续性判定R

L闭区间上连续函数的性质4类乃谓

L介值定理

连续性＜

r第一类一一左右极限都存在《二二

如上V八年I跳动

U可断点1的l分类5

L其次类一一左右极限中至少有一个不存在

（三）典型题型分析及解题方法与技巧

题型一求复合函数

10一"XV0

［例1.1］设/(x)=，(x+k|),g(x)={''求/(g(x))与g(/(x)).

2［x,x>0,

题型二利用函数概念求函数的表达式

［例1.2］已知/(x)=e1/［e(x)］=l-x且9(x)20,求e(x)并写出它的定义域.

题型三推断函数的性质

［例1.3］设/(x)=xtan/~,则/'(x)是()

(A)偶函数(B)无界函数

(C)周期函数(D)单调函数.

题型四求极限的方法

..3X2+5.2

［例1.4］］填空题hm------sin—=

is5尤+3x

［例1.5］求下列极限

/八V1+tanx-VI+sinx

1lim------------------

'7r->0x(l-cosx)

(2)lim

yjx2+sinx

3sinx+x2cos

⑶典际而崎

［例1.6］求下列极限

(l)lim

sin2x

(3)limsin—+cos—

/…Ixx

［例1.7］选择题

2-l-L

当X-1时，函数-x----"T的极限是().

x-1

(A)2;(B)0；

(C)co；(D)不存在但不为oo.

］

a(―sin;~x-~x<x>0,

X

［例1.8］设/(“H问a为何值时lim〃x）存在.

—^2sinx-J演山2)力),1<0,

x2-JJcos(产)力

［例1.9］求lim

XTO

［例1.10］选择题

„56

设函数〃x）=jLsin（尸W，g（x）=,+菅，则当x.0时，/（x）

是g（x）的（）

（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小

（C）等价无穷小（D）同阶但不等价的无穷小

［例1.11］求

XT8X」'）

［例1.12］确定a,b,c值，使lim—J=c(c*o).

7

XT°「ln(l+r)'

［例1.13］填空题

设lim(叶网)=8,则。=

1。1x-a)

［例1.14］选择题

X—>0时，/-（G；2+fex+l）是比/高阶无穷小，则（)

1

(A)a=—(B)a=l,h=l

2

(C)ci=—,b=1(D)a=-l,b=i

2

［例1.15］设x->0时，（1+依2）3一1与cosx—1是等价无穷小，求常数。之值.

［例1.16］填空题

”一2

设〃x)=.(c°sx)，"°，在x=0连续,则。=

a,x=0,

/、x1

［例1.17］当x-»0时，下列无穷小：ln（l+x）,x-sinx,xtanx,---.—中，

1-A/COSX2In国

（）是》的低阶无穷小：（）是》的一阶无穷小：（）是兀的二阶无穷小;

（）是/的高阶无穷小.

［例1.18］选择题

Xpa

当xf0+的无穷小量a=j）cos/力，4=Jotan4tdt,y-£sin/力排列起来，使排在后

面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（）.

(A)a,p,y(B)a,y,(3

(C)/3,a,y(D)/3,y,a

［例1.19］求limx,x=Y

n—k4-nAnn

.71.2〃

AsHinI-—saimn——------•

［例1.20］求lim——？+——/+...+f

f〃+ln+Ln+L

2n

a0>0,

［例1.21］设a>0,数列｛《,｝满意.q_l_(t〃=0,1,2,...

求liman.

［例1.22］填空题

［例1.23］设a>0,4HO且呵(x2a+xaf-x2=尸，则30=

［例1.24］设“X)是区间［0,+00)上单调削减且非负的连续函数，

a“=£〃A)-J：/(#,(n=l，2,3，证明数列｛%｝的极限存在.

k=\

题型五探讨函数的连续性与间断点的关系

x,x<2,

x2,x<l,

［例1.25］设/(%)=,g(x)=<2(x-l),2<x<5,探讨y=/(g(x))的连续

1-x,x>1,

x+3,x>5.

性，若有间断点并指出类型.

m1.26］选择题

1-COSX

----7=~―,X>0,

设/(x)=<yjx其中g(x)是有界函数，则/(x)在x=0处().

x2^(x),x<0,

(A)极限不存在；(B)极限存在，但不连续;

(C)连续，但不行导;(D)可导.

［例1.27］选择题

-4In(l+x3)sin—,x<0,

x

设〃x)=<0,x=0,则/(x)在x=0处().

—£sin(『)力,x>0,

(A)极限不存在;(B)极限存在，但不连续;

(C)连续，但不行导;(D)可导.

［例1.28］选择题

1八

xarctanT—T,X^0,

设〃x)=<国贝在x=0处()

0,x=0,

(A)不连续;(B)连续，但不行导;

(C)可导但/(X)在x=0处不连续;

(D)可导且/'(X)在x=0处连续.

X

［例1.29］求函数〃x)=(l+x)4在区间(0,2%)内的间断点,并推断其类型.

［例1.30］设/1(X)在(YO,+8)内有定义,Klimy(x)=fl,

g(x)={(xj'则().

0,x=0,

(A)x=0必是g(x)的第一类间断点；

(B)x=0必是g(x)的其次类间断点；

(C)x=0必是g(x)的连续点；

(D)g(x)在点x=0处的连续性与。的取值有关。

［例1.31］设/(x)在［0,+00)连续，吧i〃x)=A>0,求证:

⑴%Qi)力=+%

(2)lim£f^nx)dx=A.

［例1.32］设/(x)在［a,以上连续〃a)=/伍)，证明:

至少存在可，使/(/)=/1%+之9

［例1.33］填空题

［例1.34］填空题

在区间［0,1］上函数/(x)=心(1—力”的最大值记为M(n).则

limM(n)=.

［例1.35］填空题

ln(l+x)

—,x>0,

x2

设/(x)<6z,x=0,在x=0处可导，则常数。力,c,分别等于

sinbx

+ex,x<0

x

［例1.36］以［x］表示不超过x的最大整数，试确定常数a的值，使

存在，并求出此极限.

［例1.371选择题

设常数4>0。=1,2,3），4<4<4.则方程^^+—今+~Z~=

0（）.

（A）没有根；

（B）正好有一个根；

（C）正好有两个根；

（D）正好有三个根.

二、一元函数微分学

（一）本章的重点内容与常见的典型题型

一元函数微分学在微积分中占有极重要的位置，内容多，影响深远，在后面绝大多数章

节都要涉及到它.

本章内容归纳起来，有四大部分.

1.概念部分：导数和微分的定义，特殊要会利用导数定义探讨分段函数在分界点的可

导性，高阶导数，可导与连续的关系；

2.运算部分：基本初等函数的倒数、微分公式、导数的四则运算、反函数、复合函数、

隐函数和由参数方程确定的函数的求导公式；

3.理论部分：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理;

4.应用部分：利用导数探讨函数的性态（包括函数的单调性与极值，函数图形的凹凸

性与拐点，渐近线），最值应用题，利用洛必达法则求极限，以及导数在几何、物理等方面

的应用.

常见题型有：

1.求给定函数的导数或微分（包括高阶导数），隐函数和由参数方程确定的函数求导.

2.利用罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理证明有关命题和不等式.如“证

明在开区间至少存在一点满意……”，或探讨方程在给定区间内的根的个数等.

3.利用洛必达法则求七种未定型的极限.

4.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标

函数和约束条件，判定所探讨区间。

5.利用导数探讨函数性态和描绘函数图像，等等。

（二）学问网络图

r导数的定义

,导数的概念＜导数的几何意义

一切线方程的求法

基本初等函数的导数

导数的四则运算

反函数的导数

导数的计算《

隐函数的导数

复合函数的导数

高阶导数

导数

A”罗尔定理

中值定理1拉格朗日中值定理

-柯西中值定理

洛必达法则求极限

r函数的单调区间

探讨函数性质＜函数的极值、最值

及几何应用“

应服曲线的凹凸性及拐点

渐近线、函数作图

外』边际、弹性

d叱经济中的最大值和最小值应用

r微分概念

微分\微分的计算

-一阶微分形式不变性

（三）典型题型分析及解题方法与技巧

题型一有关一元函数的导数与微分概念的命题

［例2.1］选择题

设/&)。0,/(力在工=/连续，则“X)在/可导是|〃x)|在与可导的()条

件.

(A)充分非必要：(B)充要；

(C)必要非充分；(D)非充分非必要.

［例2.2］填空题

设/(x)在4处可导，则

⑴iim/(xfl-3/.)-/(x())=____.

20h

⑵lim"%+〃)7国-〃)____；

力->oh

⑷即0。+£|-小。-£|卜一；

X

(5)lim-7-r-------------r=_____；

1”(%)一/(飞+无)

(6)当〃一>8时，七与y〃为等价无穷小，则lim―'网——

00V-

［例2.3］选择题

设/(x)在x=a处的某个定义域内有定义，则/(x)在x=a处可导的一个充分条件是

().

(A)lim/?fa+——/(a)存在；

…［Ih)v_

(B)1而如也二31存在；

20h

(C)limU--------------------存在；

22h

(D)lim存在.

/,-»oh

［例2.4］已知/(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满意关系式：

/(l+sinx)-3/(l-sinx)=8x+cif(x),其中a(x)是当x—>0时比x高阶的无穷小，且

“X)在x=l处可导，求曲线y=/(x)在(6J(6))处的切线方程。

［例2.5］求下列函数在指定点处的导数

1-sinx

(1)“X)=(arcsinx)求r(o)；

1+sinx

(2)设/(x)=o(a+Z?x)-0(a-/?x),其中夕(%)在x=a处可导，求/'(0);

(3)设函数/(x)在x=0处可导，且/'(0)=；,又对随意的x,有〃3+x)=3/(x),

求尸(3).

题型二利用导数定义函数方程

［例2.6］设“X)在(-00,+00)上定义,且/(())=〃(〃w0),又Vx,

ye(F网有小+小¥*

,求/(x).

类似题:设/(x)在(0,小》)上有定义，且/⑴=。(。工0),又对Vx,

ye(O,-K»),有，3)=/(x)+/(y)，求〃%).

题型三可导函数与不行导函数乘积的可导性的探讨

［例2.7］设F(x)=g(x)0(x),e(x)在x=a处连续，但又不行导,又g［a)存在,则

8(。)=0是7?(%)在》=4处可导的()条件.

(A)充要；(B)充分非必要；

(C)必要非充分；(D)非充分非必要

［例2.8］函数〃x)=(x2-x-2)k3-x|有()个不行导点.

(A)3；(B)2；(C)1；(D)0.

题型四求函数导数与微分

［例2.9］求下列函数的导数与微分

tan-|

(1)设y=ev-sin—,dy；

x

“3(°「求噌

筌在‘=旧的值;

y=fcos(产—^=rcosududx1

2*dF

(3)设=sin(x)J；/,sinx2",求左

设5由（12+丁2）+/一盯2=0,求牛;

(4)

32)则坐

(5)。-"(x)=arctan(九2),

已知y=f)

3x+2axA=0

x=t2+2t,（0<a<l）确定y与x的函数，求器•

(6)由方程组<

t2—y+Qsiny=1,

2

.NJf。tanys丁inr力,a、,

［例2.10］求/=lim

x->0x3

9（x）-cos（x）

［例2.11］设〃x）=x"KU其中夕（对具有二阶导数，且

a,x=O

^(0)=1,^'(0)=0.

(1)确定a的值，使/(x)在x=0处连续;

(2)求r(x)；

(3)探讨/在x=0处的连续性.

类似题：设连续且1盘/y=2,°(x)=J；〃"W，求e'(x)并探讨e'(x)的连续

性.

题型五利用导数探讨函数改变的命题

［例2.12］选择题

若"X)=-y(-x),在(0,+8)内尸(X)>0,/(%)>0,则/(X)在(-00,0)内().

(A)/'(x)<0,/"(x)<0；(B)<'(x)<0,/"(x)>0；(C)

/1(x)>0,/"(x)<0；(D)f'(x)>0,f"(x)>0.

［例2.13］设函数/(x),g(x)是大于零的可导函数，且尸(x)g(x)—

/(x)g'(x)<(),则当a<x<人时，有().

(A)f(x)g(b)>f(b)g(x)；(B)〃x)g(a)>f(a)g(x)；(C)

(D)〃x)g(x)>/(a)g(a).

［例2.14］选择题

已知函数/(x)在x=0的某个邻域内连续，且/(0)=0,1盘""

'f°1cosX

=2,则在点x=0处/(x)().

（A）不行导;（B）可导，且/'（O）wO；

（C）取得极大值;（D）取得微小值.

［例2.15］选择题

sin6x+V(x)6+/(x)

若lim=0,则lim为（).

*fox3.r->0X2

(A)0；(B)6；(C)36；(D)oo.

［例2.16］选择题

■T(x)-1

设/（x）在二阶连续导数且尸（0）=0,lim则（）成立.

.t->0

(A)/（0）不是/（x）的极值，（0,/（0））也不是曲线y=/（x）的拐点;

(B)/（0）是/（x）的微小值;

(C)（0,/（0））是曲线的拐点;

(D)/⑼是/（X）的极大值.

［例2.17］选择题

设函数y=/（x）是微分方程y"—2y'+4y=0的一个解且/'（而）=0,则

/（%）在点力处（).

（A）有极大值;（B）有微小值;

（C）在某邻域内单调增加;（D）在某邻域内单调削减.

［例2.18］设证明:In2/?-In2«>力一Q).

'1-Xln(l+x)

［例2.19］证明：当0<x<l时,

14-Xarcsinx

(x2+2%—

［例2.20］设y==I-c-求渐近线.

(x-IJarctanx

［例2.21］求证：方程Inx=——［J］-cos2xdx在（0,+oo）内只有两个不同的实根.

题型六杂例与中值定理证明题

［例2.22］设/（£）在［0,句上连续，且J：/（x*r=0,J；/（x）cosxJx

=0.试证明：在（0,%）内至少存在两个不同的点获基/（。）=/（专）=0.

［例2.23］设/（x）在［0,1］上连续，在（0,1）内可导，且满意:

/（1）=.xe'~xf（x）dx（k>1）,

证明：至少存在一点JG（0,1）,使得/传）=（1一“）/（/.

［例2.24］设〃x)在区间［―a,a］(a>0)上具有二阶连续导数，/(0)=0

(1)写出/(尤)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；

(2)证明在［一a,句上至少存在一点〃，使：a3/"(〃)=3『J(xg

［例2.25］设函数/(x)和g(x)在［a,句上存在二阶导数，并且g"(x)

HO,/(a)=/(h)=g(a)=g(/?)=(),试证：

(1)在开区间(a,b)内g(x)oO；

(2)在开区间(a,3内至少存在一点使3.

L例2.26］设/(%)在区间［0,1］上连续，试证明存在^€(0,1),使

「(H)/(力

若又设/(x)>0且单调削减，则这种4是唯一的.

［例2.27］设函数/(x)在区间［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且〃())

=/(1)=0，/((1=1•试证：

(1)存在〃,使/(〃)=〃；

(2)对随意实数;I,必存在JG(O,77),使得/(4)—九］/(4)-4］=1.

三、一元函数积分学

(一)本章的重点内容与常见的典型题型

本章和一元函数微分学一样，重点内容可分为概念部分、运算部分、理论证明部分以及

应用部分.

1.概念部分：原函数的概念，定积分、不定积分的概念，以及反常积分的概念.考试的

重点偏重对定积分概念的理解上.

2.运算部分：变上限积分及其导数；定积分和不定积分的换元法和分部积分法.

3.理论部分：变上限定积分及其求导定理，牛顿一莱布尼茨公式，积分中值定理.

.应用部分：利用定积分求面积、旋转体体积及引力、功等物理量；

5.综合性试题.

（二）学问网络图

像函数，不定积分

一换元法(凑微分法)

基本积分表

r换元积分法'二次根式一用三

不定积分〈积分法<

角函数换元

C次换元法《

6部积分法

I最简根式

r有理函数的积分一一部分分式法

仇类函数的积分

'I简洁三角函数有理式的积分

定义——分割，近似代替，求和，取极限

定积分的概念

几何意义——平面图形面积的代数和

(0=k^f(x)dx

f卜(X)±g(X)聆=f/CM士f8(xg

2、对积分区间可加性

J：/(x"x=+j：

定积分的性质/=

4、比较性质：f(x)<g(x),a<x<b

定积分［nf^x)dx<，g(工世

5、估值定理

I6、积分中值定理

微积分基本定理;胃数慧慧工变限积分求导

L牛顿一布来尼兹公式

r经济应用

定积分的应用《平面图形应用

L旋转体的体积

广义积分｛无穷限积分

瑕积分

(三)典型题型分析及解题方法与技巧

题型一有关原函数与定积分概念，性质的命题

［例3.1］填空题

(1)设］对'(%以¥=01。技1+0,则

△i--九+2k冗

(2)limsm—>cos——

I”nn

［例3.2］设/(x)为连续函数，且=求/(x).

［例3.3］推断下列结果是否正确.

n____乃22-

35

(1)£5/sinx-sinxdx=£sin"xcosxdx=—sin^x|；；

1

(2)

X1「；

1、71

(3)arctan—<Zr=arctan-

xjX「5

(4)若加工/(x)£",则〃z仅一

x+2/r

［例3.4］函数/(%)=］esmtsintdt().

(A)为正数;(B)为负数;

(C)恒为零;(D)不是常数.

［例3.5］选择题

设“毛黑7T

cos4xdxN=J(sin3x+cos4x蛆,P=龙一cos'x),贝ij

,JL"T人2~2

).

(A)N<P<M；(B)M<P<N；

(C)N<M<P\(D)P<M<N.

［例3.6］选择题

设为连续函数，/(x)是〃尤)的原函数,则().

(A)当/(x)是奇函数时，F(x)必为偶函数；

(B)当是偶函数时，Rx)必为奇函数；

(C)当〃x)是周期函数时，打力必为周期函数；

(D)当/(x)是单调增函数时，口(力必为单调增函数.

［例3.7］设/(x)在［a,/?］上连续，xe(a,。)，证明:

lim-力=/(x)—/(a)•

5h

题型二求分段函数的原函数与定积分

sin2x,x<0,

［例38］设〃x)=v求/(x)的原函数/(x).

ln(2x+l),x>0,

［例3.9］计算I=J］Jk(x-2)m.

［例3.10］设/(%)在(-co,+oo)内满意/(x)=/(x-^)+sinx,且〃%)=%,%«0,乃］,

计算/=J'/(1四.

题型三不定积分与定积分的计算

--I-rarctanex,

［例3.11］求J-—dx.

［例3.12］求Jdx

(2X2+1)VX2+1

［例3.13］设〃111司=皿；”,计算

［例3.14］填空题

dx_

上(九+7)Jx-2

［例3.15］设函数S(x)=JJcosM,

(1)当〃为正整数，且〃;+》时，证明：

2〃<S(x)<2(〃+l)；

(2)求lim—

XT+OOX

［例3.16］设/(x)在上有定义，对于随意的x,y,恒有:

/(x+y)=/(x)+/(y)，求J：/(x)(l+cosx)公.

［例3.17］求Jx{(x-a)(b-x)dx.

［例3.18］设求［/(X)心.

(类似)设/(九)=J；e厂办，求「/(x/Zr.

2

［例3.19］设/(/一l)=ln^^且/3(x))=lnx,求世.

［例3.20］求「“近dx.

J。(1+ef

题型四证明积分等式与不等式

［例3.21］设“X),g(x)在区间［―a,a］(a>0)上连续，g(x)为偶函数,且〃力满意

条件〃X)+〃T)=A(A为常数).

(1)证明：J"/(x)g(x)dx=A，g(x)c/r；

n

(2)能利用(1)的结论计算j"sinx|arctan/力;.

［例3.22］对于xNO,证明/（x）=J；（一弓si/m（〃为自然数）的最大值不超过

1

（2〃+2）（2刀+3），

［例3.233设