泛函分析 第六章习题答案

实变函数与泛函分析第六章习题01-17PAGE13PAGE13第六章习题第一部分01-17设M是线性赋范空间X的闭子空间，若对任意的fÎX*，f(M)=0蕴涵f(X)=0，则M=X．[证明]若不然M是X的真闭子空间，由Hann-Banach定理，存在fÎX*，使f(M)=0，并且||f||=1，这与题目的假设相矛盾．设X是线性赋范空间，M是X的子集，x0ÎX，且x0¹q．证明x0Îcl(spanM)的充分必要条件为：对任意的fÎX*，f(M)=0蕴涵f(x0)=0．[证明](必要性)对任意的fÎX*，由f(M)=0及f是线性的，可推出f(spanM)=0；而f又是连续的，所以又可进一步得到f(cl(spanM))=0；所以对x0Îcl(spanM)，有f(x0)=0．(充分性)若x0Ïcl(spanM)，由Hann-Banach定理，存在fÎX*，使得f(cl(spanM))=0，但f(x0)=||x0||¹0，这与题目的假设相矛盾．设X是线性赋范空间，x1,x2,...,xn是X中n个线性无关的元素，a1,a2,...,an是n个数，M>0．证明：存在满足条件：f(xk)=ak，k=1,2,...,n，且||f||£M的有界线性泛函f的充要条件为：对于任意的n个数c1,c2,...,cn都有．[证明](Þ)对于任意的n个数c1,c2,...,cn，令．由于|f(x)|£M||x||，以及f(xk)=ak，k=1,2,...,n，得到．(Ü)考虑X的线性子空间S=Span{x1,x2,...,xn}，对于任意的n个数c1,c2,...,cn，在S上定义．则g是S上的有界线性泛函，满足条件g(xk)=ak，k=1,2,...,n，且||g||£M．由Hann-Banach定理，存在X上的有界线性泛函f使f|S=g，且||f||=||g||．事实上，此f即为满足条件的泛函．[第4题到第9题只需要直接验证，它们应该是“集合论”而非“泛函分析”中的题目．此处略去]设X是Banach空间．证明X自反的充要条件为X*自反．[证明]必要性：设X自反，即X上的典则映射J:X®X**，满足J(X)=X**．为证明X*自反，我们要证明X*上的典则映射J*:X*®X***为满射．"x***ÎX***，令x*=x***◦J．容易看出x*:X®是上的线性泛函．由于|x*(x)|=|x***(J(x))|£||x***||·||J||·||x||，所以x*ÎX*．注意到J(X)=X**，故"x**ÎX**，存在xÎX使得J(x)=x**．则(J*x*)x**=x**(x*)=x*(x)=(x***◦J)(x)=x***(J(x))=x***(x**)，所以J*x*=x***，即J*为满射，故X*自反．充分性：设X*自反，即X*上的典则映射J*:X*®X***满足J*(X*)=X***．假若X不自反，即J(X)¹X**．则由于X是Banach空间，且X上的典则映射J:X®X**是保范的线性单射，容易看出J(X)是X**的真闭子空间．由Hann-Banach定理，存在x***ÎX***，使得x***(J(X))=0，||x***||=1．由于J*(X*)=X***，存在x*ÎX*，使得J*x*=x***．显然对"xÎX有x*(x)=(J(x))x*=x***(J(x))=0，所以x*=q，这与||x*||=||J*x*||=||x***||=1相矛盾．设X为线性赋范空间，X*可分．证明X可分．[证明]由于X*可分，不妨设X*\{q}中子集F={f1,f2,...}在X*中稠密，令gi=fi/||fi||，用S*表示X*中的单位球面．对"fÎS*，"e>0，存在某fiÎF，使得||fi-f||<min{e/4,1/2}．则|(||fi||-1)|=|(||fi||-||f||)|£||fi-f||<1/2，故||fi||>1/2．对应的gi满足||gi-f||=||(fi/||fi||-f)||£||(fi/||fi||-f/||fi||)||+||(f/||fi||-f)||=||fi-f||/||fi||+|1/||fi||-1|·||f||=||fi-f||/||fi||+|1/||fi||-1|=||fi-f||/||fi||+|(1-1/||fi||)|/||fi||£2||fi-f||/||fi||<4||fi-f||<e．所以S*中的可数集G={g1,g2,...}在S*中稠密．对任意i，由于||gi||=sup{|gi(x)||||x||=1}，故存在X的单位球面S中的点xi，使得|gi(xi)|>1/2．记A={x1,x2,...}．注意到A是可数的，故它的所有的有限的有理系数线性组合构成的集合也是可数的，并把这个可数集合记为B，容易看出B在span(A)中稠密，因而B也在cl(span(A))中稠密．下面证明cl(span(A))=X．若不然，存在xÎX\cl(span(A))．则由Hann-Banach定理知存在fÎS*，使得f(cl(span(A)))=0．而G={g1,g2,...}在S*中稠密，故存在giÎS*，使||gi-f||<1/2．这就得到下面的矛盾：1/2<|gi(xi)|=|gi(xi)-f(xi)|£||gi-f||·||xi||=||gi-f||<1/2．故cl(span(A))=X．因此X有可数稠子集B，所以X可分．设H为复Hilbert空间，．证明：，，，，，．[证明]对任意的，.．．．因为，故，所以．因为，故，所以．设H为Hilbert空间，A,B为H上的两个线性算子，对于任意的x,yÎH有<Ax,y>=<x,By>．证明：A为有界线性算子．[证明]对"xÎS={xÎH|||x||=1}，考虑fx:H®，fx(y)=<By,x>．由于|fx(y)|=|<By,x>|=|<y,Ax>|£||y||·||Ax||，故fx为H上的有界线性泛函，且||fx||£||Ax||．因fx(y)=<By,x>=<y,Ax>，故fx(Ax)=<Ax,Ax>=||Ax||2．所以，||Ax||2=|fx(Ax)|£||fx||·||Ax||，故||Ax||£||fx||．所以||fx||=||Ax||．有界线性泛函族{fx|xÎS}在H的每一点y处，|fx(y)|=|<By,x>|£||By||·||x||=||By||，由共鸣定理知存在M>0，使得"xÎS有||fx||£M．即"xÎS有||Ax||£M．所以A为有界线性算子．设为上的有界线性算子，对于，，其中，．又设，而．证明：．[证明]，而，故，，所以，．设X为Banach空间，Y为线性赋范空间，TnÎB(X,Y)，n=1,2,...，且sup{||Tn||}=+¥．证明：存在x0ÎX使得sup{||Tnx0||}=+¥．[证明]这只是共鸣定理的逆否命题．举例说明：在共鸣定理中，X的完备性是不可缺少的．[例]考虑m空间的子空间X={x=(xi)|只有有限个xi不为0}．Tn:X®R，Tn(x)=nxn，"x=(xi)ÎX．显然Tn是线性算子，可以证明Tn有界，且||Tn||=n．显然{||Tn||}无界，但对"x=(xi)ÎX，{Tn(x)}有界．设S:ℓ2®ℓ2为S(x1,x2,...)=(x3,x4,...)，Tn=Sn．求sup{||Tnx||}，||Tn||，以及sup{||Tn||}．[解]显然Tn(x1,x2,...)=(x2n+1,x2n+2,...)，故sup{||Tnx||}=